1、高考资源网（） 您身边的高考专家1.1任意角和弧度制1.1.1任意角学 习 目 标核 心 素 养1.了解任意角的概念2掌握终边相同角的含义及其表示(重点、难点)3掌握轴线角、象限角及区间角的表示方法(难点、易错点)1.通过对任意角的学习，提升学生数学抽象素养2借助角范围的形成与深入，提升学生数学运算和直观抽象素养.1角的概念角可以看成平面内一个射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形2角的表示如图，(1)始边：射线的起始位置OA，(2)终边：射线的终止位置OB，(3)顶点：射线的端点O.图中的角可表示为“角”或“”或“”3任意角的分类(1)按旋转方向分(2)按角的终边位置分前提：把角
2、放在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合分类：4终边相同的角所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S|k360，kZ，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和1下列说法中正确的是()A第二象限角大于第一象限角B第二象限角是钝角C终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同D以上说法皆错CA错误如第二象限角100小于第一象限角361.B错误如第二象限角181不是钝角C正确250角的始边与x轴的非负半轴重合，把终边按顺时针方向旋转2周，所得角是_670由题意知，所得角是502360670.3已知0360，且与600角终边相同，则_，它是第_象
3、限角240三因为600360240，所以240角与600角终边相同，且180240270，故240，它是第三象限角任意角和象限角的概念【例1】(1)给出下列说法：锐角都是第一象限角；第一象限角一定不是负角；小于180的角是钝角、直角或锐角；始边和终边重合的角是零角其中正确说法的序号为_(把正确说法的序号都写上)(2)已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角420，855，510.(1)锐角是大于0且小于90的角，终边落在第一象限，是第一象限角，所以正确；350角是第一象限角，但它是负角，所以错误；0角是小于180的角，但它既不是钝角，也不是直角
4、或锐角，所以错误；360角的始边与终边重合，但它不是零角，所以错误(2)解作出各角的终边，如图所示：由图可知：420是第一象限角855是第二象限角510是第三象限角1判断角的概念问题的关键与技巧(1)关键：正确的理解角的有关概念，如锐角、平角等；(2)技巧：注意“旋转方向决定角的正负，旋转幅度决定角的绝对值大小2象限角的判定方法(1)图示法：在坐标系中画出相应的角，观察终边的位置，确定象限(2)利用终边相同的角：第一步，将写成k360(kZ,0360)的形式；第二步，判断的终边所在的象限；第三步，根据的终边所在的象限，即可确定的终边所在的象限1已知集合A第一象限角，B锐角，C小于90的角，则下
5、面关系正确的是()AABCBACCACB DBCCD由已知得BC，所以BCC，故D正确2给出下列四个命题：75是第四象限角；225是第三象限角；475是第二象限角；315是第一象限角其中正确的命题有()A1个 B2个C3个 D4个D90750，180225270，36090475360180，31536045且04590.所以这四个命题都是正确的终边相同的角的表示及应用【例2】(1)将885化为k360(0360，kZ)的形式是_(2)写出与910终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式720360的元素写出来思路点拨：利用终边相同的角的集合与角终边相同的角的集合为S|k360，kZ(1)(3
6、)3601958851 080195(3)360195.(2)解与910终边相同的角的集合为|k360910，kZ，720360，即720k360910360，kZ，k取1,2,3.当k1时，360910550；当k2时，2360910190；当k3时，3360910170.1在0到360范围内找与给定角终边相同的角的方法(1)一般地，可以将所给的角化成k360的形式(其中0360，kZ)，其中就是所求的角(2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360的方式；当所给角是正角时，采用连续减360的方式，直到所得结果达到所求为止2运用终边相同的角的注意
7、点所有与角终边相同的角，连同角在内可以用式子k360，kZ表示，在运用时需注意以下四点：(1)k是整数，这个条件不能漏掉(2)是任意角(3)k360与之间用“”连接，如k36030应看成k360(30)，kZ.(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍提醒：表示终边相同的角，kZ这一条件不能少3下面与85012终边相同的角是()A23012B22948C12948 D13012B与85012终边相同的角可表示为85012k360(kZ)，当k3时，850121 08022948.4写出角的终边落在第二、四象限角平分线上的角的集合为_|k18
