1、第九章 平面解析几何第五讲抛物线练好题考点自测1.2019全国卷,5分若抛物线y2=2px(p0)的焦点是椭圆+=1的一个焦点,则p=()A.2 B.3 C.4 D.82.2020北京,4分设抛物线的顶点为O,焦点为F,准线为l,P是抛物线上异于O的一点,过P作PQl于Q.则线段FQ的垂直平分线()A.经过点O B.经过点PC.平行于直线OP D.垂直于直线OP3.2021安徽省四校联考已知抛物线C:x=4y2的焦点为F,若斜率为的直线l过点F,且与抛物线C交于A,B两点,则线段AB的中点到准线的距离为()A. B. C.D.4.多选题下列说法正确的是()A.平面内与一个定点F和一条定直线l(
2、l不经过点F)的距离相等的点的轨迹一定是抛物线B.若直线与抛物线只有一个交点,则直线与抛物线一定相切C.若一抛物线过点P(-2,3),则其标准方程可写为y2=2px(p0)D.方程y=ax2(a0)表示的曲线是焦点在y轴上的抛物线,且其焦点坐标是(0,)5.2020山东,5分斜率为的直线过抛物线C:y2=4x的焦点,且与C交于A,B两点,则|AB|=.6.2018全国卷,5分已知点M(-1,1)和抛物线C:y2=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点.若AMB=90,则 k=.7.2020四川成都摸底已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,准线为l.若位于x轴上方的动点A在准
3、线l上,线段AF与抛物线C相交于点B,且-|AF|=1,则抛物线C的标准方程为.拓展变式1.(1)2021四省八校联考抛物线C:x2=4y上一点P到C的焦点F的距离为4,若直线PF与C的另一个交点为Q,则|QF|等于()A. B. C. D.2(2)2020湖北省部分重点中学联考已知动圆P恒过定点(,0),且与直线x=-相切,则动圆P的圆心轨迹M的方程为.2.(1)2020全国卷,5分设O为坐标原点,直线x=2与抛物线C:y2=2px(p0)交于D,E两点,若ODOE,则C的焦点坐标为()A.(,0) B.(,0) C.(1,0) D.(2,0)(2)2017全国卷,5分已知F是抛物线C:y2
4、=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则|FN|=.3.(1)设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则OAB的面积为()A.B.C. D.(2)2017全国卷,5分已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为()A.16B.14C.12D.104.2019浙江,15分如图9-5-7,已知点F(1,0)为抛物线y2=2px(p0)的焦点.过点F的直线交抛物线于A,B两点,点C在抛物线上,使得ABC的
5、重心G在x轴上,直线AC交x轴于点Q,且Q在点F的右侧.记AFG,CQG的面积分别为S1,S2.求p的值及抛物线的准线方程;求的最小值及此时点G的坐标.图9-5-75.2020湖北省襄阳市调研动点P到定点F(0,1)的距离比它到直线y=-2的距离小1,设动点P的轨迹为曲线C,过点F的直线交曲线C于A,B两个不同的点,过点A,B分别作曲线C的切线,且两切线相交于点M.(1)求曲线C的方程.(2)求证:=0.(3)求ABM面积的最小值.答 案第五讲抛物线1.D由题意知抛物线的焦点坐标为(,0),椭圆的焦点坐标为(,0),所以=,解得p=8,故选D.2.B连接PF,由题意及抛物线的定义可知|PQ|=
6、|FP|,则QPF为等腰三角形,故线段FQ的垂直平分线经过点P.故选B.3.A解法一由题意可得F(,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点M(x0,y0),则整理得x1-x2=4(-),则kAB=,解得y0=1,M(x0,y0)在直线l上,y0=(x0-),x0=,从而线段AB的中点到准线的距离为x0+=+=,故选A.解法二(结论解法)由题意知,p=,以AB为直径的圆与准线相切,设直线l的倾斜角为,则tan =,线段AB的中点到准线的距离d=,故选A.4.AD由抛物线的概念知A正确;当直线与抛物线的准线垂直时,只有一个交点,但直线与抛物线不相切,故B错误;抛物线y2=2px(p
7、0)开口向右,过一、四象限,而点P(-2,3)在第二象限,故C错误;y=ax2化为标准形式为x2=y,焦点为(0,),D正确,故选AD.5.由题意得直线方程为y=(x-1),联立方程,得得3x2-10x+3=0,xA+xB=,故|AB|=1+xA+1+xB=2+=.6.2解法一由题意知抛物线的焦点坐标为(1,0),则过C的焦点且斜率为k的直线方程为y=k(x-1)(k0),由消去y得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=1.由消去x得y2-y-4=0,则y1+y2=,y1y2=-4.由AMB=90,=(x1+1,y1-1),=(x
8、2+1,y2-1),得=x1x2+x1+x2+1+y1y2-(y1+y2)+1=0,将x1+x2=,x1x2=1与y1+y2=,y1y2=-4代入,得k=2.解法二设抛物线的焦点为F,A(x1,y1),B(x2,y2),则所以-=4(x1-x2),则k=.取AB的中点M(x0,y0),分别过点A,B作准线x=-1的垂线,垂足分别为A,B,因为AMB=90,点M在准线x=-1上,所以|MM|=|AB|=(|AF|+|BF|)=(|AA|+|BB|).又M为AB的中点,所以MM平行于x轴,且y0=1,所以y1+y2=2,所以k=2.解法三抛物线C:y2=4x的焦点坐标为(1,0),准线方程为x=-
