1、南阳市一中2017届高三上学期第四次月考理数试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.复数，若复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称，则（ ）ABCD【答案】A考点：复数的运算2.已知“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【解析】试题分析：解不等式可得或，因为“”是“”的充分不必要条件，所以“”是“或”的真子集，所以，故选A.考点：充要条件与集合关系13.某椎体的三视图如图所示，则该棱锥的最长棱的棱长为（ ）ABCD【答案】C【解析】试题分析：该几何体为一个侧面与底面垂直，底面为正方形的四棱锥（
2、如图所示），其中底面边长为，侧面平面，点在底面的射影为，所以,所以,底面边长为，所以最长的棱长为，故选C.考点：简单几何体的三视图4.已知函数是上的偶函数，设，当任意，时，都有，则（ ）ABCD【答案】D考点：函数奇偶性与单调性的应用.5.已知函数，（），在同一直角坐标系中，函数与的图像不可能的是（ ）【答案】B考点：二次函数的图象.6.若是三角形的最小内角，则函数的最小值是（ ）ABCD【答案】A【解析】试题分析：设则，因为是三角形的最小内角，即，所以，所以当时，故选A.考点：三角函数的值域及二次函数的最值.7.在中，内角，所对的边分别为，且边上的高为，则最大值为（ ）A2BCD4【答案】C
3、【解析】考点：正余弦定理与三角函数的值域8.已知函数，当时，若在区间内，有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【解析】试题分析：由题意可知函数在上的解析式为由可得，所以要使方程由两个不同的零点，即得图象与直线有两个不同的交点，作出它们的图象，可知斜率，故选D.考点：根的存在性与根个数的判断. 1【方法点睛】本题主要考查了函数的零点及方程根个数的判断，考查了数形结合的数学思想，属于中档题.本题解答时，首先根据在上的解析式，求出在上的解析式，从而作出分段函数的图象，把函数的零点问题转化为两个基本初等函数的交点个数问题，结合参数的几何意义求得其范围.9.如图所示，是圆上不同的三
4、点，线段的延长线与线段交于圆外的一点，若（，），则的取值范围是（ ）ABCD【答案】D考点：平面向量的数量积. 10.抛物线在第一象限内图像上的一点处的切线与轴交点的横坐标记为，其中，若，则等于（ ）A21 B32 C42 D64【答案】C【解析】试题分析：抛物线可化为，在点处的切线方程为所以切线与轴交点的横坐标为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，故选C.考点：导数的几何意义及等比数列求和.11.过椭圆：的左顶点且斜率为的直线交椭圆于另一点，且点在轴上的射影恰好为右焦点，若，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）A B C D【答案】C考点：椭圆的离心率【方法点睛】本题主要考查了椭圆的离
5、心率，椭圆的方程，属于中档题.求解椭圆的离心率基本思路是根据题意构造基本量的关系式.本题解答的关键是用基本量表示出，其中可令代入椭圆方程求解，从而表示出直线的斜率，同除以得到离心率的不等式，求得其范围.12.若函数在区间上，均可为一个三角形的三边长，则称函数为“三角形函数”已知函数在区间上是“三角形函数”，则实数的取值范围为（ ）A B C D【答案】A考点：利用导数研究函数在闭区间上的最值.1【方法点睛】本题主要考查了利用导数研究函数在闭区间上的最值，考查考生应用所学知识解决问题的能力，属于中档题.解答本题首先通过给出的定义把问题转化为函数的最值问题，通过导数研究其单调性，得到最小值，通过比
6、较区间端点的函数值求出最大值，列出关于参数的不等式，进而求得其范围.第卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分）13.九章算术“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升【答案】【解析】试题分析：由题意可知，解得，所以.考点：等差数列通项公式14.如图放置的边长为1的正方形沿轴滚动，点恰好经过原点设顶点的轨迹方程式（），则对函数有下列判断：函数是偶函数；对任意的，都有；函数在区间上单调递减；其中判断正确的序号是 【答案】【解析】试题分析：当时，的轨迹是以为圆心，为半径的圆；当时
7、，的轨迹是以为圆心，为半径的圆；当时，的轨迹是以为圆心，为半径的圆；当时，的轨迹是以为圆心，为半径的圆,所以函数的周期为，图象如下图所示.根据其对称性可知是偶函数，所以正确；因为最小正周期为，所以正确；函数在上单调递增，所以错误；根据定积分的几何意义可知，所以正确，故正确答案为.考点：函数的奇偶性、单调性和周期性及定积分.15.设，在约束条件下，目标函数的最大值小于2，则的取值范围为 【答案】考点：简单的线性规划【方法点睛】本题考查了线性规划的简单应用，属于中档题.做可行域时，应根据判断出直线倾斜角的范围，据此作出可行域，其中根据直线方程判断出目标函数对应的直线与直线垂直，且在点处取得最大值，
