1、第六章数列6.1数列的概念与简单表示法1了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)2了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数高考以考查通项公式及其性质为主，题型主要为：用归纳猜想法求通项；利用an与Sn的关系求通项；由递推数列的关系式求通项；判断数列的单调性等1数列的概念(1)定义：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的 数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做 )，排在第二位的数称为这个数列的第2项排在第n位的数称为这个数列的第n项所以，数列的一般形式可以写成 ，其中an是数列的第n项，叫做数列的通项常把一般形式
2、的数列简记作an(2)通项公式：如果数列an的 与序号 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式(3)从函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集1，2，3，n)的函数，当自变量从小到大依次取值时所对应的一列_(4)数列的递推公式：如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项 与它的前一项 (或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式(5)数列的表示方法有 、 、 、 .2数列的分类(1)数列按项数是有限还是无限来分，分为 、 .(2)按项的增减规律分为 、 、 和 递增数列an1 a
3、n；递减数列an1 an；常数列an1 an.递增数列与递减数列统称为 3数列前n项和Sn与an的关系已知Sn，则an4常见数列的通项(1)1，2，3，4，的一个通项公式为an_；(2)2，4，6，8，的一个通项公式为an_；(3)3，5，7，9，的一个通项公式为an_；(4)2，4，8，16，的一个通项公式为an_；(5)1，1，1，1，的一个通项公式为an_；(6)1，0，1，0，的一个通项公式为an_；(7)a，b，a，b，的一个通项公式为an_； (8)9，99，999，的一个通项公式为an .注：据此，很易获得数列1，11，111，；2，22，222，；8，88，888，的通项公式分
4、别为(10n1)，(10n1)，(10n1)【自查自纠】1(1)项首项a1，a2，a3，an，(2)第n项n(3)函数值(4)anan1(5)通项公式(解析法)列表法图象法递推公式2(1)有穷数列无穷数列(2)递增数列递减数列摆动数列常数列单调数列3S1SnSn14(1)n(2)2n(3)2n1(4)2n(5)(1)n(6)(7)(8)10n1数列1，的一个通项公式是()Aan(1)n Ban(1)n Can(1)n Dan(1)n 解：1，数列1，4，9，16，对应通项n2，数列1，3，5，7，对应通项2n1，数列1，1，1，1，对应通项(1)n.故选B.下列有四个命题：数列是自变量为正整数
5、的一类函数；数列，的通项公式是an；数列的图象是一群孤立的点；数列1，1，1，1，与数列1，1，1，1，是同一数列其中正确的个数是()A1 B2 C3 D4解：易知正确，不正确故选B.若数列an，则a5a4()A. B C. D.解：a5a4()，故选C.数列an的前n项和Snn22n1，则an的通项公式为_解：当n1时，a1S14；当n2时，anSnSn12n1，an 故填an数列an中，a11，对于所有的nN*都有a1a2a3ann2，则a3a5_.解法一：由a1a2a322a332，得a3，由a1a2a3a4a542a552，得a5，a3a5.解法二：当n1时，a1a2a3ann2.当n
6、2时，a1a2a3an1(n1)2.两式相除得an，n2.a3，a5.a3a5.故填.类型一数列的通项公式已知数列：，.(1)试写出该数列的一个通项公式；(2)利用你写出的通项公式判断0.98是不是这个数列中的一项解：(1)各项的分子为22，32，42，52，分母比分子大1，因此该数列的一个通项公式为an.(2)不妨令0.98，得n22n480，解得n8(舍)或n6.故0.98是这个数列中的第6项a6.【评析】一个数列只知道前n项，其通项公式是不能确定的，即使完全知道该数列，其通项公式的形式也不一定是惟一的，如数列1，0，1，0，的通项公式可写成an或an甚至分段形式an等对于此类归纳猜想求通
7、项的题目，一定要掌握一些常见数列的通项公式，如n，2n，(1)n，2n，n2，2n1等，在此基础之上还要掌握一定的方法，如将各项分解成若干个数的和、差、积、商，分离分子分母等由于数列是特殊的函数，因此判断某数是否为数列中的项，即是知an判断方程anf(n)是否有正整数解写出下列数列的一个通项公式：(1)1，；(2)3，5，9，17，33，；(3)3，33，333，3333，；(4)，1，.解：(1)an(1)n；(2)an2n1；(3)an(10n1)；(4)由于1，故分母为3，5，7，9，11，即2n1，分子为2，5，10，17，26，即n21符号看作各项依次乘1，1，1，1，即(1)n1，
