1、专题12 解析几何(2)解析几何大题:10年10考,每年1题命题的特点:2011-2015年和2019年的载体都是圆,利用圆作为载体,更利于考查数形结合,圆承担的使命就是“形”,尽量不要对圆像椭圆一样运算,2016-2018年的载体连续3年都是抛物线,2010年的载体是椭圆1(2019年)已知点A,B关于坐标原点O对称,|AB|4,M过点A,B且与直线x+20相切(1)若A在直线x+y0上,求M的半径;(2)是否存在定点P,使得当A运动时,|MA|MP|为定值?并说明理由【解析】(1)M过点A,B且A在直线x+y0上,点M在线段AB的中垂线xy0上,设M的方程为:(xa)2+(ya)2R2(R
2、0),则圆心M(a,a)到直线x+y0的距离d,又|AB|4,在RtOMB中,d2+(|AB|)2R2,即又M与x2相切,|a+2|R由解得或,M的半径为2或6;(2)线段AB为M的一条弦O是弦AB的中点,圆心M在线段AB的中垂线上,设点M的坐标为(x,y),则|OM|2+|OA|2|MA|2,M与直线x+20相切,|MA|x+2|,|x+2|2|OM|2+|OA|2x2+y2+4,y24x,M的轨迹是以F(1,0)为焦点x1为准线的抛物线,|MA|MP|x+2|MP|x+1|MP|+1|MF|MP|+1,当|MA|MP|为定值时,则点P与点F重合,即P的坐标为(1,0),存在定点P(1,0)
3、使得当A运动时,|MA|MP|为定值2(2018年)设抛物线C:y22x,点A(2,0),B(2,0),过点A的直线l与C交于M,N两点(1)当l与x轴垂直时,求直线BM的方程;(2)证明:ABMABN【解析】(1)当l与x轴垂直时,x2,代入抛物线解得y2,M(2,2)或M(2,2),直线BM的方程:yx+1,或:yx1(2)证明:设直线l的方程为l:xty+2,M(x1,y1),N(x2,y2),联立直线l与抛物线方程得,消x得y22ty40,即y1+y22t,y1y24,则有kBN+kBM+0,直线BN与BM的倾斜角互补,ABMABN3(2017年)设A,B为曲线C:y上两点,A与B的横
4、坐标之和为4(1)求直线AB的斜率;(2)设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行,且AMBM,求直线AB的方程【解析】(1)设A(x1,),B(x2,)为曲线C:y上两点,则直线AB的斜率为k(x1+x2)41;(2)设直线AB的方程为yx+t,代入曲线C:y,可得x24x4t0,即有x1+x24,x1x24t,再由y的导数为yx,设M(m,),可得M处切线的斜率为m,由C在M处的切线与直线AB平行,可得m1,解得m2,即M(2,1),由AMBM可得,kAMkBM1,即为1,化为x1x2+2(x1+x2)+200,即为4t+8+200,解得t7则直线AB的方程为yx+74(2016年
5、)在直角坐标系xOy中,直线l:yt(t0)交y轴于点M,交抛物线C:y22px(p0)于点P,M关于点P的对称点为N,连结ON并延长交C于点H(1)求;(2)除H以外,直线MH与C是否有其它公共点?说明理由【解析】(1)将直线l与抛物线方程联立,解得P(,t),M关于点P的对称点为N,t,N(,t),ON的方程为yx,与抛物线方程联立,解得H(,2t)2;(2)由(1)知kMH,直线MH的方程为yx+t,与抛物线方程联立,消去x可得y24ty+4t20,16t244t20,直线MH与C除点H外没有其它公共点5(2015年)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:(x2)2+(y3)21
6、交于点M、N两点(1)求k的取值范围;(2)若12,其中O为坐标原点,求|MN|【解析】(1)由题意可得,直线l的斜率存在,设过点A(0,1)的直线方程为ykx+1,即kxy+10由已知可得圆C的圆心C的坐标(2,3),半径R1故由1,故当k,过点A(0,1)的直线与圆C:(x2)2+(y3)21相交于M,N两点(2)设M(x1,y1);N(x2,y2),由题意可得,经过点M、N、A的直线方程为ykx+1,代入圆C的方程(x2)2+(y3)21,可得 (1+k2)x24(k+1)x+70,x1+x2,x1x2,y1y2(kx1+1)(kx2+1)k2x1x2+k(x1+x2)+1k2+k+1,
