1、一、教学基本信息：授课者：课题：普通高中课程标准实验教科书数学（必修4）第一章“三角函数”，第二节“任意角的三角函数”第二课时。二、指导思想与理论依据 指导思想：以问题为引导、以探究为过程、以发展为目标，面向全体、尊重个性。理论依据：建构主义认知心理学原理及单元教学设计原理建构主义心理学认为，认识并非是主体对于客观存在的简单的、被动的反映，而是一个主动的、不断深化的建构过程，即所有的知识意义都是通过内在表征过程主动建构出来的；在知识意义建构过程中，主体已有的知识、经验起着重要的作用，即所有知识意义是随着学习环境的变化而处于不断发展之中。因此在教学中必须要让学生的知识建构过程处于一定的知识体系之
2、中，既要利用已有的相关知识帮助学生对新知识产生内化，有要帮助学生将内化的知识与原有的知识融合产生相关知识的系统，以帮助他更好地理解知识。教学设计时，要通过单元教学的设计原理，将一节的内容纳入到某一知识主题单元中，帮助学生从某一知识体系的整体上来认识新知识，从而有利于学生更好地对知识加以建构。三、学习内容分析：三角函数是一个重要的基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型。它的基础主要是几何中的相似形和圆，研究方法主要是代数中的图象分析和代数变形，三角函数的研究已经初步把几何与代数联系起来。它在物理学、天文学、测量学等学科中都有重要的应用，它是解决实际问题的重要工具，它是学习数学中其他学科的基
3、础。在前课中，角的概念已经由锐角扩展到0360内的角，再扩充到任意角，相应地，锐角三角函数概念也必须有所扩充。任意角三角函数概念的出现是角的概念扩充的必然结果。比较锐角三角函数与任意角三角函数这两个概念，共同点是，它们都是“比值”，不同点是锐角三角函数是“线段长度的比值”，而任意角三角函数是直角坐标系中“坐标与长度的比值，或者是坐标的比值”。正是由于“比值”这一与在角的终边上所取点的位置无关的特点，因此，可以用角的终边与单位圆的交点的坐标（或坐标的比值）来表示任意角的三角函数，这是概念的核心。这样定义，不仅简化了任意角三角函数的表示，也为后续研究它的性质带来了方便。从锐角三角函数到任意角三角函
4、数类似于从自然数到整数扩充的过程，产生了“符号问题”。因此，学习任意角三角函数可以与锐角三角函数相类比，借助锐角三角函数的概念建立起任意角三角函数的概念。任意角三角函数概念的重点是任意角的正弦、余弦、正切的定义它们是本节，乃至本章的基本概念，是学习其他与三角函数有关内容的基础，具有根本的重要的作用。解决这一重点的关键，是学会用直角坐标系中，角的终边上的点的坐标来表示三角函数。因为正切函数并不独立，最主要的是正弦函数与余弦函数任意角三角函数自然具有函数的一切特征，有它的定义域，对应法则以及值域。任意角三角函数的定义域是实数集（或它的子集），这是因为，在建立弧度制以后，角的集合与实数集合间建立了一
5、一对应关系，从这个意义上说，“角是实数”，三角函数是定义在实数集上的函数。各种不同的三角函数定义了不同的对应法则，因而可能有不同的定义域与值域。三角函数线是三角函数定义的直观形象，它的产生有利于学生直观地感受三角函数的概念，也有利于学生观察三角函数所具有的如周期性、单调性等一些重要的性质。任意角三角函数概念是核心概念，它是解决一切三角函数问题的基点。无论是研究三角函数在各象限中的符号、特殊角的三角函数值，还是同角三角函数间的关系，以及三角函数的性质，等等，都具有基本的重要的意义在建立任意角三角函数这个定义的过程中，学生可以感受到数与形结合，以及类比、运动、变化、对应等数学思想方法。四、学生分析
