1、上海市长宁区2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）一、填空题1.若线性方程组的增广矩阵为，为该方程组的解，则_【答案】5【解析】【分析】根据增广矩阵的定义，将线性方程组还原求解即可.【详解】因为线性方程组的增广矩阵为，所以线性方程组为：，解得，所以.故答案：5【点睛】本题主要考查增广矩阵的定义及相对应方程组的求解，还考查了运算求解的能力，属于基础题.2.三阶行列式中，元素3的代数余子式的值为_【答案】1【解析】【分析】由题意结合代数余子式的定义计算行列式中代数余子式的值即可.【详解】由代数余子式的定义可知，三阶行列式中，元素3的代数余子式的值为：.故答案为：1【点睛】本题主
2、要考查代数余子式的计算，属于基础题.3.无穷等比数列的首项为1,公比为,则数列的各项和为_【答案】2【解析】【分析】先由等比数列的求和公式,得到前项和,对前项和求极限,即可得出结果.【详解】因为无穷等比数列的首项为,公比为,因此其前项和为,所以的各项的和为.故答案为：2【点睛】本题主要考查求无穷等比数列的各项和,熟记等比数列的求和公式即可,属于基础题型.4.已知，则在的方向上的投影为_【答案】2【解析】【分析】根据向量在的方向上的投影为，结合向量的数量积的坐标运算和模的计算公式，即可求解.【详解】由题意，向量，可得，则在的方向上的投影为.故答案为：.【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的坐标运
3、算和模计算公式的应用，以及向量的投影的概念与计算，其中解答熟记平面向量的数量积、模及投影的计算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.5.直线的倾斜角为_【答案】【解析】分析】先求直线的斜率,进而用反三角函数转化为倾斜角即可.【详解】直线的斜率为,设倾斜角为,所以,则故答案为：【点睛】本题关键是倾斜角以及反三角函数的问题,考查计算能力6.我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为_【答案】3【解析】分析：设塔的顶层共有a1盏灯，则数列
4、an公比为2的等比数列，利用等比数列前n项和公式能求出结果详解: 设塔的顶层共有a1盏灯，则数列an公比为2的等比数列，S7=381，解得a1=3故答案为3.点睛：本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力.7.已知直线，若，则实数_【答案】【解析】【分析】根据直线互相平行的判定公式得到结果.【详解】直线，若，则，当时，和化简：，此时，与重合，故时不符合题意当时，和化简为：，此时，与不重合且平行，故时符合题意故答案为：.【点睛】这个题目考查了已知两直线的位置关系求参数的应用，属于基础题.8.一条河两岸平行,河宽2km,一快艇从河一岸的岸边某处驶向对岸若船速为26km/h,
5、水流速度为10km/h,则该快艇到达对岸的最快时间为_分钟【答案】5【解析】【分析】画图分析,根据向量的平行四边形法则求解当船朝正对岸行驶时的速度,再求出行驶时间即可.【详解】易得当船速与水流速度的和速度垂直于岸边时最快到达,此时.故最快时间为 故答案为：5【点睛】本题主要考查了平面向量在物理中的运用,需要根据题意确定船速与水速间的关系,再根据勾股定理求得实际行船速度.属于基础题.9.如图，已知平面内有三个向量，其中与和的夹角分别为和，且，若，则_【答案】8【解析】【分析】过点作向量的平行线与它们的延长线分别交于两点，得到四边形平行四边形，结合平面向量的基本定理，即可求解。【详解】如图所示，过
