1、全日制普通高中人教B版必修4教学课题 2.3.2向量数量积的运算律一、设计依据与设计思路1.教学内容：本节课是人教B版数学必修4第二章平面向量2.3.2主要内容是向量数量积的运算律与应用。2.课标解读会进行平面向量数量积的运算，体会平面向量数量积与投影的关系；体会向量是一种处理几何问题的方法，发展运算能力和解决实际问题的能力。这说明体会向量数量积与投影的关系是进行运算律推导的的关键。3.教材分析本节内容对向量数量积的运算律理解是建立在之前向量数量积的物理意义及向量数量积的定义的内容基础上的；为坐标运算，向量的几何、物理应用等向量计算探究问题奠定基础，是平面向量这一章的重要内容。4.学情分析学生
2、在接触向量数量积运算律之前学习过实数与整式的运算律。两个向量的数量积是中学代数以往内容中从未遇到过的一种新的计算方法，它区别于数的乘法。学生对向量的概念的理解有困难，进行教学设计时考虑将这两进行对比，采用类比的思维从而降低难度，同时增强学生的逻辑推理能力。同时向量数量积的运算量相对较大，应合理安排训练内容使学生的计算能力得以提升。5.学习价值分析学生用以往的知识经验，类比实数运算律，在本节课内容中会出现错误，教师需要引导学生，让学生敢于探究、勤于思考，增强学生分析解决问题的能力。在这节课中，学生应结合其前一节课向量数量积，进一步理解正射影的概念，将知识联系起来，建立形与数的联系。让学生主动探究
3、运算律部分内容，让学生借助图形进行计算与理解，同时，教师应在合适的时候给予规范的解答。小结、尾巴总结价值方法、学习经验数量积复杂应用简单应用探究结合律、消去律是否符合依次探究交换律、数乘结合律、分配律类比实数通过无法计算引导探究运算律复习向量数量积6.设计思路7.设计理念本着“教师主导，学生主体”的思想，以教育心理学家皮亚杰的理论认知的不平衡或冲突状态是一种认知发展动力，是学习过程中内在的动机为基点。教学过程中着力创设认知冲突，刺激学生的求知欲望，并维持他们在学习活动中的动力，以实现认知的发展。通过认知矛盾激发学生学习知识的热情，以发展能力为目标。促进学生自主探究知识的同时，以合作交流的方式给
4、予学生展示的平台。通过合理的例题设置与习题配置，使学生合理运用知识解题，增强学生学习信心。二、教学目标1.知识与技能目标：理解平面向量数量积的运算律的推导，了解投影与数量积运算规则的关系，掌握平面向量数量积的运算律在问题中的应用。2.过程与方法目标：（1）通过组织对向量数量积运算律的探究，培养学生发现问题解决问题的思路与方法。使学生理解向量正射影的概念，进而发现解决复杂向量数量积运算的方法。（2）通过几个不成立的向量数量积的运算律，增强学生独立获取数学知识的能力，培养学生举一反三以及举一思三的思维。（3）通过习题的讲练，使学生体会如何求一个向量的模，提高运算求解、数据处理的能力。3.情感、态度
5、、价值观目标：促进学生自主思维，勇于探索，敢于质疑；通过图形辅助理解，为学生降低认知难度，从而克服畏惧感，提高数学学习兴趣；通过课前预习与自主探究，发展独立获取数学知识的能力；通过合作探究学习培养学生锲而不舍的钻研精神和合作交流的团队精神。三、教学重、难点与确立依据及突破手段教学重点：平面向量数量积的运算律及应用。确立依据：课标及考试大纲要求：会进行平面向量数量积的运算学生的认知需求：不知道怎么计算教学难点：用投影与数量积的关系证明运算律，以向量数量积运算律为基础解决各类应用问题。确立依据：通过证明探究提升数学核心素养：直观想象、逻辑推理、数学建模探究活动数学运算训练过程突破手段：引导 认知矛
6、盾激发思考；开展 合作展评提升兴趣；组织 加强训练增加信心；带领 总结知识夯实重点。四、教学方法与教学手段教学方法：1、讲授法2、探究法3、实践法4、演示法教学手段：幻灯片投影复习、预习、扩充容量；快速投屏快速展示、点评五、教学过程教学环节与时间分配教师活动学生活动复习巩固（130）复习提问：1.向量数量积的定义2.正射影的概念及数量积的几何意义PPT演示，使学生加深印象1.向量a与向量b的数量积为2.a的正射影在轴l上的坐标，称作a在轴l上的数量或在轴l方向上的数量。创设情境，引起认知矛盾（2）与 如何展开（以学生当前的知识储备不能解决，引导学生用类比的思维进行研究）带领学生回顾实数运算律都