7、由x1x2+y1y212,解得 k1,故直线l的方程为 yx+1,即 xy+10圆心C在直线l上,MN长即为圆的直径所以|MN|26(2014年)已知点P(2,2),圆C:x2+y28y0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点(1)求M的轨迹方程;(2)当|OP|OM|时,求l的方程及POM的面积【解析】(1)由圆C:x2+y28y0,得x2+(y4)216,圆C的圆心坐标为(0,4),半径为4设M(x,y),则,由题意可得:即x(2x)+(y4)(2y)0整理得:(x1)2+(y3)22M的轨迹方程是(x1)2+(y3)22(2)由(1)知M的轨迹是以点N(
8、1,3)为圆心,为半径的圆,由于|OP|OM|,故O在线段PM的垂直平分线上,又P在圆N上,从而ONPMkON3,直线l的斜率为直线PM的方程为,即x+3y80则O到直线l的距离为又N到l的距离为,|PM|7(2013年)已知圆M:(x+1)2+y21,圆N:(x1)2+y29,动圆P与圆M外切并与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C(1)求C的方程;(2)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|【解析】(1)由圆M:(x+1)2+y21,可知圆心M(1,0);圆N:(x1)2+y29,圆心N(1,0),半径3设动圆的半径为R,动圆P与圆M外切并与圆
9、N内切,|PM|+|PN|R+1+(3R)4,而|NM|2,由椭圆的定义可知:动点P的轨迹是以M,N为焦点,4为长轴长的椭圆,a2,c1,b2a2c23曲线C的方程为(x2)(2)设曲线C上任意一点P(x,y),由于|PM|PN|2R2312,所以R2,当且仅当P的圆心为(2,0),R2时,其半径最大,其方程为(x2)2+y24l的倾斜角为90,则l与y轴重合,可得|AB|若l的倾斜角不为90,由于M的半径1R,可知l与x轴不平行,设l与x轴的交点为Q,则,可得Q(4,0),所以可设l:yk(x+4),由l于M相切可得:,解得当时,联立,得到7x2+8x80,|AB|,由于对称性可知:当时,也
10、有|AB|综上可知:|AB|或8(2012年)设抛物线C:x22py(p0)的焦点为F,准线为l,AC,已知以F为圆心,FA为半径的圆F交l于B,D两点(1)若BFD90,ABD的面积为,求p的值及圆F的方程;(2)若A,B,F三点在同一直线m上,直线n与m平行,且n与C只有一个公共点,求坐标原点到m,n距离的比值【解析】(1)由对称性知:BFD是等腰直角,斜边|BD|2p点A到准线l的距离,ABD的面积SABD,解得p2,所以F坐标为(0,1),圆F的方程为x2+(y1)28(2)由题设(),则,A,B,F三点在同一直线m上,又AB为圆F的直径,故A,B关于点F对称由点A,B关于点F对称得:
11、,得:,直线:, 切点, 直线:,坐标原点到m,n距离的比值为:9(2011年)在平面直角坐标系xOy中,曲线yx26x+1与坐标轴的交点都在圆C上(1)求圆C的方程;(2)若圆C与直线xy+a0交与A,B两点,且OAOB,求a的值【解析】(1)法一:曲线yx26x+1与y轴的交点为(0,1),与x轴的交点为(3+2,0),(32,0)可知圆心在直线x3上,故可设该圆的圆心C为(3,t),则有32+(t1)2(2)2+t2,解得t1,故圆C的半径为,所以圆C的方程为(x3)2+(y1)29法二:圆x2+y2+Dx+Ey+F0,x0,y1有1+E+F0,y0,x2 6x+10与x2+Dx+F0是
12、同一方程,故有D6,F1,E2,即圆方程为x2+y26x2y+10(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),其坐标满足方程组,消去y,得到方程2x2+(2a8)x+a22a+10,由已知可得判别式5616a4a20在此条件下利用根与系数的关系得到x1+x24a,x1x2,由于OAOB可得x1x2+y1y20,又y1x1+a,y2x2+a,所以可得2x1x2+a(x1+x2)+a20由可得a1,满足5616a4a20故a110(2010年)设F1,F2分别是椭圆E:x2+1(0b1)的左、右焦点,过F1的直线l与E相交于A、B两点,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列(1)求|AB|;(2)若直线l的斜率为1,求b的值【解析】(1)由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|4,又2|AB|AF2|+|BF2|,得(2)的方程式为yx+c,其中,设A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B两点坐标满足方程组,化简得(1+b2)x2+2cx+12b20则, 因为直线AB的斜率为1,所以,即则解得