1、四川省棠湖中学2020届高三数学下学期第三学月考试试题 理（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，集合，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求出中不等式的解集确定出集合，之后求得.【详解】由，所以，故选：B.【点睛】该题考查的是有关集合的运算的问题，涉及到的知识点有一元二次不等式的解法，集合的运算，属于基础题目.2.复数（为虚数单位），则等于（ ）A. 3B. C. 2D. 【答案】D【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，从而求得，然后直接利用复数模的公式求解.【详解】，所以
2、，故选：D.【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的乘除运算，复数的共轭复数，复数的模，属于基础题目.3.函数的图象大致为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】确定函数在定义域内的单调性，计算时的函数值可排除三个选项【详解】时，函数为减函数，排除B，时，函数也是减函数，排除D，又时，排除C，只有A可满足故选：A.【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，可通过解析式研究函数的性质，如奇偶性、单调性、对称性等等排除，可通过特殊的函数值，函数值的正负，函数值的变化趋势排除，最后剩下的一个即为正确选项4.已知，则“mn”是“ml”的A. 充分不必要条件B. 必要不
3、充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】构造长方体ABCDA1B1C1D1，令平面为面ADD1A1，底面ABCD为，然后再在这两个面中根据题意恰当的选取直线为m，n即可进行判断【详解】如图，取长方体ABCDA1B1C1D1，令平面为面ADD1A1，底面ABCD为，直线=直线若令AD1m，ABn，则mn，但m不垂直于若m，由平面平面可知，直线m垂直于平面，所以m垂直于平面内的任意一条直线mn是m的必要不充分条件故选B【点睛】本题考点有两个：考查了充分必要条件的判断，在确定好大前提的条件下，从mnm？和mmn？两方面进行判断；是空间的垂直关系，一般利用长方体为载体
4、进行分析5.设，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用倍角公式求得的值，利用诱导公式求得的值，利用同角三角函数关系式求得的值，进而求得的值，最后利用正切差角公式求得结果.【详解】，故选：D.【点睛】该题考查的是有关三角函数求值问题，涉及到的知识点有诱导公式，正切倍角公式，同角三角函数关系式，正切差角公式，属于基础题目.6.在平行四边形中，若则( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由，,利用平面向量的数量积运算,先求得利用平行四边形的性质可得结果.【详解】如图所示,平行四边形中, ,，,因为,所以,，所以，故选C.【点睛】本题主要考查向量的几何运算
5、以及平面向量数量积的运算法则，属于中档题. 向量的运算有两种方法：（）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）.7.已知函数为奇函数，且，则（ ）A. 2B. 5C. 1D. 3【答案】B【解析】【分析】由函数为奇函数,则有,代入已知即可求得.【详解】.故选:.【点睛】本题考查奇偶性在抽象函数中的应用,考查学生分析问题的能力,难度较易.8.的展开式中的常数项为( )A. 60B. 240C. 80D. 180【答案】D【解析】【分析】求的展开式中的常数项，可转化为求展开式中的常数项和项，再求和即可得出答案.【详解】由题意
6、，中常数项为，中项为，所以的展开式中的常数项为：.故选：D【点睛】本题主要考查二项式定理的应用和二项式展开式的通项公式，考查学生计算能力，属于基础题.9.已知函数满足：当时，且对任意，都有，则（ ）A. 0B. 1C. -1D. 【答案】C【解析】【分析】由题意可知，代入函数表达式即可得解.【详解】由可知函数是周期为4的函数，.故选：C.【点睛】本题考查了分段函数和函数周期的应用，属于基础题.10.已知四棱锥中，平面，底面是边长为2的正方形，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意建立空间直角坐标系，表示出各点坐标后，利用即可得解.【
7、详解】平面，底面是边长为2的正方形，如图建立空间直角坐标系，由题意：，为的中点，.，异面直线与所成角的余弦值为即为.故选：B.【点睛】本题考查了空间向量的应用，考查了空间想象能力，属于基础题.11.已知函数在上单调递增，则取值范围（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析】由,可得,结合在上单调递增,易得,即可求出的范围.【详解】由,可得,时,而,又在上单调递增,且,所以,则,即,故.故选:B.【点睛】本题考查了三角函数的单调性的应用,考查了学生的逻辑推理能力,属于基础题.12.已知双曲线，点是直线上任意一点，若圆与双曲线的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围是（ ）A. B.
