1、第2课时函数概念的应用1理解两个函数为同一函数的概念2会求一些简单函数的定义域、值域1常见函数的定义域和值域2.函数的三要素由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域3相同函数值域是由定义域和对应关系决定的，如果两个函数的定义域和对应关系相同，我们就称这两个函数是同一函数两个函数如果仅对应关系相同，但定义域不同，则它们不是相同的函数1已知函数f(x).(1)函数f(x)的定义域是什么？(2)函数f(x)的值域是什么？答案(1)(，11，)(2)0，)2判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数的定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了()(2)两个函数相同指定义域
2、和值域相同的函数()(3)f(x)3x4与f(t)3t4是相同的函数()(4)函数值域中每一个数在定义域中有唯一的数与之对应()(5)函数f(2x1)的定义域指2x1的取值范围()答案(1)(2)(3)(4)(5)题型一 同一函数的判断【典例1】下列各组式子是否表示同一函数？为什么？(1)f(x)|x|，(t)；(2)y，y()2；(3)y，u；(4)y，yx3.思路导引两个函数表示同一函数的关键条件是定义域相同，对应关系一致解(1)f(x)与(t)的定义域相同，又(t)|t|，即f(x)与(t)的对应关系也相同，f(x)与(t)是同一函数(2)y的定义域为R，y()2的定义域为x|x0，两者
3、定义域不同，故y与y()2不是同一函数(3)y的定义域为x|1x1，u的定义域为v|1v1，即两者定义域相同又y，两函数的对应关系也相同故y与u是同一函数(4)y|x3|与yx3的定义域相同，但对应关系不同，y与yx3不是同一函数判断两个函数为同一函数的方法判断两个函数是否为同一函数，要先求定义域，若定义域不同，则不是同一函数；若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同针对训练1与函数yx1为同一函数的是()Ay Bm()2Cyxx0 Dy解析A中的x不能取0；B中的n1；C中的x不能取0；D化简以后为yt1.故选D.答案D2下列各组函数中是同一函数的是()Ayx1与yByx21与s
4、t21Cy2x与y2x(x0)Dy(x1)2与yx2解析对于选项A，前者定义域为R，后者定义域为x|x1，不是同一函数；对于选项B，虽然变量不同，但定义域和对应关系均相同，是同一函数；对于选项C，虽然对应关系相同，但定义域不同，不是同一函数；对于选项D，虽然定义域相同，但对应关系不同，不是同一函数答案B题型二 求函数值和值域【典例2】(1)已知f(x)(xR，且x1)，g(x)x22(xR)求f(2)、g(2)的值；求fg(3)的值(2)求下列函数的值域：yx1，x1,2,3,4,5；yx22x3，x0,3)；y；y2x.思路导引(1)代入法求值；(2)结合解析式的特征选择适当的方法求值域解(
5、1)f(x)，f(2).又g(x)x22，g(2)2226.g(3)32211，fg(3)f(11).(2)(观察法)x1,2,3,4,5，分别代入求值，可得函数的值域为2,3,4,5,6(配方法)yx22x3(x1)22，由x0,3)，可得函数的值域为2,6)(分离常数法)y2，显然0，y2.故函数的值域为(，2)(2，)(换元法)设t，则t0，且xt21.y2(t21)t2t2t222.t0，y.故函数的值域为.(1)函数求值的方法已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值求fg(a)的值应遵循由里往外的原则(2)求函数值域常用的4种方法观察法：对于一些比较简单的函数
6、，其值域可通过观察得到；配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域；分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域；换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域对于f(x)axb(其中a，b，c，d为常数，且a0)型的函数常用换元法针对训练3设函数f(x)，若f(a)2，则实数a_.解析由f(a)2，得a1.答案14求下列函数的值域：(1)y1；(2)y；(3)yx.解(1)(观察法)0，11.y1的值域为1，)(2)(分离常数法)y.0，y.函数的值域为.(3)(换元法)设u，则x
7、(u0)，yu(u0)由u0知(u1)21，y.函数yx的值域为.题型三 求抽象函数的定义域【典例3】已知函数f(x)的定义域为1,3，求函数f(2x1)的定义域思路导引定义域是x的取值范围，f(x)中的x与f(2x1)中的2x1是相对应的解因为函数f(x)的定义域为1,3，即x1,3，函数f(2x1)中2x1的范围与函数f(x)中x的范围相同，所以2x11,3，所以x0,1，即函数f(2x1)的定义域是0,1变式(1)若将本例条件改为“函数f(2x1)的定义域为1,3”，求函数f(x)的定义域(2)若将本例条件改为“函数f(1x)的定义域为1,3”，其他不变，如何求解？解(1)因为x1,3，
8、所以2x13,7，即函数f(x)的定义域是3,7(2)因为函数f(1x)的定义域为1,3，所以x1,3，所以1x2,0，所以函数f(x)的定义域为2,0由2x12,0，得x，所以f(2x1)的定义域为.两类抽象函数的定义域的求法(1)已知f(x)的定义域，求fg(x)的定义域：若f(x)的定义域为a，b，则fg(x)中ag(x)b，从中解得x的取值集合即为fg(x)的定义域(2)已知fg(x)的定义域，求f(x)的定义域：若fg(x)的定义域为a，b，即axb，求得g(x)的取值范围，g(x)的值域即为f(x)的定义域针对训练5若函数f(x)的定义域是0,1，则函数f(2x)f的定义域为_解析
