1、虹口 2013 届高三上学期期末教学质量监控数学（一模）（时间 120 分钟，满分 150 分）一、填空题（每小题 4 分，满分 56 分）1、已知集合2230,12Ax xxBx x，则 AB _.【答案】(1,1)223031Ax xxxx，1213Bx xxx，所以 AB 11xx。2、已知向量1,2,1,1,abmab nab，如果mn，则实数 _.【答案】2(0,3),(1,2)mabnab ,因 为 mn，所 以3(2)0，解得2。3、从甲、乙、丙、丁四人中任选两名志愿者，则甲被选中的概率为_.【答案】21从甲、乙、丙、丁四人中任选两名志愿者，有246C 种，若甲被选中，则有133
2、C 种，所以甲被选中的概率为 3162。4、双曲线2213xy 的两条渐近线的夹角的大小等于_.【答案】3双曲线的渐近线为33yx。33yx的倾斜角为 6，所以两条渐近线的夹角为263。5、已知sin3cos ，则 cos 21 sin 2_.【答案】21因为222cos2cossincossin1 sin 2(sincos)cossin ，所以cos2cossincos3cos11sin2cossincos3cos2。6、在下面的程序框图中，输出的 y 是 x 的函数，记为 yf x，则1 12f _.【答案】1由题意可知2,22,2xxxyx。当2x 时，由212x 得22x ，此时不成立
3、。若2x，由122x，解得1x ，所以1 112f 。7、关于 z 的方程20131012210iziiiiz（其中i 为虚数单位），则方程的解 z _.【答案】i21由行列式得2013(1)(1)2222zziiziii，即212izii。8、若对于任意的0,x 不等式231xaxx恒成立，则实数a 的取值范围为_.【答案】51a211113151332xxxxxxx，所以要使231xaxx恒成立，则51a，即实数a 的取值范围为51a。9、在等比数列 na中，已知1 23432,2a aa a，则12limnnaaa_.【答案】16在等比数列中，43412213216a aqa a，所以1
4、2q 。212132,a aa q得开始输入实数 x2?x 2xy 2yx否是输出 y结束12q，所以2164a，18a ，所以11121lim2161112nnaaaaaaq。10、在 ABC 中，2 3,2,6ABACB，则 ABC 的面积为_.【答案】32或3由余弦定理得2222cos 6ACABBCAB BC,即24126BCBC，所以2680BCBC，解得2BC 或4BC.所以 ABC 的面积为13sin262SAB BCBC所以332SBC或32 32SBC。11、已知正实数,x y 满足2xyxy，则2xy的最小值等于_.【答案】9由2xyxy得2xyx，由02xyx得2x。所
5、以22222221252(2)2222xxxyxxxxxxxx 22252(2)52 2(2)922xyxxxx，当且仅当22(2)2xx，即2(2)1x，3x 时取等号，所以2xy的最小值等于 9.12、等差数列 na的前n 项和为nS，若211210,38mmmmaaaS，则m _.【答案】10由2110mmmaaa得220mmaa，即0ma（舍去）或2ma 又21(21)2(21)38mmSmam，所以解得10m。13、定义在 R 上的函数 f x 是最小正周期为2的偶函数，当0,x 时，01f x，且在 0,2上单调递减，在,2上单调递增，则函数 cosyf xx在10,10 上的零点
6、的个数为_.【答案】20 cos0yf xx得 cosf xx，f(x)-sinx=0f(x)=sinx=g(x)，只要考虑y=f(x)与 y=g(x)的交点个数.由题设，f(x)的值域为(0,1)，故当 g(x)=sinx0时两者才有交点.令 sinx02kx2k+，又 x-10,10，k=-5,-4,4,即有 10 个正值区间，而第个正值区间上有 2 个交点，故共有 20 个零点.14、设点 P 在曲线22yx上，点Q 在曲线2yx上，则 PQ 的最小值为_.【答案】427在第一象限内，曲线22 xy与曲线2xy关于直线 y=x 对称，设 P到直线 y=x 的距离为 d，则|PQ|=2d，