8、C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求出双曲线的渐近线方程，可得则直线与直线的距离，根据圆与双曲线的右支没有公共点，可得，解得即可【详解】由题意，双曲线的一条渐近线方程为，即，是直线上任意一点，则直线与直线的距离，圆与双曲线的右支没有公共点，则，即，又故的取值范围为，故选：B【点睛】本题主要考查了直线和双曲线的位置关系，以及两平行线间的距离公式，其中解答中根据圆与双曲线的右支没有公共点得出是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若实数x，y满足约束条件，则的最大值为_.【答案】3【解析】【分析】作出可行域,可得当直线经过点时,
9、取得最大值,求解即可.【详解】作出可行域（如下图阴影部分）,联立,可求得点,当直线经过点时,.故答案为:3.【点睛】本题考查线性规划,考查数形结合的数学思想,属于基础题.14.记等差数列和的前项和分别为和，若，则_.【答案】【解析】【分析】结合等差数列的前项和公式,可得,求解即可.【详解】由题意,因为,所以.故答案为:.【点睛】本题考查了等差数列的前项和公式及等差中项的应用,考查了学生的计算求解能力,属于基础题.15.函数的值域为_【答案】【解析】【分析】利用换元法，得到，利用导数求得函数的单调性和最值，即可得到函数的值域，得到答案【详解】由题意，可得，令，即，则，当时，当时，即在为增函数，在
10、为减函数，又，故函数的值域为：【点睛】本题主要考查了三角函数的最值，以及利用导数研究函数的单调性与最值，其中解答中合理利用换元法得到函数，再利用导数求解函数的单调性与最值是解答的关键，着重考查了推理与预算能力，属于基础题16.等腰直角三角形内有一点P，则面积为_.【答案】【解析】【分析】利用余弦定理计算，然后根据平方关系以及三角形面积公式，可得结果.【详解】设由题可知：由，所以化简可得：则或，即或由，所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，仔细观察，细心计算，属基础题.三.解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第
11、22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.在中，角的对边分别为，且（1）求角的大小；（2）若函数图象的一条对称轴方程为且，求的值【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知利用三角函数恒等变换的应用，正弦定理可求，即可求的值（2）利用三角函数恒等变换的应用，可得，根据题意，得到，解得，得到函数的解析式，进而求得的值，利用三角函数恒等变换的应用可求的值【详解】（1）由题意，根据正弦定理，可得，又由，所以 ，可得，即，又因为，则，可得，（2）由（1）可得，所以函数的图象的一条对称轴方程为，得，即，又，【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能
12、力和转化思想，属于中档题18.在多面体中，四边形是正方形，平面，为的中点.（1）求证：；（2）求平面与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）首先证明，平面.即可得到平面，.（2）以为坐标原点，所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，带入公式求解即可.【详解】（1）平面，平面，.又四边形是正方形，.，平面平面，.又，为的中点，.，平面.平面，.（2）平面，平面.以为坐标原点，所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.如图所示：则，.，.设为平面的法向量，则，得，令，则.由题意知为平面的一个法向量，平面与平面所成角的正弦值为.
13、【点睛】本题第一问考查线线垂直，先证线面垂直时解题关键，第二问考查二面角，建立空间直角坐标系是解题关键，属于中档题.19.阿尔法狗(AlphaGo)是第一个击败人类职业围棋选手、第一个战胜围棋世界冠军的人工智能程序,由谷歌(Google)公司的团队开发.其主要工作原理是“深度学习”.2017 年5 月,在中国乌镇围棋峰会上,它与排名世界第一的世界围棋冠军柯洁对战,以3 比0 的总比分获胜.围棋界公认阿尔法围棋的棋力已经超过人类职业围棋顶尖水平.为了激发广大中学生对人工智能的兴趣,某市教育局组织了一次全市中学生“人工智能”软件设计竞赛,从参加比赛的学生中随机抽取了30 名学生,并把他们的比赛成绩
14、按五个等级进行了统计,得到如下数据表:成绩等级成绩(分)54321人数（名）461073(1)根据上面的统计数据,试估计从本市参加比赛的学生中任意抽取一人,其成绩等级为“ 或”的概率;(2)根据(I)的结论,若从该地区参加比赛的学生(参赛人数很多)中任选3 人,记表示抽到成绩等级为“或”的学生人数,求 的分布列及其数学期望；(3)从这30 名学生中,随机选取2 人,求“这两个人的成绩之差大于1分”的概率.【答案】（1）；（2）见解析；（3）【解析】分析：()根据统计数据，利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解其成绩等级为“或”的概率； ()由题意，得到随机变量可取，且服从二项分布，求得相应的