6、：学生在本节课之前已经学习了三角函数的定义，本节课需要借助这个定义来形成三角函数线的概念，但是学生对上节课学习的内容理解未必深刻，所以本节课教学需要进行复习。在三角函数线概念形成之后，还要结合三角函数线来引导学生进一步理解三角函数的概念，理解三角函数的相关性质，以深化认识。对于三角函数线这一概念，需要用到有向线段的概念，但是对这一概念的学习是需要一定的时间与空间，因此“有向线段”概念是干扰学生获得新知识的一个知识点，这就需要教师在教学时通过问题的设计，对学生进行引导。学生的思维是有发展性的，所以在本节课教学中，不能以结论的呈现为教学方式，而应以具有引导性、开放性的问题引发学生的思考与探究，这样
7、才能发展学生的思维。所以本节课概念的形成过程是以问题引导来完成的。五、教学目标分析：本节课的目标是，在上一节课教学的基础之上，进一步理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。通过对三角函数定义的思考，通过探究得到三角函数线这一反映三角函数定义的几何形象。并通过三角函数线进一步从直观上感受三角函数的定义域、值域，感受三角函数的周期性、单调性、对称性等重要性质，通过三角函数线确定不同象限内三角函数的符号。六、教学重点分析：三角函数线的产生是本节课的一个重点，对学生而言，三角函数线的产生并非不言自明，这里哪一个图形才能表示三角函数值的两个方面：一是绝对值，二是符号 ，这个需要教师设计相应的问题加
8、以引导，所以引导学生发现三角函数线是教学的一个重点。教学中的另一个重点是利用三角函数线来再次感受三角函数的性质。七、教学难点分析：三角函数线的产生，特别是正切线的产生是本节课学习的一个难点，其中产生这一难点的一个重要原因是“有向线段”这一概念，对学生而言，“有向线段”、“有向直线”这些概念是陌生的，对它们本质属性的理解需要一定的时间与空间，所以需要在三角函数线产生之前对这些概念进行表征。拟采取引导性问题来引导学生的思维以突破该难点。八、教学方法：教师问题引导教学、学生在问题引导下的探究性学习；几何画板软件介入的多媒体辅助教学。九、教学流程：复习旧知，以旧引新问题引导，探求新知直观感知，深化认识
9、小结反思，提升梳理十、教学过程：教学环节学生活动教师活动设计意图一、复习旧知，以旧引新：请说说上节课学习的任意角的三角函数概念，作为函数，能说明它们的三要素吗？当为锐角(即)时，三角函数值均为正值，任意角的三角函数值的符号如何？学生回顾；提出问题，并对学生的回答进行评价；问题一的设计是通过对旧知识的回顾，激活学生的思维，为新知识的学习做准备；通过问题二，可以检验学生是否很好地掌握了上节课学习的内容，形成学习新知识的先行组织者。二、问题引导，探求新知：三角函数线的探究：过渡性语句：以上定义是从代数角度研究三角函数，下面再从几何角度来研究三角函数问题1：如图，角的终边与单位圆交于P(x,y)，则有
10、sin=y，cos=x，tan=(x0)，这些三角函数在各个 象限的符号不同的根源是什么？问题2：如何在坐标轴上标记P点所在的位置与方向？问题3：PM与sin有关系吗？它能表示sin吗？为什么？怎样解决这个问题？问题4：OM与cos有关系吗？它能表示cos吗？为什么？怎样解决这个问题？由于线段PM与OM都规定了方向，我们称其为有向线段。问题5：你能借助单位圆找到一条如PM、OM的有向线段表示角的正切吗？如果学生能够由问题5思考出正切线，那么就需要让他阐述理由，如果学生不能由问题5思考出正切线，那么接着提出以下问题问题6：如果不能找到一个线段表示角的正切，这是因为正切的定义是两个坐标的比值，但你