7、故只要求 d 的最小值.d=2)(2|2|2|472212xxxxy，当12x 时，dmin=74 2,所以|PQ|min=77 242 2.二、选择题（每小题 5 分，满分 20 分）15、若2i 是关于 x 的实系数方程20 xaxb的一根，则该方程两根模的和为（）A.5B.2 5C.5D.10【答案】B因为2i 是关于 x 的实系数方程20 xaxb的一根，所以2i 也是方程的根，所以222221212 5ii ，选 B.16、已知 123,l l l 是空间三条不同的直线，下列命题中正确的是（）A.如果 1223,ll ll，则 13llB.如果 1223,ll ll，则 123,l
8、l l 共面C.如果 1223,ll ll，则 13llD.如果 123,l l l 共点，则 123,l l l 共面【答案】A根据线面垂直和平行的性质可知，A 正确，所以选 A.17、定义域为 R 的函数 20f xaxb xc a有四个单调区间，则实数,a b c 满足（）A.240bac且0a B.240bacC.02baD.02ba【答案】C此函数为偶函数，当0 x 时，20f xaxbxc a，如图，只要顶点在 y 轴的右面，f(x)就有四个单调区间，所以02ba，选 C.18、数列 na满足*,21,2nkn nkakNa nk，设 12212nnf naaaa，则2013201
9、2ff（）A.20122B.20132C.20124D.20134【答案】C2013201321221)2013(aaaaf(都有222013 项)()(201320132421231aaaaaa)()12(3120122212013aaa)2012(2201221212013f=()2012()2(22012f=()2012(42012f20124)2012()2013(ff,所以选 C.三、解答题（满分 74 分）19、（本题满分 12 分）在正四棱锥 PABCD中，2 5PA，PA 与CD 所成的角的大小为10arccos5（1）求正四棱锥 PABCD的体积；（2）若正四棱锥 PABCD
10、的五个顶点都在球O 的表面上，求此球的半径.20、（本题满分 14 分）已知函数 22sinsin3sincoscos3f xxxxxx（1）求函数 f x 的最小正周期，最大值及取最大值时相应的 x 值；PABCDxyOMP（2）若02x，求 f x 的取值范围.21、（本题满分 14 分）已知园22:4O xy（1）直线 1:32 30lxy与圆O 相交于,A B 两点，求 AB；（2）如图，设1122,M x yP xy，是圆O 上的两个动点，点 M 关于原点的对称点为1M，点 M 关于 x 轴的对称点为2M，如果直线1PM，2PM 与 y 轴分别交于0,m 和0,n.问 m n是否为定
11、值？若是，求出定值，若不是，说明理由.22、（本题满分 16 分）数列 na的前n 项和记为nS，且满足21nnSa（1）求数列 na的通项公式；（2）求和：0121231nnnnnnS CS CS CSC；（3）设有 m 项的数列 nb是连续的正整数数列，并且满足：212111lg2lg 1lg 1lg 1lg logmmabbb试问数列 nb最多有几项？并求这些项的和.23（本题满分 18 分）如果函数 yf x的定义域为 R，对于定义域内的任意 x，存在实数 a 使得f xafx，则称此函数具有“()P a 性质”.（1）判断函数sinyx是否具有“()P a 性质”，若具有“()P a
12、 性质”，求出所有a 的值；若不具有“()P a 性质”，请说明理由.（2）已知 yf x具有“(0)P性质”，且当0 x 时，2f xxm，求 yf x在0,1 上的最大值.（3）设函数 yg x具有“(1)P 性质”.且当1122x时，g xx，若 yg x与 ymx交点个数为 2013 个，求实数m 的值.虹口区 2012 学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试卷答案一、填空题（每小题 4 分，满分 56 分）1、(1,1)；2、2；3、21；4、3；5、21；6、1；7、i21；8、51a；9、16；10、32或 3；11、9；12、10；13、20；14、427；二、选择