6、点作向量的平行线与它们的延长线分别交于两点，所以四边形平行四边形，则，因为向量与和的夹角分别为和，即,则,在直角中，所以，在直角中，所以，又由，可得，又因为，所以，所以故答案为：8【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理，以及向量的线性运算和向量的运算法则的应用，其中解答中熟记向量的线性运算法则，合理利用平面向量的基本定理是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力10.已知数列为等差数列，若，且其前项和有最大值，则使得的的最大值为_【答案】19【解析】【分析】首先根据条件，结合其前项和有最大值，可得数列的公差，从而得到，根据求和公式可得，最后得到结果.【详解】由，可得，由它们的前
7、项和有最大值，可得数列的公差，所以，所以，所以使得的的最大值为，故答案为：.【点睛】该题考查的是有关等差数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的性质，等差数列的求和公式，根据题意判断有关最值，属于简单题目.11.当变化时方程表示一系列的直线，现从中选取四条围成一个正方形，则该正方形的面积为_【答案】4【解析】【分析】设圆，圆心，根据圆心到直线的距离等于半径，则表示单位圆的切线方程，从而得到单位圆内切于该正方形求解.【详解】设圆，圆心，圆心到直线的距离为：，所以表示单位圆的切线方程，从中选取四条围成一个正方形，从而得到单位圆内切于该正方形如图所示：所以正方形的边长为2，面积为4故答案为：4【点睛】
8、本题主要考查直线方程以及直线与圆的位置关系，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.12.如图所示，已知，对任何，点按照如下方式生成，且，按逆时针排列，记点的坐标为（），则_【答案】【解析】【分析】依题意，可知任意相邻两向量的夹角均为，根据向量加法坐标运算公式可求得，根据等比数列求和公式以及数列极限的求解方法得到结果.【详解】因为，所以任意相邻两向量的夹角均为，且，所以，又因为，所以所以，所以故答案为：.【点睛】该题考查的是有关向量和数列的综合题，涉及到的知识点有向量的运算，无穷递缩等比数列的各项和，属于创新题目.二、选择题13.记，则“”是“方程组有唯一解”的（ ）A. 充分不必
9、要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据矩阵的运算及可知，即判断两直线的位置关系；根据两直线有唯一解的条件，即可判断是否满足，进而由充分必要条件的定义判断.【详解】，由可得，即，由两直线方程可知，两条直线必然相交，即有唯一交点，故满足充分性；若方程组有唯一解，则两直线相交，则满足，即，所以由可知，故满足必要性；综上可知，“”是“方程组有唯一解”的充分必要条件，故选：C.【点睛】本题考查了二阶矩阵的简单运算，两直线位置关系的判断，充分必要条件的定义与判定，属于基础题.14.下图中的直线、的斜率分别为、,则（ ）A. B. C. D. 【
10、答案】D【解析】【分析】根据斜率与直线倾斜角的关系判断即可.【详解】由图可知：,且直线的倾斜角小于直线的倾斜角,所以,综上可知：.故选：D【点睛】本题主要考查了直线斜率与倾斜角的关系,属于基础题.15.平面上、三点不共线，设，则的面积等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由三角形的面积公式可知，结合数量积公式可选出正确答案.【详解】解：由三角形的面积公式知.故选：C.【点睛】本题考查了三角形的面积公式，考查了平面向量的数量积.16.设为两个非零向量、的夹角,已知当实数变化时的最小值为2,则（ ）A. 若确定,则唯一确定B. 若确定,则唯一确定C. 若确定,则唯一确定D.