11、是否想过，角的正弦其实也是一个比值，是PM与1的比值，而分子PM恰是角的正弦值，从这个角度考虑，正切定义的比值应怎样转化，就能帮助我们找到表示角正切的线段了？思考问题，尝试回答展示课件，提出问题，对学生的回答进行点拔与指导过渡性语句说明本节课所学的内容是从几何的角度来看三角函数，说明数形结合是数学的重要思想。三角函数的符号是因为角的终边与单位圆交点坐标的符号，而这些坐标的符号是由平面直角坐标系中坐标轴的方向确定的。由原点出发，与x轴正向同向的横坐标则为正，反之则为负，纵坐标亦然。提出问题1、2的目的就是引导学生意识到三角函数符号与轴的方向的关系，为三角函数线方向的规定奠定思维基础。后续的问题3
12、、4是进一步引导学生思考哪条线段能够表示角的正弦与余弦，引导他们思考线段必须规定方向以表示角的正、余弦值的符号。问题5、6的提出，是以一个开放性的问题来引导学生的思考，其中问题6是通过引导学生类比正弦，发现正切线。三、直观感知，深化认识：学生得到三个三角函数线之后，教师通过多媒体演示当角变化时，三角函数线的变化，同时提出问题：问题7：如图，角的正弦线PM长度为0.7，方向指向下方，由此你可以得到的结论是什么?问题8：你能够利用三角函数线，说明当时，sin、cos、tan的大小关系吗？问题9：当角的终边从x轴非负轴开始，逆时针进行旋转，通过观察多媒体课件中正弦函数线的变化，试说明三角函数的变化特
13、点。分小组活动，看哪个小组可以获得更多的性质，将获得的性质写在白纸上。若学生写的性质不多，可以提出以下问题引导学生感受、发现。问题10：当角的终边转过若干圈，回到初始位置时，正弦函数线发生了什么现象，这个现象说明了什么？问题11：如图，当角与角的终边关于y轴对称时，它们的正弦函数线有什么关系？你能获得什么结论？问题12：你还能提出类似这样有关对称的问题吗？说出你的问题，并说明你的结论。问题13：请判断下列说法的正误：一定时，单位圆中的正弦线一定；单位圆中，有相同的正弦线的角相等；与+有相同的正切线；具有相同正切线的两个角的终边在同一直线 上；学生观察多媒体，思考，回答教师展示多媒体课件，提出问
14、题，引导学生思考问题7帮助学生理解正弦线就表示角的正弦值；问题8进一步帮助学生深入理解三角函数线即表示三角函数问题9通过对正弦函数线的动态观察，引导学生总结正弦函数的性质，为后续学习正弦函数的性质奠定基础；这里只研究正弦函数，其余的学生在课后自行研究。问题10、11、12，其实已经涉及了诱导公式，但是此处更多地是让学生直观地感知，并不需要进行理性地说理，这一问题的处理，也为后续学习诱导公式奠定基础，它们与问题8一样，都体现了单元教学的整体性。通过问题13的概念判断，再一次深化学生对三角函数线的认识，同时这个问题也是对本节课学习内容的一个检测。四、小结反思，提升梳理：提出问题：我们今天学习了三角
15、函数线，你认为学习三角函数线对认识三角函数概念有哪些作用？学生思考，总结教师提问引导此问题为教科书中P17练习4，用这个问题做为小结的问题，可以引导学生对所学知识进行更为深入的思考，同时也帮助学生梳理三角函数线与三角函数定义的关系，为学生更好地理解三角函数的定义提供了帮助。五、作业布置：数学阅读：看课本P11-18，并将重点内容勾划在书上，对于还有疑问的内容请在旁边做批注，请特别关注“阅读与思考”；基本作业：P17练习2、3提升作业：请结合三角函数线，用表格总结三角函数具有的性质；预习作业：预习同角三角函数的基本关系数学阅读应是学生每天必做的一项任务，只有阅读课本，才能对新知识有进一步的理解与消化；分层作业的设计，适应了学生不同的学习能力。十一、教学反思：