13、题（每小题 5 分，满分 20 分）15、B；16、A；17、C；18、C；三、解答题（满分 74 分）19、(12 分)解：（1）取 AB 的中点 M，记正方形 ABCD 对角线的交点为O，连 PM，OP ，AC，则 AC 过O PBPA，ABPM，又510cosPAM，52PA，得22AM.4 分4OA，2OP3642)24(31312OPSVABCDP底 正 四 棱 锥A B C DP 的 体 积 等 于364（立 方 单位）8 分（2）连 AO，OO ，设 球 的 半径 为 R，则ROA，2ROPROO，在AOORt中有2224)2(RR，得5R。12 分20、（14分）解：xxxxx
14、xxxxxxf222sincoscossin32coscossin3)sin21cos23(sin2)()62sin(22cos2sin3xxx6 分)(xf的最小正周期等于 当2262kx，6 kx)(zk 时，)(xf取得最大值 2.10 分（2）由20 x，得67626x，1)62sin(21x，)(xf的值域为2,114 分21、（14 分）解：（1）圆心)0,0(O到直线0323 yx的距离3d圆的半径2r，2222drAB4 分（2）),(11yxM，),(22yxP，则),(111yxM，),(112yxM，42121 yx，42222 yx8 分1PM：)()(212212yy
15、xxxxyy，得121221xxyxyxm2PM：)()(212212yyxxxxyy，得121221xxyxyxn12 分4)4()4(212222212122212222212122xxxxxxxxyxyxnm14 分22、（16 分）解：（1）由12nnaS得1211nnaS，相减得nnnaaa2211，即nnaa21 又12 11 aS，得011a，数列 na是以 1 为首项 2 为公比的等比数列，12 nna5 分（2）由（1）知12 nnSnnnnnnnnnnnnCCCCCSCSCSCS)12()12()12()12(12312011231201nnnnnnnnnnnnnnnCCC
16、CCCCC2322)21(2)()222(2210221010 分（3）由已知得111122211mbbbbbbmm又 nb是连续的正整数数列，11 nnbb上式化为1)1(21mbbm又)1(1mbbm，消mb 得023 11mbmb26323111bbbm，由于 Nm，21 b，31 b时，m 的最大值为 9.此时数列的所有项的和为631154316 分23、（18 分）解：（1）由)sin()sin(xax得xaxsin)sin(，根据诱导公式得 ka2)(Zk xysin具有“)(aP性质”，其中 ka2)(Zk 4 分（2）)(xfy 具有“)0(P性质”，)()(xfxf设0 x，
17、则0 x，22)()()()(mxmxxfxf0)(0)()(22xmxxmxxf6 分当0m时，)(xfy 在1,0递增，1x时2max)1(my当210 m时，)(xfy 在,0m上 递 减，在1,m上 递 增，且22)1()1()0(mfmf，1x时2max)1(my当21m时，)(xfy 在,0m上 递 减，在1,m上 递 增，且22)1()1()0(mfmf，0 x时2maxmy综上所述：当21m时，2max)1()1(mfy；当21m时，2max)0(mfy11 分（3）)(xgy 具有“)1(P性质”，)()1(xgxg，)()1(xgxg，)()1()11()2(xgxgxgx
18、g，从而得到)(xgy 是以 2 为周期的函数又设2321 x，则21121x，)1(11)1()11()2()(xgxxxgxgxgxg再设2121nxn（zn），当kn2（zk），212212kxk则21221kx，nxkxkxgxg2)2()(；当12 kn（zk），21122112kxk则23221kx，nxkxkxgxg12)2()(；对于，2121nxn（zn），都有nxxg)(，而2111211nxn，)()1()1()1(xgnxnxxg，)(xgy 是周期为 1 的函数当0m时，要使得mxy 与)(xgy 有 2013 个交点，只要mxy 与)(xgy 在)1006,0有 2012 个交点，而在1007,1006有一个交点mxy 过)21,22013(，从而得20131m当0m时，同理可得20131m当0m时，不合题意综上所述20131m18 分
