5.6数列求和问题 -2022届高考数学一轮复习讲义.doc

1、 5.5 数列的求和问题一、学习目标1.巩固等差数列、等比数列的前项和；2.掌握常见的数列求和方法二、知识要点求数列通项公式的类型和方法：1.公式求和法：适用于等差数列与等比数列或可化为等差等比数列的求和方法；(1)等差数列求和公式：Snna1d(2)等比数列求和公式：Sn2.分组求和法：适用于数列，而、分别是可求和数列；3.错位相减法适用数列，而、分别是等差数列与等比数列；4.裂项相消法：适用于数列的通项可拆分为两项之差，且在求和时能相互抵消；5.倒序相加法：如果一个数列an与首末两端等“距离”的两项的和等于首末两项之和，可把正着写与倒着写的两个式子相加，就得到一个常数列的和，那么求这个数列

2、的前n项和即可用倒序相加法，例如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的6并项求和法：把数列中的若干项结合到一起，形成一个新的可求和的数列，此时，数列中的项可能正、负相间出现或呈现周期性形如an(1)nf(n)类型，可采用两个项合并求解三、 典例分析例1（1）等差数列的前项和为，且，则（ ）A48 B88 C96D176（2）已知各项均为正数的等比数列满足，则（ ）A B CD【答案】（1）B； （2）A.例2.已知等比数列中，且是和的等差中项. 数列满足，且.（1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和.【答案】（1）设等比数列的公比为，因为，所以.因为是和的等差中项，所以，即，解得，所以.

3、（2）因为，所以为等差数列.因为，所以公差.故.所以.例3 已知是各项均为正数的等比数列，是等差数列，且，.（1）求和的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）设的公比为q,的公差为d,由题意，由已知,有 消去得 解得，所以的通项公式为， 的通项公式为（2）由（1）有 ,设的前项和为，则，两式相减得，所以例4设为数列的前项和.已知0，=.（1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和.【答案】（1）由an2+2an4Sn+3，可知an+12+2an+14Sn+1+3,两式相减得an+12an2+2（an+1an）4an+1，即2（an+1+an）an+12an2（an+1+an）（a

4、n+1an），an0，an+1an2，a12+2a14a1+3，a11（舍）或a13，则an是首项为3，公差d2的等差数列，an的通项公式an3+2（n1）2n+1：（2）an2n+1，bn（），数列bn的前n项和Tn（）（）.例5.已知数列是递增的等比数列，且，.（1）求数列的通项公式；（2）设为数列的前项和，求数列的前项和【答案】（1）设等比数列的公比为q，所以有联立两式可得或者又因为数列为递增数列，所以q1，所以数列的通项公式为；（2）根据等比数列的求和公式，有所以所以 .例6已知等差数列的公差为2，前项和为，且成等比数列（1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和【答案】（1）等

5、差数列an的公差为2，前n项和为Sn，且S1、S2、S4成等比数列Snna1+n（n1）（2a1+2）2a1（4a1+12），a11，an2n1；（2）由（1）可得，当n为偶数时，Tn 当n为奇数时， 例7在等差数列中，已知公差，是与的等比中项.（1）求数列的通项公式；（2）设，记，求.【答案】（1）由题意知，即，解得，所以数列的通项公式为.（2）由题意知.所以.因为.可得，当为偶数时，；当为奇数时，；所以.例8.定义在上的函数，求.【答案】四、 课外作业1在等差数列中，则的前5项和（ ）A7 B15C20D25【答案】B2已知数列满足，则的前10项和等于（ ）A B CD【答案】C3数列的通

6、项公式，其前项和为，则等于（ ）A1006 B2012C503D0【答案】A4数列1，12，1222，12222n1，的前99项和为（ ）A2100101 B299101 C210099D29999【答案】A5若数列的通项公式是，则（ ）ABCD【答案】A6已知数列满足，则（ ）A B CD【答案】B7设数列满足，则数列的前50项和是_【答案】13008设，则_.【答案】9已知等差数列中，.（1）求； （2）设，求的前项和.【答案】（1）；（2）.（1）由题得，所以，两式相减可得，所以，所以，可得；（2）由（1）知：，所以，.10等比数列的各项均为正数，且.（1）求数列的通项公式；（2）设bn

7、log3a1log3a2log3an，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.（1）设数列an的公比为q,由9a2a6得9,所以q2.由条件可知q0,故q.由2a13a21得2a13a1q1,所以a1.故数列an的通项公式为an.（2）bnlog3a1log3a2log3an（12n）.故.，所以数列的前n项和为.11 设是等差数列，是等比数列，公比大于，已知， ，.（1）求和的通项公式；（2）设数列满足求.【答案】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，依题意，得，解得，故，所以的通项公式为，的通项公式为；（2），记 则 得，所以.12 已知等比数列的公比，且，是，的等差中项数列满足，数列的前项和为（1）求的值； （2）求数列的通项公式 【答案】（1）由是的等差中项得，所以，解得.由得，因为，所以.（2）设，数列前n项和为.由解得.由（）可知，所以，故， .设，所以，因此，又，所以.13已知是等比数列，前n项和为，且.（1）求的通项公式；（2）若对任意的是和的等差中项，求数列的前项和.【答案】（1）数列的公比为，由已知，有，解得.又由，知，所以，得，所以.（2） 由题意，得，即是首项为，公差为的等差数列.设数列的前项和为，则.