1、31.2 函数的表示法第 1 课时 函数的表示法1了解函数的三种表示法及各自的优缺点2掌握求函数解析式的常见方法3尝试作图并从图象上获取有用的信息 温馨提示：列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示1如图是我国人口出生率变化曲线：下表是大气中氰化物浓度与污染源距离的关系表：污染源距离50100200300500氰化物浓度0.6780.3980.1210.050.01(1)实例中的图能表示两个变量之间存在函数关系吗？如果能，自变量是什么？(2)实例中的表格能表示两个变量之间存在函数关系吗？如果能，定义域是什么？值域是什么？(3)实例中的
2、函数关系能否用解析式表示？答案(1)能表示出生率是年份的函数，其中年份为自变量(2)能 表 示 浓 度 是 距 离 的 函 数，其 中，定 义 域 为50,100,200,300,500，值域为0.678,0.398,0.121,0.05,0.01(3)不能并不是所有的函数都有解析式2判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)任何一个函数都可以用列表法表示()(2)任何一个函数都可以用解析法表示()(3)函数 f(x)2x1 可以用图象法表示()(4)函数的图象一定是定义区间上一条连续不断的曲线()答案(1)(2)(3)(4)题型一函数的表示法【典例 1】某商场新进了 10 台彩电，每台售价
3、 3000 元，试求售出台数 x 与收款数 y 之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来思路导引 把自变量与函数值的对应关系分别用表格、图象和数学表达式加以刻画解 列表法x(台)12345y(元)3000600090001200015000 x(台)678910y(元)1800021000240002700030000图象法：如图所示解析法：y3000 x，x1,2,3，10理解函数的表示法的 3 个关注点(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，无论用哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念(2)判断所给图象、表格、解析式是否表示函数的关键在于是否满足函数的定义(3)函数的三种
4、表示法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主1已知函数 f(x)，g(x)分别由下表给出则 fg(1)的值为_；当 gf(x)2 时，x_.解析 由于函数关系是用表格形式给出的，知 g(1)3，fg(1)f(3)1.由于 g(2)2，f(x)2，x1.答案 1 1题型二函数的图象【典例 2】作出下列函数的图象并求出其值域(1)y2x，x2，)；(2)yx22x，x2,2思路导引 通过“列表描点连线”作出函数图象，借助图象求出函数值域解(1)列表：x2345y1231225画图象，当 x2，)时，图象是反比例函数 y2x的一部分(图1)，观察图象可知其值域
5、为(0,1 (2)列表：x21012y01038画图象，图象是抛物线 yx22x 在2x2 之间的部分(图2)由图可得函数的值域是1,8描点法作函数图象的 3 个关注点(1)画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图(2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象(3)要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等要分清这些关键点是实心点还是空心点针对训练2作出下列各函数的图象：(1)y1x，xZ.(2)y2x24x3,0 x3.解(1)这个函数的图象由一些点组成，这些点都在直线 y1x 上，又 xZ，从而 yZ，因此 y1x(xZ)的图象是直线 y1x 上一
6、些孤立的点，如图 1 所示 图 1 图 2(2)因为 0 x3，所以这个函数的图象是抛物线 y2x24x3介于 0 x0)By100 x(x0)Cy50 x(x0)Dy100 x(x0)解析 由x3x2y100，得 2xy100，y50 x(x0)答案 C2已知函数 yf(x)的对应关系如下表，函数 yg(x)的图象是如图的曲线 ABC，其中 A(1,3)，B(2,1)，C(3,2)，则 fg(2)的值为()A3 B2 C1 D0解析 由函数 g(x)的图象知，g(2)1，则 fg(2)f(1)2.答案 B3如果 f1x x1x，则当 x0,1 时，f(x)等于()A.1xB.1x1C.11x