7、有什么，是否类比实数的运算律进行展开？思考如何解决这样的问题是否可以照搬实数的运算律，区别在哪里？带着疑问。学习目标与重难点解读（1）【学习目标】1.掌握向量数量积的几个运算律，了解投影与数量积运算规则的关系。2.经历向量数量积运算律的探究，发现解决复杂向量数量积运算的方法。3.自主思维，勇于探索，敢质疑，发展直观想象和逻辑推理。明确本节课学习内容。同时，也明确了本节课目标学会的标准预习内容（130）结合向量数量积定义的知识试，验证 交换律（交换律符合，为学生按照此类研究方法继续研究建立信心）根据向量数量积的定义其他未自主探究出结果的学生，按照PPT的步骤重新推导。探究向量数量积的运算律（6）
8、（学生刚刚建立一种基本的推导逻辑，会想到用刚学过的定义证明，但发现定义证明过程中a很难处理，是否有什么简单的方法？）提示：可以借助图形进行研究（这里就用到了正射影的知识）试验证 数乘结合律试验证 分配律是否符合？为什么符合？结合学生的回答，推导过程，展示。（组织学生讨论的过程中，适当引导但不能全盘托出）所以，数乘结合律成立。即分配律也成立自主探究合作讨论，激发学生学习热情。以问题为引入，以引导来启发，以启发来思维。独立思考解决问题。能根据向量数量积的公式推导出一定步骤。作答，教师给予指导。在听推导过程的同时，也在比较自己推导时出现的问题，与概念混淆的地方。从简单问题入手让学生能沿着教师设置的问
9、题的梯子拾级而上。思考为什么老师会说数乘结合律，不说集合律，引发思考。结合这部分内容的探究，学生对向量数量积的知识有了新的认识。结合前知识中正射影的内容，能自主探究出分配律。但要依靠合理的图形，此时需要老师引导学生画出合理的图象，图象展出后。即a在c，b在c上的数量为OM、MN。即a在c，b在c上的数量等于a+b在c上的数量思考一（2）（这个时间节点给予学生训练的机会，一是三大运算律已经探究完，再次提出问题，增加学生学习的信心）再次提出问题什么时候相等？0为共线且同向余弦值为1时，夹角为0探究二（7）研究向量数量积中结合律是否成立？（一方面学生对数乘结合律成立已知，但为什么不是结合律，还存有疑
10、问；其次，学生已经积累了一部分解决这部分问题的经验，在自主探究的基础上进行讨论，有助于概念的理解）结合律在向量数量积运算中不成立问题一：问题二：自主探究，小组合作谈论不能，而a与b不一定是0思考二（2）？（让学生直观感知ab存在位置，实现本节教学重难点的突破）类型题训练展评（12）练习1：已知=2，=3，与的夹角为60，求：(1) (2) (3) (4)（通过这道题的训练知道在向量数量积的计算当中容易出现的问题，及求两个向量和向量模的方法，即先平方再求算术平方根）练习2：已知与的夹角为60，且=4，=12，求.向量数量积还能提供什么便利？这两个问题是有关几何的问题。练习3：运用向量数量积解决几
11、何问题1.向量法证明勾股定理练习4：向量法解三角形未知量为接下来的知识打好铺垫当堂训练、展写讲评理解向量数量积运算律的基础上，进行复杂向量数量积的运算，感受向量数量积的具体运用。解：(1)ab=|a|b|cos60=3(2) =2(3) (4)C BA兴趣训练（2）（2018全国二）已知向量a，b满足，ab=-1，则a（2a-b）=A4B3C2D0（增强学生学习的热情，见识高考，认识高度）B，很简单课堂小结+尾巴（3）方法：求一个向量的模，可以先平方，再求算数平方根1.遇到解决不了的数学问题，作图试试有大概率会突破。2.不仅仅会举一反三，还要举一思三，三思后行。3.数学是一门严谨的学科，思考问题时一定要小心有没有漏掉细节。（注重数学思想方法的提炼，可使学生逐渐把经验内化为能力，从而走向一个新的高度。本节课还间接地锻炼了学生的计算能力）在回顾、总结、反思的过程中，将所学知识条理化、系统化，使自己的认知结构更趋合理。探无止境试用向量法探究三角形余弦定理：c2=a2+b2-2ab cosC在做过一道相关题目后，开拓思维作业布置60号导学案，练习册P50自主完成作业2.3.2 向量数量积的运算律 （学生习题） （学生习题） （学生习题） 六、板书设计