8、0135，kZ落在第二象限时，表示为k360135.落在第四象限时，表示为k360180135，故可合并为|k180135，kZ5已知角2 018.(1)把改写成k360(kZ,0360)的形式；(2)求，使与终边相同，且360720.解(1)由2 018除以360，得商为5，余数为218，取k5，218，5360218.(2)与2 018角终边相同的角为k3602 018(kZ)令360k3602 018720，kZ，k取6，5，4.将k的值代入k3602 018中，得角的值为142，218，578.任意角终边位置的确定和表示探究问题1若射线OA的位置是k36010，kZ，射线OA绕点O逆时
9、针旋转90经过的区域为D，则终边落在区域D(包括边界)的角的集合应如何表示？提示：终边落在区域D包括边界的角的集合可表示为|k36010k360100，kZ2若角与的终边关于x轴、y轴、原点、直线yx对称，则角与分别具有怎样的关系？提示：(1)关于x轴对称：若角与的终边关于x轴对称，则角与的关系是k360，kZ.(2)关于y轴对称：若角与的终边关于y轴对称，则角与的关系是180k360，kZ.(3)关于原点对称：若角与的终边关于原点对称，则角与的关系是180k360，kZ.(4)关于直线yx对称：若角与的终边关于直线yx对称，则角与的关系是90k360，kZ.【例3】(1)若是第一象限角，则是
10、()A第一象限角 B第一、三象限角C第二象限角 D第二、四象限角(2)已知，如图所示分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合思路点拨：(1)(2)(1)B因为是第一象限角，所以k360k36090，kZ，所以k180k18045，kZ，当k为偶数时，为第一象限角；当k为奇数时，为第三象限角所以是第一、三象限角(2)解终边落在OA位置上的角的集合为|9045k360，kZ|135k360，kZ；终边落在OB位置上的角的集合为|30k360，kZ由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于30，135之间的与之终边相同的角组成的集合，故该区
11、域可表示为|30k360135k360，kZ1在本例(1)中，条件不变，问是第几象限角？解由k360k36090，kZ，k180k18045，kZ，是第一、三象限角又因为与的终边关于x轴对称，所以是第二、四象限角2若将本例(2)改为如图所示的图形，那么终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合如何表示？解在0360范围内，终边落在阴影部分(包括边界)的角为60105与240285，所以所有满足题意的角为|k36060k360105，kZ|k360240k360285，kZ|2k180602k180105，kZ|(2k1)18060(2k1)180105，kZ|n18060n180105，nZ故角的
12、取值集合为|n18060n180105，nZ1表示区间角的三个步骤：第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的360360范围内的角和，写出最简区间x|x，其中360；第三步：起始、终止边界对应角，再加上360的整数倍，即得区间角集合2n或所在象限的判断方法：(1)用不等式表示出角n或的范围；(2)用旋转的观点确定角n或所在象限例如：k120k12030，kZ.由030，每次逆时针旋转120可得终边的位置提醒：表示区间角时要注意实线边界与虚线边界的差异6若角的终边落在如图所示的图形范围内，那么阴影部分(包括边界)表示的终边相同的角的集合如何
13、表示？解在0360范围内，阴影部分(包括边界)表示的范围为：150225，则所有满足条件的角为|k360150k360225，kZ1本节课的重点是象限角的判断、终边相同角及区域角的表示，难点是n及所在象限的判定2本节课要重点掌握以下规律方法(1)关于终边相同的角的认识一般地，所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S|k360，kZ注意：为任意角；k360与之间是“”号，k360可理解为k360()；相等的角终边一定相同；终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360的整数倍；kZ这一条件不能少1下列说法正确的是()A三角形的内角是第一象限角或第二象限角B第四象限的角一
14、定是负角C60角与600角是终边相同的角D将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角为60DA错误，90角既不是第一象限角也不是第二象限角；B错误，280角是第四象限角，但它不是负角；C错误，60060540不是360的整数倍；D正确，分针转一周为60分钟，转过的角度为360，将分针拨慢是逆时针旋转，拨慢10分钟转过的角为36060.2下列各个角中与2 017终边相同的是()A147B677C317 D217D因为2 0173605217，所以与2 017终边相同的角是217.3已知角的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角的集合是_|k36045k360150，kZ观察图形可知，角的集合是|k36045k360150，kZ4在0到360范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限的角(1)120；(2)640.解(1)与120终边相同的角的集合为M|120k360，kZ当k1时，1201360240，在0到360范围内，与120终边相同的角是240，它是第三象限的角(2)与640终边相同的角的集合为M|640k360，kZ当k1时，640360280，在0到360范围内，与640终边相同的角为280，它是第四象限的角- 11 - 版权所有高考资源网