1、 知识系统整合 规律方法收藏1待定系数法是数学中特别重要的一种解题方法，在本章的复数的运算当中，待定系数法用的较多，常设zabi(a，bR)，建立a，b的关系式，然后求解问题2解决复数问题时，要注意从整体角度去分析求解，若遇见复数便设为zabi(a，bR)的形式，有时会导致计算量过大运用整体代换及结合几何意义，可以大大地简化计算过程3复数相等的充要条件是复数问题实数化的理论依据4复数的模是复数的一个重要概念，也是高考重点考察的对象之一求复数的模的最值时，常用的方法有：(1)设出代数形式，利用求模公式，把模表示成实数范围的函数，然后利用函数来求最值；(2)利用不等式|z1|z2|z1z2|z1|
2、z2|求解；(3)利用几何法求解 学科思想培优复数的基本概念复数的分类，要弄清复数类型的充要条件，若复数abi是实数，则b0，若复数abi是纯虚数，则a0且b0，若复数abi为零，则a0，且b0，若复数abi是虚数，则b0.典例1(1)设z是复数，则下列命题中的假命题是()A若z20，则z是实数B若z20，则z是虚数C若z是虚数，则z20D若z是纯虚数，则z20(2)设i是虚数单位，若复数a(aR)是纯虚数，则a的值为()A3 B1 C1 D3(3)已知复数z(52i)2(i为虚数单位)，则z的实部为_解析(1)设zabi(a，bR)，则z2a2b22abi，若z20，则即b0，故z是实数，A
3、正确若z20，则即故B正确若z是虚数，则b0，z2a2b22abi无法与0比较大小，故C是假命题若z是纯虚数，则z2b20，故D正确(2)aaa(3i)(a3)i，其为纯虚数得a3.(3)复数z(52i)22120i，其实部是21.答案(1)C(2)D(3)21复数的四则运算复数的四则运算类似于多项式的四则运算，此时含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把i的幂写成最简单的形式典例2计算：(1)；(2).解(1)原式i.(2)原式1i.复数及其运算的几何意义1任何一个复数zabi与复平面内一点Z(a，b)对应，而任一点Z(a，b)又可以与以原点为起点，
4、点Z(a，b)为终点的向量对应，这些对应都是一一对应，即2设z1x1y1i，z2x2y2i，其对应的复平面内的点分别为Z1(x1，y1)，Z2(x2，y2)，所以点Z1，Z2之间的距离为|Z1Z2|Z2Z1|(x2y2i)(x1y1i)|(x2x1)(y2y1)i| .典例3已知z是复数，z2i，均为实数，且复数(zai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围解设zxyi(x，yR)，因为z2ix(y2)i，且z2i为实数，所以y2.因为(x2i)(2i)(2x2)(x4)i，且为实数，所以x4，所以z42i，所以(zai)2(124aa2)8(a2)i，根据条件，可知解得2a6，
5、所以实数a的取值范围是(2,6)典例4已知复数z1i(1i)3.(1)求|z1|；(2)若|z|1，求|zz1|的最大值解(1)z1i(1i)3i(1i)(2i)22i，|z1|2.(2)解法一：设z与z1对应的点分别为Z，Z1，|z|1，点Z在以原点为圆心，1为半径的圆上，z122i，Z1(2，2)，|zz1|为点Z1到圆上一点的距离，|zz1|max|ZZ1|max121.解法二：|z|1，可设zcosisin(R)，|zz1|cosisin22i| .当sin1时，|zz1|取得最大值，最大值为21.复数方程问题典例5设关于x的方程是x2(tani)x(2i)0，(1)若方程有实数根，求锐角和实数根；(2)证明对任意k(kZ)，方程无纯虚数根解(1)设实数根是a，则a2(tani)a(2i)0，即a2atan2(a1)i0.a，tanR，a1，且tan1.又0，.(2)证明：若方程存在纯虚数根，设为xbi(bR，b0)，则(bi)2(tani)bi(2i)0，即此方程组无实数解所以对任意k(kZ)，方程无纯虚数根