9、1.由题意可知,以AB为直径的圆与准线相切于点M(-1,1), (利用焦点弦的常用结论(详见主书P211规律总结2.(8)故线段AB中点的纵坐标y0=1.设A(x1,y1),B(x2,y2),则k=2.解法四抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0),M(-1,1),根据阿基米德三角形的性质(详见主书P212)有MFAB,则kAB=-=-=2.7.y2=2x如图D 9-5-1,设直线l与x轴交于点D,过点B作BEl于点E,则|DF|=p.由抛物线的定义知|BE|=|BF|.因为-|AF|=1,即-|AF|=1,=|AF|,=|AF|.因为AEBADF,所以=,得=|AF|,即|DF|=1,即p=
10、1,所以抛物线C的标准方程为y2=2x.图D 9-5-11.(1)C由题意知F(0,1),直线PF的斜率存在且不为零,设直线PF的方程为y-1=kx,与抛物线的方程联立并消去x,得y2-(4k2+2)y+1=0,所以 yPyQ=1.由抛物线的定义,知|PF|=yP+1=4(题眼),所以yP=3,所以yQ=,所以|QF|=yQ+1=,故选C.(2)y2=x由题意知,动圆P的圆心到点(,0)的距离与到直线 x=-的距离相等,则圆心P的轨迹是以(,0)为焦点,直线x=-为准线的抛物线,故p=,所以动圆P的圆心轨迹M的方程为y2=x.2.(1)B解法一将直线方程与抛物线方程联立,可得y=2,不妨设D(
11、2,2),E(2,-2),由ODOE,可得=4-4p=0,解得p=1,所以抛物线C的方程为y2=2x,其焦点坐标为(,0).解法二由题可知点D,E关于x轴对称,设DE与x轴交于P,且D在第一象限,因为ODOE,所以DOP=45,故xD=yD=2,代入y2=2px可得p=1,焦点坐标为(,0).解法三过抛物线的顶点O垂直的两条弦ODOE,则DE直线过定点(2p,0),则可知2p=2p=1,所以焦点坐标为(,0).(2)6由题意可知,抛物线C:y2=8x的焦点F的坐标为(2,0),准线方程为x=-2,因为M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N,M为FN的中点,设M(a,b)(b0),所以a=1,b
12、=2,所以N(0,4),|FN|=6.3.(1)D解法一由已知得焦点坐标为F(,0),因此直线AB的方程为y=(x-),与抛物线方程联立,消去x,化简得4y2-12y-9=0,故|yA-yB|=6.因此SOAB=|OF|yA-yB|=6=.解法二(结论解法)由抛物线焦点弦的结论可得SAOB=.(2)A解法一(斜率式)焦点F(1,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3),E(x4,y4),易知直线l1,l2的斜率均存在且不为0,分别设为k1,k2,则直线l1的方程为y=k1(x-1),由消去y并整理得x2-(2+4)x+=0,0,所以x1+x2=.因为l1l2,所以k2=-.
13、同理有x3+x4=2+4,则|AB|+|DE|=x1+x2+2+x3+x4+2=+2+4+4=+4+82+8=16,当且仅当=4,即k1=1时,|AB|+|DE|取最小值16.故选A.解法二(倾斜角式)设l1的倾斜角为,则l2的倾斜角为,易知0且,由抛物线焦点弦长公式得|AB|=,则|DE|=,则|AB|+|DE|=+=4()=,当sin 2=1时,|AB|+|DE|取最小值16.故选A.4.由题意得=1,即p=2.所以抛物线的准线方程为x=-1.设A(xA,yA),B(xB,yB),C(xC,yC),重心G(xG,yG).令yA=2t,t0,则xA=t2.由于直线AB过点F,故直线AB的方程
14、为x=y+1,代入y2=4x,得y2-y-4=0,故2tyB=-4,即yB=-,所以B(,-).又xG=(xA+xB+xC),yG=(yA+yB+yC)及重心G在x轴上,故2t-+yC=0,得C(-t)2,2(-t),G(,0).所以直线AC的方程为y-2t=2t(x-t2),得Q(t2-1,0).因为Q在焦点F的右侧,所以t22.从而=2-.令m=t2-2,则m0,=2-=2-2-=1+.当m=时,取得最小值1+,此时G(2,0).5.(1)由题意知,动点P在直线y=-2上方,即条件可转化为动点P到定点F(0,1)的距离等于它到直线y=-1的距离,所以动点P的轨迹是以F(0,1)为焦点,直线
15、y=-1为准线的抛物线,于是曲线C的方程为x2=4y.(2)由题意得,直线AB斜率一定存在,故设直线AB的方程为y=kx+1,由消去y并整理,得x2-4kx-4=0.设A(xA,yA),B(xB,yB),则xA+xB=4k,xAxB=-4.由x2=4y得y=x2,求导得y=x,所以直线AM的方程为y-=xA(x-xA),直线BM的方程为y-=xB(x-xB),由-得(-)=(xA-xB)x+(-),即x=2k.将x=代入得y-=xA=xAxB-,所以y=xAxB=-1.则M(2k,-1),所以=(-2k,2),=(xB-xA,k(xB-xA),于是=-2k(xB-xA)+2k(xB-xA)=0.(3)易知点M到AB的距离d=|MF|=2.因为|AB|=|AF|+|BF|=yA+yB+2=k(xA+xB)+4=4k2+4,所以ABM的面积S=|AB|d=4(k2+1)2=4(1+k24,当k=0时,ABM面积取得最小值4.