11、若确定,则唯一确定【答案】A【解析】【分析】画图利用点与直线上的点的距离大小关系,以及向量的加减法性质判定即可.【详解】如图,记、,则,当时,取得最小值,若确定,则唯一,不确定,若确定,可能有两解（图中或）,若确定,则不确定,从而也不确定. 故选：A【点睛】本题主要考查了平面向量的图形表示,需要结合点到直线的距离最值以及平面向量的加法性质分析.属于中档题.三、解答题17.在平面直角坐标系中，已知向量，（1）若，求实数的值；（2）若对于平面内任意向量，都存在实数、，使得，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据向量垂直，其数量积等于0，利用向量数量积公式得到对应的等量关系
12、式，求得结果；（2）平面内任意向量，都存在实数、，使得，其等价结果为向量和向量是两个不共线向量，根据坐标关系得到结果.【详解】（1）若，则有，即，又因，所以，即，解得；（2）对于平面内任意向量，都存在实数、，使得，所以向量和向量是两个不共线向量，所以，即，所以实数的取值范围是.【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量垂直的坐标表示，平面向量基本定理，一组向量可以作为基底的条件，属于基础题目.18.河北省赵县的赵州桥是世界上历史最悠久的石拱桥之一，赵州桥的跨度约为37.4m，圆拱高约为7.2m如图建立直角坐标系，求该圆拱所在圆的标准方程（数值精确到0.1m）【答案】【解析】【分析
13、】根据圆心在弦的中垂线上可求得圆心坐标,再求出圆心到的距离即为半径即可.【详解】由题,因为关于原点对称,故圆心在轴上,设.又中点为,且斜率,故,解得.即.又半径.故圆拱所在圆的标准方程为：.【点睛】本题主要考查了根据三点求解圆的方程的问题,需要根据圆心在弦的中垂线上进行求解圆心,进而求得半径.属于基础题.19.已知直线及点（1）求点关于直线对称的点的坐标；（2）求过点且与直线夹角为的直线的方程【答案】（1）；（2）和【解析】【分析】(1)设,再根据直线与垂直,且的中点在直线上列式求解即可.(2)利用两直线夹角的斜率公式求解直线的斜率,再利用点斜式求解直线的方程即可.【详解】(1) 设,因为关于
14、直线对称,故 ,即 ,解得,故.(2)设直线的倾斜角为,.则直线的倾斜角为或.当直线的倾斜角为时, 的斜率,故直线的方程为,化简得.当直线的倾斜角为时, 的斜率,故直线的方程为,化简得.所以直线的方程为和.【点睛】本题主要考查了求点关于直线对称点的坐标,同时也考查了求与已知直线呈一定夹角的直线的方程.属于中档题.20.已知点,点满足,记点的轨迹为（1）求的方程；（2）设直线与交于、两点,求的面积（为坐标原点）；（3）设是线段中垂线上的动点,过作的两条切线、,、分别为切点,判断是否存在定点,直线始终经过点,若存在,求出点的坐标,若不存在,说明理由【答案】（1）；（2）；（3）定点的坐标为【解析】
15、【分析】(1)根据列出关于的方程再化简即可.(2)求解到直线的距离以及弦长,进而求得面积即可.(3) 设,根据以及可得,满足的方程,进而求得定点即可.【详解】（1）因为,故,即,化简可得；（2）到直线的距离为,从而；（3）设,其中,由可得,化简得,同理,有,将,看作方程的两组不同的解,由方程思想,可知直线的方程即,当时,所求定点的坐标为【点睛】本题主要考查了轨迹方程的求解,同时也考查了直线与圆方程中的定点问题,需要根据题意确定切点满足的关系式,再利用方程的思想求出直线方程,进而求得定点.属于中档题.21.设数列前项和为,对任意,点都在函数图像上（1）求、,并猜想数列的通项公式；（2）用数学归纳
16、法证明（1）的猜想；（3）若数列满足：,且对任意的,都有、成公比为的等比数列,、成等差数列,设,求数列的通项公式【答案】（1）2,4,6,；（2）证明见解析；（3）【解析】【分析】(1) 由题意化简可得,再分别令,代入求解、即可猜测.(2)根据数学归纳法的一般方法,分析时,命题成立,再假设时,命题成立,即.则时代入求解得即可证明.(3)根据题意先求根据求得,再根据、成公比为的等比数列,以及、成等差数列可得,进而求得,再代入计算可得即可证明数列为等差数列,进而求得通项公式.【详解】（1）由题意,令,得,令,得,令,得,猜测；（2）证明：时,命题成立,假设时,命题成立,即,则时,得,即时,命题也成立,由、可知,对任意的,都有成立,（3）,、成公比为的等比数列,又、成等差数列,从而,是首项为1,公差为1的等差数列,【点睛】本题主要考查了数学归纳法的应用,同时也考查了等差等比数列的综合运用,需要根据题意确定数列的递推关系,进而得出数列的类型得出通项公式.属于难题.