8、并由此构造出关于的不等式组是解答本题的关键.16.如图，平面，交于，交于，且，则三棱锥体积的最大值为 【答案】考点：棱柱、棱锥、棱台的体积.【方法点睛】本题主要考查了线面垂直的判断与性质定理，考查了棱锥的体积公式和重要不等式，考查了考生的推理和计算能力，属于中档题.解答本题的关键是根据题意判断出平面，其中是定值，所以求面积的最大值实质上就是求面积的最大值，在中，由勾股定理和重要不等式求得，面积得解.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知向量，记（1）若，求的值；（2）在锐角中，角，的对边分别是，且满足，求的取值范围【答案】（1）；（2）.【解
9、析】试题分析：（1）根据平面向量数量积的坐标表示及三角恒等变换可得，由可得，根据二倍角公式可得的值；（2）根据正弦定理消去中的边可得，所以，又，则，得，根据三角函数值域的有界性即可求得的取值范围试题解析：（1）向量，记，则，因为，所以，所以考点：三角求值、正弦函数的值域及正弦定理解三角形.18.已知数列的前项和满足（），设.（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）按以下规律构造数列，具体方法如下：，第项由相应的中项的和组成，求数列的通项公式【答案】（1）；（2）.试题解析：（1）在，中，令，得，当时，得：，（），1111111又，又，所以数列是等差数列，又，（2）由题意得，而，是
10、首项为，公差为1的等差数列，设数列共有项，所以，考点：数列的递推公式与等差数列的前通项公式和前项和公式119.如图（1），在平行四边形中，分别为，的中点现把四边形沿折起，如图（2）所示，连结，（1）求证：；（2）若，求二面角的余弦值【答案】（1）证明见解析；（2）.试题解析：（1）取的中点，连接， ，在平行四边形中，分别为，的中点，为正三角形，则，又，平面，平面，（2），分别为，的中点，若，则，111则三角形为直角三角形，则，1111以为原点，以，为，轴建立空间直角坐标系，则，则，则，设平面的法向量为，则令，则，则，1111设平面的法向量为，则，令，则，即，则，由于二面角是钝二面角，二面角的余
11、弦值是考点：空间中的垂直关系，二面角.20.已知椭圆：过点，为椭圆的半焦距，且，过点作两条互相垂直的直线，与椭圆分别交于另两点,（1）求椭圆的方程；（2）若直线的斜率为，求的面积；（3）若线段的中点在轴上，求直线的方程【答案】（1）；（2）；（3）或试题解析：（1）因为椭圆：，过点，为椭圆的半焦距，且，所以，且，所以，解得，所以椭圆方程为1（2）设方程为，由整理得，1111因为，解得，当时，用代替，得，将代入，得，因为，所以，所以的面积为111（3）设，则两式相减得，因为线段的中点在轴上，所以，从而可得，若，则，所以，得又因为，所以解得，所以，或，所以直线方程为若，则，因为，所以，得，又因为，
12、所以解得或，经检验：满足条件，不满足条件综上，直线的方程为或考点：椭圆的标准方程和直线与椭圆的位置关系.【方法点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程和直线与椭圆的位置关系，考查了考生分析问题和利用所学知识解决问题的能力及运算能力，属于难题.求方程通常列待定系数的方程组求解；（2）中，给出了直线与椭圆的一个交点坐标，根据韦达定理求出另一个交点的坐标，从而求的面积；（3）中根据两点坐标满足方程及中点在轴上，求的，通过讨论求出直线方程.21.设函数（1）讨论的单调性；（2）若在区间内恒成立，求实数的取值范围【答案】（1）当时，在内单调递减，当时，在内单调递减，在内单调递增；（2）.试题解析：（1），11
13、11当时，在内单调递减；当时，有，此时当时，单调递减；当时，单调递增111（2）令，则，当，时，故当在区间内恒成立时，必有；考点：利用导数研究函数的单调性及其应用.【方法点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及其应用，考查了分类讨论的数学思想及考生分析问题和利用所学知识解决问题的能力，属于中档题.研究函数的单调性及极值和最值，首先要求函数的定义域，忽略定义域是最常见的错误.本题解答的关键是根据（1）的结论把参数的范围分成，通过把不等式变形构造两个新函数，通过判断它们的符号来验证的范围是否符合题意.1请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.
14、22.选修4-4：坐标系与参数方程已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为（1）求圆的直角坐标方程；（2）若是直线与圆面的公共点，求的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）根据两角差的正弦公式把曲线的极坐标方程展开，两边同乘以，根据代换即得圆的直角坐标方程；（2）由（1）可得曲线的参数方程为（为参数），代入得到关于的函数关系，由参数的范围可求得其范围.试题解析：（1）圆的极坐标方程为，即有，111则，即有即为圆：考点：圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化及圆参数方程的应用.23.选修4-5：不等式选讲设（1）若的解集为，求实数的值（2）当时，若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）.试题解析：（1）显然，当时，解集为，无解；当时，解集，令，综上所述，（2）当时，令，由此可知，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增，则当时，取到最小值，由题意知，则实数的取值范围是考点：绝对值不等式的解法及有关不等式的有解问题.
