1、第二章2.3一、选择题(每小题5分，共20分)1用数学归纳法证明“1aa2a2n1(a1)”在验证n1时，左端计算所得项为()A1aB1aa2C1aa2a3 D1aa2a3a4解析：将n1代入a2n1得a3，故选C.答案：C2用数学归纳法证明(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)(nN)，从nk推导到nk1时，左边需要增乘的代数式为()A2(2k1) B2k1C D解析：当nk时，等式左端为(k1)(k2)(kk)，当nk1时，等式左端为(k11)(k12)(kk)(kk1)(2k2)，从nk推导到nk1时，左边需增乘的式子为2(2k1)答案：A3若命题A(n)(nN*)nk(kN*)时命
2、题成立，则有nk1时命题成立现知命题对nn0(n0N*)时命题成立则有()A命题对所有正整数都成立B命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立C命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立D以上说法都不正确解析：由题意知nn0时命题成立能推出nn01时命题成立，由nn01时命题成立，又推出nn02时命题也成立，所以对大于或等于n0的正整数命题都成立，而对小于n0的正整数命题是否成立不确定答案：C4k棱柱有f(k)个对角面，则(k1)棱柱的对角面个数f(k1)为(k3，kN*)()Af(k)k1 Bf(k)k1Cf(k)k Df(k)k2解析：三棱柱有
3、0个对角面，四棱柱有2个对角面(020(31)；五棱柱有5个对角面(232(41)；六棱柱有9个对角面(545(51)猜想：若k棱柱有f(k)个对角面，则(k1)棱柱有f(k)k1个对角面答案：A二、填空题(每小题5分，共10分)5用数学归纳法证明“对于足够大的自然数n，总有2nn3”时，验证第一步不等式成立所取的第一个值n0最小应当是_解析：2101 024103,2951293，填10.答案：106用数学归纳法证明：12222n12n1(nN*)的过程如下：(1)当n1时，左边1，右边2111，等式成立(2)假设当nk(kN*)时等式成立，即12222k12k1，则当nk1时，12222k
4、12k2k11.所以当nk1时等式也成立由此可知对于任何nN*，等式都成立上述证明的错误是_解析：本题在由nk成立，证nk1成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用上假设条件，这与数学归纳法的要求不符答案：未用归纳假设三、解答题(每小题10分，共20分)7用数学归纳法证明：1(nN)证明：(1)当n1时，左边1右边，等式成立(2)假设当nk时等式成立，即1.当nk1时，1，即当nk1时等式也成立由(1)和(2)，知等式对所有nN都成立8用数学归纳法证明11n(nN*)证明：(1)当n1时，左式1，右式1，1，命题成立(2)假设当nk(kN*)时命题成立，即11k，则当nk1时，112k1.又1
5、k2k(k1)，即nk1时，命题成立由(1)和(2)可知，命题对所有nN*都成立(10分)是否存在一个等差数列an，使得对任何自然数n，等式a12a23a3nann(n1)(n2)都成立，并证明你的结论解析：将n1,2,3分别代入等式得方程组：解得a16，a29，a312，设等差数列an的公差为d，则d3，从而an3n3.故存在一个等差数列an3n3，使得当n1,2,3时，等式成立下面用数学归纳法证明结论成立当n1时，结论显然成立假设nk(k1，且kN*)时，等式成立，即a12a23a3kakk(k1)(k2)那么当nk1时，a12a23a3kak(k1)ak1k(k1)(k2)(k1)3(k1)3(k1)(k22k3k6)(k1)(k2)(k3)(k1)(k1)1(k1)2所以当nk1时结论也成立由知存在一个等差数列an3n3，使得对任何自然数n，等式a12a23a3nann(n1)(n2)都成立
