1、弧度制 一、教学目标重点:角度制与弧度制的互化;弧度制的运用.难点::弧度的概念及其与角度的关系.知识点:角度制与弧度制的互化公式;弧长公式;扇形面积公式.能力点:建立角的集合与实数集之间的一一对应关系.教育点:使学生通过弧度制的学习,理解并认识角度制与弧度制是对角度量的方法,二者是辨证统一的,而不是孤立、割裂的关系.自主探究点:利用对应成比例关系得出结论.训练(应用)点:角度制与弧度制的互化换算,弧度制的运用.考试点:掌握角度制与弧度制的换算,并熟练的进行换算操作.易错点:角度与弧度的单位写法易错.易混点:角度和弧度的转换易混二、引入新课:【师生活动】:教师:我们学习了角的概念的推广知道角可
2、以分为哪几类?学生回答 “正角”与“负角”“0角”教师:要描述一个角的大小,通常用什么表示呢? 学生回答:是用度来表示的。教师引出角度制的概念,那么的角是如何定义的?学生:的角可以理解为将圆周角分成360等份,每一等份的弧所对的圆心角就是.它是一个定值,与所取圆的半径大小无关.有了它,可以计算弧长,公式为.【设计意图】:温故而知新,引导学生切身感受角的弧度制引入的必要性.三、探究新知:(一)弧度制的概念BOACD【师生活动】:教师:角除了以度为单位,还有分和秒,他们是六十进制的,计算不方便,角的度量是否也能用不同的单位制?学生分组讨论. 教师引导:我们能用等于半径的弧所对的圆心角作为角的度量单
3、位吗?这个弧度数是否与圆半径的大小有关?教师引导学生画出图形.在圆内作出当半径为时,弧长() ,弧长与半径的比值为.当半径为时,弧长,弧长与半径的比值为.两比值相等.讨论结果:能.当圆心角一定时,它所对弧长与半径的比值是一定的,与半径大小无关.【设计意图】:学生亲手作图,感受角的弧度制与角度制是角的度量单位,都可以刻画角的大小,与角所在的圆半径无关。因此比值的大小只与角的大小有关,我们可以利用这个比值来度量角,这就是度量角的另外一种单位制弧度制。 新知1:弧度制的定义:规定长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制;在弧度制下,1弧度记作1 rad(通
4、常单位可以省略).如图1中,当 的长等于半径r, 所对的圆心角就是1弧度的角,即.:注意:1,弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制,角度制是以“度”为单位来度量角的单位制;2,1弧度是等于半径长的弧所对的圆心角(或这条弧)的大小,而的角是周角的;3,无论是以“弧度”还是以“度”为单位,角的大小都是一个与半径大小无关的定值.(二)弧度制的绝对值公式思考:师生共同完成课本第6页探究,同时思考角的集合和实数集有什么关系呢?的长OB旋转的方向的弧度数的度数逆时针方向逆时针方向逆时针方向1顺时针方向-2顺时针方向0未旋转0逆时针方向逆时针方向【师生活动】: 共同填表,找出规律:正角零角负角正实数零负
5、实数角的概念推广之后,在弧度制下,角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系 任意角的集合 实数集R教师:角的集合与实数集R之间一一对应, 与角终边相同的角,连同角在内,可以怎么表示呢?学生经过讨论得出结论:可以写成的形式.教师表扬学生,同时注意强调角度制和弧度制不能混用.【设计意图】:再一次深化了弧度制的概念.新知2:一般的,正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是0.如果半径为R的圆的圆心角所对弧的长为l,那么,角的弧度数的绝对值是 (绝对值符号不能省略).(三)弧度与角度的换算思考2:角度制与弧度制如何换算?由前面的探究我们可以得出:(1) (2) (3) (4)
6、教师:推到换算公式的关键是什么?学生:关键是.四、理解新知1,关键是弄清1弧度的角的概念:长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.2,无论是以“弧度”还是以“度”为单位,角的大小都是一个与半径大小无关的定值.3, 正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是0.4,如果半径为R的圆的圆心角所对弧的长为l,那么,角的弧度数的绝对值是.5. 角度制与弧度制换算 :五、运用新知例题1按照下列要求,把化成弧度: (1)精确值 (2)精确到0.001的近似值解:(1)因为 (2)利用计算器计算【设计意图】: 引导学生通过利用换算方法把度换算为弧度,在黑板上写出解题过程.强化弧度
7、的表示.例题2将把换算成角度.解: 教师总结:例1和例2都是角度和弧度的换算,要注意度的单位“”不能省略,弧度的单位“rad”暂时不要省略,并且最好不要用中文名称“弧度”表示。【师生活动】:请同学板书几个特殊角的度数与弧度数的对应值:度弧度【设计意图】: 一些特殊角的弧度数应加强记忆.【设计意图】: 让学生跟随老师规范书写格式,加强算法训练。随堂练习:1,(1)把化成弧度;(2)把 弧度化成度。2,将下列角化成0到的角加上的形式;(1)(2)【设计意图】:引导学生无论是利用角度制还是弧度制,都能在已知弧长和半径的情况下推出扇形面积公式,但利用弧度制来推导要简单些,这也是引入弧度制的一个理由随堂
8、练习:9. 已知扇形的周长是8cm,圆心角是2rad,求该扇形的面积。10. 已知扇形的周长是20cm,当扇形的圆心角为多大时,它有最大面积?最大面积是多少?课堂练习:课本10页A组1-6题六、课堂小结(一)知识层面1.弧度制的概念及其定义式 2.弧度制与角度制常用的转换公式 3.弧度制与角度制的换算方法及建立起角度与实数的一一对应关系4.弧度制定义及定义式的运用 (二)思想方法本节课本使学生领悟到角度制、弧度制都是度量角的制度,二者虽然单位不同,但是互相联系的、辩证统一的,进一步加强对辩证统一思想的理解,欣赏数学之美,体会弧度制的好处,学会归纳、整理并认识到任何新知识的学习都会为我们解决实际
9、问题带来方便,从而激发学生的学习兴趣。七、布置作业必做题:课本10页A组7、8题 选做题:课本10页B组2、3题八、教后反思 本教案遵循了由浅入深、循序渐进的原则从学生熟悉的基本单位转换入手,体会不同的单位制能给解决问题带来方便,引导学习去思考寻找另一种的单位制度量角。本教案亮点是通过举例,对比 等方法来分析、说明应用弧度制的度量比应用角度制的度量方法是否具有优越性。九、板书设计 1.弧度制的概念及其定义式 2.弧度制与角度制常用的转换公式 3.弧度制与角度制的换算方法及建立起角度与实数的一一对应关系4.弧度制定义及定义式的运用 例题1按照下列要求,把化成弧度: 例题2把换算成角度.例题3利用弧度制证明下列关于扇形的公式: 课堂练习