1、7向量应用举例知识点一向量在解析几何中的应用 填一填1若M(x0，y0)是平面上一定点，它到直线l：AxByC0的距离为d.2与直线的方向向量垂直的向量为该直线的法向量设直线l：AxByC0，则它的方向向量为(B，A)，它的法向量为(A，B)答一答1向量在解析几何中的作用是什么？提示：在平面直角坐标系中，有序实数对(x，y)既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量，使向量与解析几何有了密切的联系，特别是有关直线的平行、垂直问题，可以用向量方法解决知识点二 向量在平面几何中的应用 填一填3可运用向量的方法证明有关直线平行和垂直、线段的相等及点共线等问题，其基本方法有：(1)要证明两线段ABCD
2、，可转化为证明22；(2)要证明两线段ABCD，只要证明：存在一实数0，使成立；(3)要证明两线段ABCD，只要证明它们的数量积0即可；(4)要证明A，B，C三点共线，只要证明存在一实数0，使；或若a，b，c，只要证明存在一个实数t，使cta(1t)b；(5)求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式cos.答一答2用向量法证明或解决几何问题的基本步骤是什么？提示：(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；(3)把运算结果“翻译”成几何关系知识点三向量在物理中的应用 填一填4(1)求力向量，速度向量
3、常用的方法：一般是向量几何化，借助于向量求和的三角形法则或平行四边形法则求解(2)用向量方法解决物理问题的步骤：把物理问题中的相关量用向量表示；转化为向量问题的模型，通过向量运算使问题解决；结果还原为物理问题答一答3用向量理论讨论物理中的相关问题，应遵循什么步骤？提示：一般来说分为三步：问题的转化，把物理问题转化为数学问题；建立模型，建立以向量为主体的数学模型，求出数学模型的相关解；问题的答案，回到物理现象中去，用已经获得的数值去解释一些物理现象对直线l：AxByC0的方向向量及法向量的两点说明(1)设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)为直线上不重合的两点，则(x2x1，y2y1)及其共线
4、的向量均为直线的方向向量显然当x1x2时，向量(1，)与共线，因此向量(1，)(B，A)为直线l的方向向量，由共线向量的特征可知(B，A)为直线l的方向向量(2)结合法向量的定义可知，向量(A，B)与(B，A)垂直，从而向量(A，B)为直线l的法向量.类型一直线的方向向量与法向量的应用 【例1】已知点A(2，1)，求：(1)过点A且与向量a(5,1)平行的直线的方程；(2)过点A且与向量a(5,1)垂直的直线的方程【思路探究】可利用直线的方向向量和弦向量求直线的方程【解】解法一：(1)设所求直线上任意一点P(x，y)，由题意，知a.(x2，y1)，a(5,1)，5(y1)(x2)0，即x5y7
5、0.故过点A且与向量a(5,1)平行的直线方程为x5y70.(2)设所求直线上任意一点P(x，y)由题意，知a，即a0.(x2，y1)，a(5,1)，5(x2)(y1)0，即5xy90.故过点A且与向量a(5,1)垂直的直线方程为5xy90.解法二：(1)所求直线与向量a(5,1)平行，所求直线的斜率为.又所求直线过点A(2，1)，所求直线方程为y(1)(x2)，即x5y70.(2)所求直线与向量a(5,1)垂直，所求直线的斜率为5，又所求直线过点A(2，1)，所求直线方程为y(1)5(x2)，即5xy90.规律方法 解法一采用了求轨迹方程的方法，先在所求直线上设一动点P(x，y)，再利用向量
6、平行、垂直的条件建立x，y的关系；解法二应用了直线的方向向量、法向量与直线的斜率之间的关系求解过点A(1,2)且与直线l：4x5y10垂直的直线m的方程是5x4y30.解析：取直线l的法向量n(4，5)设点P(x，y)在所求直线m上，则(x1，y2)由题意，知与n平行，即4(y2)(5)(x1)0，故直线m的方程为5x4y30.类型二向量在平面几何中的应用 【例2】如图所示，在ABC中，BAC120，ABAC3，点D在线段BC上，且BDDC.求：(1)AD的长；(2)DAC的大小【思路探究】(1)由于，的模及夹角已知，因此可以以，为基底表示，结合向量的数量积求解|；(2)DAC的求解需利用公式
7、cosDAC.【解】(1)设a，b，则()ab.|22(ab)2a22abb29233cos12093.故AD.(2)设DAC，则为向量与的夹角cos0，90，即DAC90.规律方法 利用向量解决平面几何问题的两种方法(1)几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模长或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算；(2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算一般地，坐标易表示或易建立平面直角坐标系的题目适合用坐标法在直角梯形ABCD中，ABCD，CDADAB90，CDDAAB.求证：BCAC.证明：如图，
8、以A为坐标原点，AB，AD所在的直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系设CD1，则A(0,0)，B(2,0)，C(1,1)，D(0,1)，(1,1)，(1,1)11110，BCAC.类型三向量在物理中的应用 【例3】设作用于同一点O的三个力F1，F2，F3处于平衡状态，若|F1|1，|F2|2，F1和F2的夹角为(如图所示)求：(1)F3的大小(2)F3，F2的大小【思路探究】第(1)问根据受力平衡原理可知F3(F1F2)，从而|F3|F1F2|；第(2)问以点O为坐标原点，F2的方向为x轴正方向，建立直角坐标系，将F1，F3正交分解，根据受力平衡建立方程并求解【解】(1)F1，F2，F3处于