15、概率，列出分()设从名学生中，随机选取人,记两个人的成绩分别为，得到基本事件的总数为 ，不妨设，分类讨论即可求解所求的额概率.详解：(1)根据统计数据可知，从本地区参加比赛30名中学生中任意抽取一人，其成绩等级为“或”的概率为：，即从本地区参加比赛的学生中任意抽取一人，其成绩等级为“或”的概率为：.(2)由题意知随机变量可取，则.,所以的分布列为：0123则,所求期望值为1(3)设事件:从这30 名学生中,随机选取2人,这两个人的成绩之差大于1分.设从这30 名学生中，随机选取2人,记两个人的成绩分别为,则基本事件的总数为,不妨设,当时，,基本事件的个数为；当时，基本事件的个数为；当 时,基本
16、事件的个数为；点睛：本题主要考查古典概型的概率公式和二项分布概率计算公式、随机变量的分布列和数学期望，解答本题，首先要准确确定所研究对象的基本事件空间、基本事件个数，再利用二项何分布的概率公式，求得概率，得到分布列和求得数学期望，本题属中等难度的题目，计算量不是很大，能很好的考查考生数学应用意识、基本运算求解能力等.20.设函数.（1）若关于的方程在区间上有解，求的取值范围；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）令，求出函数的对数，根据函数的单调性求出函数的值域，从而求出的范围即可；（2）当时，恒成立，令，根据函数的单调性求出的最小值，从而求出的范围【
17、详解】解析：（1）方程，即为令，则在恒成立，故在上单调递减.，当时，的取值范围是（2）依题意，当时，恒成立.令，则令，则当时，函数在上单调递增，存在唯一的零点，且当时，当时，则当时，当时，在上单调递减，在上单调递增，从而.由得，两边取对数得，即实数的取值范围是【点睛】本题考查了函数单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查分类讨论思想，转化思想，属于中档题21.已知椭圆的左、右焦点分别为，是椭圆上一动点（与左、右顶点不重合）已知的内切圆半径的最大值为，椭圆的离心率为.（1）求椭圆C的方程；（2）过的直线交椭圆于两点，过作轴的垂线交椭圆与另一点（不与重合）.设的外心为，求证为定值.
18、【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）当面积最大时，最大，即点位于椭圆短轴顶点时，即可得到的值，再利用离心率求得，即可得答案；（2）由题意知，直线的斜率存在，且不为0，设直线为，代入椭圆方程得.设，利用弦长公式求得，利用的垂直平分线方程求得的坐标，两个都用表示，代入中，即可得答案.【详解】（1）由题意知：，.设的内切圆半径为，则，故当面积最大时，最大，即点位于椭圆短轴顶点时，所以，把代入，解得：，所以椭圆方程为.（2）由题意知，直线的斜率存在，且不为0，设直线为，代入椭圆方程得.设，则，所以的中点坐标为，所以.因为是的外心，所以是线段的垂直平分线与线段的垂直平分线的交点，的垂直平分线
19、方程为，令，得，即，所以所以，所以为定值，定值为4.【点睛】本题考查椭圆方程的求解、离心率、直线与椭圆位置关系中的定值问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意将问题转化为关于变量的表达式，进而求证得到定值.22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）求和的直角坐标方程；（2）设为曲线上的动点，求点到直线的距离的最小值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）直接利用消参法可得曲线的直角坐标方程；将代入的极坐标方程得的直角坐标方程；（2）设，利用点到直线的距离公式，结合
20、二次函数的性质求最值，即可得答案.【详解】（1）的直角坐标方程为：，将代入的极坐标方程得的直角坐标方程为：.（2）设，则点到直线的距离，当时，距离最小，最小值为.【点睛】本题考查极坐标方程、参数方程、普通方程的互化、点到直线的距离公式，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意点的参数设法.23.已知函数，其中.（1）若，求实数的取值范围；（2）记中的的最大值为，若正实数满足，求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用分段函数表示出，再分类讨论计算可得；（2）由（1）可知，再利用基本不等式计算可得；【详解】解：（1）由条件知，则函数图象如下所示：又，或或解得（2）由（1）知，于是，当且仅当时取等号，故的最小值为.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，基本不等式的应用，属于中档题.