8、故an(1)n1.类型二由前n项和公式求通项公式(1)若数列an的前n项和Snn210n，则此数列的通项公式为an_(2)若数列an的前n项和Sn2n1，则此数列的通项公式为an_解：(1)当n1时，a1S11109；当n2时，anSnSn1n210n(n1)210(n1)2n11.当n1时，21119a1.an2n11.故填2n11.(2)当n1时，a1S12113；当n2时，anSnSn1(2n1)(2n11)2n2n12n1.综上有 an故填【评析】任何一个数列，它的前n项和Sn与通项an都存在关系：an 若a1适合SnSn1，则应把它们统一起来，否则就用分段函数表示另外一种快速判断技巧
9、是利用S0是否为0来判断：若S00，则a1SnSn1，否则不符合，这在解小题时比较有用已知下列数列an的前n项和Sn，分别求它们的通项公式an.(1)Sn2n23n; (2)Sn3n1.解：(1)当n1时，a1S1212315；当n2时，anSnSn1(2n23n)2(n1)23(n1)4n1.当n1时，4115a1，an4n1.(2)当n1时，a1S1314；当n2时，anSnSn1(3n1)(3n11)23n1.当n1时，23112a1，an类型三由递推公式求通项公式写出下面各递推公式表示的数列an的通项公式(1)a11，an12nan(n1)；(2)a11，anan1(n2)解：(1)解
10、法一：an12nan，2n，2，22，23，2n1.将上述n1个式子累乘，得2123(n1)，即an2(nN*)解法二：an12nan2n2n1an12n2n12221a1212n1na12.an2.(2)由递推关系anan1(n2)，有anan1(n2)于是有a2a1，a3a2，anan1.将上述n1个式子累加，得an2.当n1时，a11也满足，故an2(nN*)【评析】已知a1和数列递推关系求通项时，可先计算出前若干项，通过分析这些项与序号的关系，归纳猜想出数列的通项公式，但这种不完全归纳得到的结论往往需要进行验证；但对于“f(n)”型递推关系常用“累乘法”求通项；对于“anan1f(n)
11、”型递推关系常用累加法求通项；以上两种情形皆可用迭代法求通项还须注意检验n1时，是否适合所求写出下面各递推公式表示的数列an的通项公式(1)a11，an3n1an1；(2)a14，an1an.解：(1)由a11，anan13n1(n2)，得a11，a2a131，a3a232，an1an23n2，anan13n1，以上等式两边分别相加得an13323n1，n1时，a11也适合，an.也可直接利用递推公式，逐项代替等式右边出现的an1，直至a1：由an3n1an13n13n2an23n13n23231a1.当n1时，a11也适合，an.(2)由递推关系a14，an1an，有，于是有3，将这(n1)
12、个式子累乘，得，即当n2时，ana12n(n1)，当n1时，a14也满足所以an2n(n1)类型四数列通项的性质在数列an中，an(n1)(nN*)(1)求证：数列an先递增，后递减；(2)求数列an的最大项解：因an(n1)是积幂形式的式子且an0，所以可用作商法比较an与an1的大小(1)证明：令1(n2)，即1，整理得，解得n10.令1，即1，整理得，解得n9.从第1项到第9项递增，从第10项起递减(2)解：由(1)知a9a10最大【评析】要证明数列an是单调的，可利用“an是递增数列anan1，数列an是递减数列anan1”来证明注意数列的单调性是探索数列的最大、最小项及解决其他许多数
13、列问题的重要途径，因此要熟练掌握上述求数列单调性的方法设函数f(x)log2xlogx2(0x1)，数列an满足2n(nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)判断数列an的单调性解：(1)an，an2n，即a2nan10.ann，x(0，1)，(0，1)，an0.ann.(2)an1an(n1)(n)1110，an1an，则数列an是递增数列也可由an直接判断1已知数列的前几项，写出数列的通项公式，主要从以下几个方面来考虑：(1)如果符号正负相间，则符号可用(1)n或(1)n1来调节(2)分式形式的数列，分子找通项，分母找通项，要充分借助分子、分母的关系来解决(3)对于比较复杂的通项公式，要
14、借助于等差数列、等比数列和其他方法来解决此类问题虽无固定模式，但也有规律可循，主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知的数列)、归纳、转化(转化为等差、等比或其他特殊数列)等方法来解决2an务必注意anSnSn1是在n2的条件下，还需注意验证a1是否符合an(n2)，是则合并，否则写成分段形式3已知递推关系求通项这类问题要求不高，主要掌握由a1和递推关系先求出前几项，再归纳、猜想an的方法，以及“累加法”“累乘法”等(1)已知a1且anan1f(n)，可以用“累加法”得：ana1f(2)f(3)f(n1)f(n)(2)已知a1且f(n)，可以用“累乘法”得：ana1f(2)f(3)f(n1)f(n)4数列的简单性质(1)单调性：若an1an，则an为递增数列；若an1an，则an为递减数列(2)周期性：若ankan(nN*，k为非零正整数)，则an为周期数列，k为an的一个周期(3)最大值与最小值：若 则an最大；若 则an最小