9、平衡状态，故F1F2F30，即F3(F1F2)，所以|F3|F1F2|.(2)如图，以点O为坐标原点，F2的方向为x轴正方向，建立直角坐标系将向量F1，F3正交分解，设MOF3.由受力平衡知|F3|sin|F1|cos，即sin，所以，所以F3，F2.规律方法 用向量解决物理问题的步骤(1)抽象出物理问题中的向量，转化为数学问题；(2)建立以向量为主体的数学模型；(3)利用向量的线性运算或数量积运算，求解数学模型；(4)用数学模型中的数据解释或分析物理问题(1)如果一架飞机先向东飞行200 km，再向南飞行300 km，设飞机飞行的路程为s km，位移为a，则(A)As|a| Bs|a|Cs|
10、a| Ds与|a|不能比较大小(2)已知三个力f1(2，1)，f2(3,2)，f3(4，3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力f4，则f4(D)A(1，2) B(1，2)C(1,2) D(1,2)解析：(1)物理量中的路程是数量，位移是向量，从而s500，由位移的合成易得|a|a|.(2)由题意知f4(f1f2f3)(2，1)(3，2)(4，3)(1，2)(1,2)类型四向量在平面解析几何中的应用 【例4】已知点P(3,0)，点A在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线AQ上，满足0，.当点A在y轴上移动时，求动点M的轨迹方程【思路探究】设出M点坐标，利用，可以将A点的坐
11、标用M点的坐标表示出来，从而用0确定所求轨迹以向量为载体考查解析几何的问题【解】设点M(x，y)为轨迹上的任一点，设A(0，b)，Q(a,0)(a0)，则(x，yb)，(ax，y)，(x，yb)(ax，y)a，b，即A(0，)，Q(，0).(3，)，(x，)0，3xy20.即所求轨迹方程为y24x(x0)规律方法 利用向量的运算求轨迹要理解几何关系与向量表示的内在联系，正确理解向量条件是解题的基础向量的坐标表示，使向量成为解决解析几何问题的有利工具，对于证明垂直、求夹角、写直线方程等问题显示出了它的优越性，在处理解析几何问题时，需要将向量用点的坐标表示，利用向量的有关法则、性质列出方程，从而使
12、问题解决已知圆C：(x3)2(y3)24及点A(1,1)，M是圆C上的任一点，点N在线段MA的延长线上，且2，求点N的轨迹方程解：设N(x，y)，M(x0，y0)因为2，所以(1x0,1y0)2(x1，y1)，所以即又因为点M(x0，y0)在圆C：(x3)2(y3)24上，所以(x03)2(y03)24，所以(2x)2(2y)24，即x2y21，所以点N的轨迹方程为x2y21.易错警示向量在几何应用中的误区【例5】在ABC中，已知向量与满足()0，且，则ABC的形状为_【错解】直角三角形【正解】因为向量，分别表示与向量，同向的单位向量，所以以，为邻边的平行四边形是菱形根据平行四边形法则作(如图
13、所示)，则AD是BAC的平分线因为非零向量满足()0，所以BAC的平分线AD垂直于BC，所以ABAC，又cosBAC，且BAC(0，)，所以BAC，所以ABC为等边三角形【错解分析】解答过程中，若未能分析出所表示的几何意义，或者未能根据平行四边形法则分析出所表示的几何意义，就会直接根据数量积为零的条件判断ABC是直角三角形【答案】等边三角形【防范措施】1.注意知识的积累向量线性运算和数量积的几何意义是解决向量问题的依据，如本例中，的含义，邻边相等的平行四边形是菱形，菱形的对角线平分对角2树立数形结合意识推导图形的形状时要以题目条件为依据全面进行推导，回答应力求准确，如本例求解时，以图形辅助解题
14、，较为形象直观O为平面上的定点，A，B，C是平面上不共线的三点，若()(2)0，则ABC是(B)A以AB为底边的等腰三角形B以BC为底边的等腰三角形C以AB为斜边的直角三角形D以BC为斜边的直角三角形解析：由题知，()(2)()0，如图所示，其中2(D为BC中点)，所以ADBC，即AD是BC的中垂线，所以ABAC，即ABC为等腰三角形，故选B.一、选择题1在四边形ABCD中，a2b，4ab，5a3b，其中a、b不共线，则四边形ABCD为(A)A梯形 B平行四边形C菱形 D矩形解析：根据题目提供的选项，首先要看是否有两边平行因为8a2b2(4ab)2，所以.而与不平行，则四边形ABCD为梯形，应
15、选A.2原点到直线x2y50的距离为(D)A1 B.C2 D.解析：本小题主要考查点到直线的距离公式由点到直线的距离公式得d.3某人骑自行车的速度为v1，风速为v2(|v1|v2|)，则逆风行驶的速度大小为(C)Av1v2 Bv1v2C|v1|v2| D|解析：逆风行驶的速度为vv1v2，因为v1v2，且方向相反，,所以|v|v1|v2|(|v1|v2|)二、填空题4.在平面直角坐标系中，正方形OABC的对角线OB的两端点分别为O(0,0)，B(1,1)，则1.解析：如图所示，(0,1)，(1,1)，(0,1)(1,1)1.5.已知平面上不共线的四点O，A，B，C.若320，则等于2.解析：320，()2()0.2.|2|.2.三、解答题6.如图所示，在平行四边形ABCD的对角线DB的延长线及反向延长线上分别取E、F两点，使BEDF，求证：四边形AECF也是平行四边形证明：由题意得：，,所以.即AEFC，且|.所以四边形AECF是平行四边形