7、D.1x1解析 令1xt，则x1t，代入f1x x1x，则有f(t)1t11t 1t1，故选 B.答案 B4若 f(x)是一次函数，2f(2)3f(1)5,2f(0)f(1)1，则 f(x)()A3x2 B3x2C2x3 D2x3解析 设 f(x)axb，由题设有22ab3ab5，20abab1.解得a3，b2.所以选 B.答案 B5若 f(12x)1x2x2(x0)，那么 f12 等于()A1 B3 C15 D30解析 解法一：令 12xt，则 x1t2(t1)，f(t)4t121(t1)，即 f(x)4x121(x1)，f12 16115.解法二：令 12x12，得 x14，f12 114
8、21415.答案 C二、填空题6已知函数 f(x)xmx，且此函数图象过点(5,4)，则实数 m 的值为_解析 将点(5,4)代入 f(x)xmx，得 m5.答案 57已知函数 f(2x1)3x2，且 f(a)4，则 a_.解析 因为 f(2x1)32(2x1)12，所以 f(a)32a12.又 f(a)4，所以32a124，a73.答案 738若 2f(x)f1x 2x12(x0)，则 f(2)_.解析 令 x2 得 2f(2)f12 92，令 x12得 2f12 f(2)32，消去 f12 得 f(2)52.答案 52三、解答题9作出下列函数的图象，并指出其值域(1)yx2x(1x1)；(
9、2)y2x(2x1，且 x0)解(1)用描点法可以作出函数的图象如图(1)由图可知 yx2x(1x1)的值域为14，2.(2)用描点法可以作出函数的图象如图(2)，由图可知 y2x(2x1，且 x0)的值域为(，12，)10求下列函数的解析式：(1)已知函数 f(x1)x24x，求函数 f(x)的解析式；(2)已知 f(x)是二次函数，且 f(x1)f(x1)2x24x，求 f(x)的解析式解(1)解法一：已知 f(x1)x24x，令 x1t，则 xt1，代入上式得，f(t)(t1)24(t1)t22t3，即 f(x)x22x3(xR)解法二：f(x1)(x1)22(x1)3，f(x)x22x
10、3(xR)(2)设 f(x)ax2bxc(a0)，则依题意代入，a(x1)2b(x1)ca(x1)2b(x1)c2x24x，即 2ax22bx2a2c2x24x，利用等式两边对应项的系数相等，可得 2a2,2b4,2a2c0，解得，a1，b2，c1，f(x)的解析式为 f(x)x22x1.综合运用11一水池有 2 个进水口，1 个出水口，进出水速度如图甲、乙所示某天 0 点到 6 点，该水池的蓄水量如图丙所示(至少打开一个水口)给出以下 3 个论断：0 点到 3 点只进水不出水；3 点到 4 点不进水只出水；4 点到 6 点不进水不出水则正确论断的个数是()A0 B1 C2 D3解析 由题意可
11、知在 0 点到 3 点这段时间，每小时进水量为 2，即 2 个进水口同时进水且不出水，所以正确；从丙图可知 3 点到 4点水量减少了 1，所以应该是有一个进水口进水，同时出水口也出水，故错；当两个进水口同时进水，出水口也同时出水时，水量保持不变，也可由题干中的“至少打开一个水口”知错答案 B12从甲城市到乙城市 t min 的电话费由函数 g(t)1.06(0.75t1)给出，其中 t0，t为 t 的整数部分，则从甲城市到乙城市 5.5 min的电话费为()A5.04 元B5.56 元C5.84 元D5.38 元解析 g(5.5)1.06(0.7551)5.0355.04.答案 A13设 f(
12、x)2xa，g(x)14(x23)，且 gf(x)x2x1，则 a的值为()A1 B1C1 或1 D1 或2解析 因为 g(x)14(x23)，所以 gf(x)14(2xa)2314(4x24axa23)x2x1，求得 a1.故选 B.答案 B14已知 x0，函数 f(x)满足 fx1x x21x2，则 f(x)_.解析 fx1x x21x2x1x22，所以f(x)x22.答案 x2215已知函数 f(x)xaxb(a，b 为常数，且 a0)满足 f(2)1，且 f(x)x 有唯一解，求函数 yf(x)的解析式和 ff(3)的值解 因为 f(2)1，所以22ab1，即 2ab2，又因为 f(x)x 有唯一解，即xaxbx 有唯一解，所以 ax2(b1)x0 有两个相等的实数根，所以(b1)20，即 b1.代入得 a12.所以 f(x)x12x1 2xx2.所以 ff(3)f61 f(6)266232.