9、由得0x，所以函数f(2x)f的定义域为.答案6若函数f(x21)的定义域为3，1，则f(x)的定义域为_解析由x3，1，得x210,8，所以f(x)的定义域为0,8答案0,8课堂归纳小结1对同一函数的概念的理解(1)函数有三个要素：定义域、值域、对应关系函数的定义域和对应关系共同确定函数的值域，因此当且仅当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，这两个函数才是同一个函数(2)定义域和值域都分别相同的两个函数，它们不一定是同一函数，因为函数对应关系不一定相同如yx与y3x的定义域和值域都是R，但它们的对应关系不同，所以是两个不同的函数2求函数值域的常用方法有：观察法、配方法、分离常数法、换元法
10、.1下列各组函数中，表示同一个函数的是()Ayx1和yByx0和y1Cf(x)(x1)2和g(x)(x1)2Df(x)和g(m)解析A中的函数定义域不同；B中yx0的x不能取0；C中两函数的对应关系不同，故选D.答案D2设f(x)，则()A1 B1 C. D解析1.答案B3下列函数中，值域为(0，)的是()Ay ByCy Dyx21解析y的值域为0，)，y的值域为(，0)(0，)，yx21的值域为1，)答案B4已知函数f(x)的定义域是0,2，则函数g(x)的定义域是()A0,1 B0,1)C0,1)(1,4 D(0,1)解析由f(x)的定义域是0,2知，解得0x1) Byx2Cy(x0) D
11、y解析yx1(x1)的值域为(0，)；yx2的值域为0，)；y(x0)的值域为(0，)；y的值域为(，0)(0，)，故选B.答案B3下列函数与函数yx是同一函数的是()Ay|x| ByCy Dy解析选项A和选项C中，函数的值域都是0，)；选项D中，函数的定义域是(，0)(0，)；选项B中函数的定义域和值域都和函数yx相同，对应关系也等价，因此选B.答案B4已知函数f(x)的定义域为1,2)，则函数f(x1)的定义域为()A1,2) B0,2)C0,3) D2,1)解析f(x)的定义域为1,2)，1x12，得0x3，f(x1)的定义域为0,3)答案C5函数y的值域是()A(，5) B(5，)C(
12、，5)(5，) D(，1)(1，)解析y5，且0，y5，即函数的值域为(，5)(5，)答案C二、填空题6设函数f(x)x22x1，若f(a)2，则实数a_.解析由f(a)2，得a22a12，解得a1或a3.答案1或37函数y的定义域是A，函数y的值域是B，则AB_(用区间表示)解析要使函数式y有意义，只需x2，即Ax|x2；函数y0，即By|y0，则ABx|0x2答案0,2)(2，)8已知函数f(x)的定义域为(1,1)，则函数g(x)ff(2x1)的定义域是_解析由题意知即0x1.答案(0,1)三、解答题9已知函数f(x)x2x1.(1)求f(2)，f，f(a1)；(2)若f(x)5，求x.
13、解(1)f(2)22215，f1，f(a1)(a1)2(a1)1a23a1.(2)f(x)x2x15，x2x60，解得x2或x3.10求下列函数的值域：(1)y2x1，x1,2,3,4,5；(2)yx24x6，x1,5)；(3)y；(4)yx.解(1)x1,2,3,4,5，(2x1)3,5,7,9,11，即所求函数的值域为3,5,7,9,11(2)yx24x6(x2)22.x1,5)，其图象如图所示，当x2时，y2；当x5时，y11.所求函数的值域为2,11)(3)函数的定义域为x|x1，y5，所以函数的值域为y|y5(4)要使函数式有意义，需x10，即x1，故函数的定义域为x|x1设t，则x
14、t21(t0)，于是yt21t2，又t0，故y，所以函数的值域为y|y综合运用11函数f(x)(xR)的值域是()A(0,1) B(0,1 C0,1) D0,1解析由于xR，所以x211,01，即0y1.答案B12下列函数中，对于定义域内的任意x，f(x1)f(x)1恒成立的为()Af(x)x1 Bf(x)x2Cf(x) Dy|x|解析对于A选项，f(x1)(x1)1f(x)1，成立对于B选项，f(x1)(x1)2f(x)1，不成立对于C选项，f(x1)，f(x)11，不成立对于D选项，f(x1)|x1|，f(x)1|x|1，不成立答案A13若函数f(2x1)的定义域为0,1)，则函数f(13
15、x)的定义域为_解解法一(过渡搭桥)：因为f(2x1)的定义域为0,1)，即0x1，所以12x11.所以f(x)的定义域为1,1)所以113x1，解得0x.所以f(13x)的定义域为.解法二(整体求解)：由于函数f(2x1)的定义域为0,1)，即0x1，故12x11.由于函数f(2x1)与f(13x)中，2x1与13x整体范围一致，故113x1，解得0x.所以函数f(13x)的定义域为.答案14若函数y的值域为0，)，则a的取值范围是_解析函数y的值域为0，)，则函数f(x)ax22ax3的值域要包括0，即最小值要小于等于0.则，解得a3.所以a的取值范围是3，)答案3，)15已知函数f(x).(1)求f(2)f，f(3)f的值(2)求证：f(x)f是定值(3)求f(2)ff(3)ff(2019)f的值解(1)因为f(x)，所以f(2)f1，f(3)f1.(2)证明：f(x)f1.(3)由(2)知f(x)f1，所以f(2)f1，f(3)f1，f(4)f1，f(2019)f1.所以f(2)ff(3)ff(2019)f2018.
