1、第6章 平面向量及其应用 6.3.1 平面向量基本定理 2 2 学习目标XUE XI MU BIAO1.理解平面向量基本定理，了解向量的一组基底的含义.2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题.我们知道，已知两个力，可以求出它们的合力；反过来，一个力可以分解为两个力。启发：可以逆用平行四边形法则，尝试将一个向量分解成两个向量的和的形式.FOGOAOB力的分解是向量分解的物理模型，分解过程运用了平行四边形法则.新知导入课前预学 任务:平面向量基本定理如图(1),设 e1,e2是同一平面内两个不共线的向量,a 是这一平面内与
2、e1,e2都不共线的向量,如图(2),在平面内任取一点 O,作 =e1,=e2,=a.答案如图,a=+=1e1+2e2.问题 1:上图中将 a 按 e1,e2的方向分解,你有什么发现?学习情境问题2 再给出另一个向量a，a还能表示成1e1+2e2吗？2e1eaaOMN11eOM22eON2211eea问题3 若向量a与e1或e2共线，a还能表示成1e1+2e2吗？2e1eOa2e1eOa2110eea 取2=02210eea取1=0（1）a与e1共线（2）a与e2共线课前预学 问题 4:当 a 是零向量时,a 还能用 a=1e1+2e2表示吗?答案 假设 a=1e1+2e2,则 1e1+2e2
3、=1e1+2e2,即(1-1)e1+(1-2)e2=0,所以1-1=0,且 2-2=0,即 1=1,且 2=2,所以 1,2唯一.问题 5:设 e1,e2是同一平面内两个不共线的向量,在 a=1e1+2e2中,1,2是否唯一?能，取1=2=0.即0=0e1+0e2 如果e1，e2是同一平面内的两个_向量，那么对于这一平面内的_向量a，_实数1，2，使a_.平面向量基本定理知识点1不共线 任一 有且只有一对 1e12e2 思考1 作为一组基底的条件是什么？零向量可以作为基底吗？基底知识点2若e1，e2不共线，我们把e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.一组不共线的向量可以作为基底.零向
4、量与任意向量共线，因此零向量不能作为基底.思考2 一组平面向量的基底有多少对？无数多对，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底.思考3 若e1，e2能作为基底，那么e1，3e2能作为基底吗？e1+3e2，e1-2e2能作为基底吗？不能能思考4 若基底选取不同，则表示同一向量的实数1，2是否相同？可以不同，也可以相同OC FM N E ONOMOCOEOFOC以 为基底 ONOM，以 为基底 OEOF，例1(多选)设e1，e2是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，能作为基底的是 A.e1e2和e1e2B.3e14e2和6e18e2 C.e12e2和2e1e2D.e1和e1e2一、
5、平面向量基本定理的理解 解析 选项B中，6e18e22(3e14e2)，6e18e2与3e14e2共线，不能作为基底，选项A，C，D中两向量均不共线，可以作为基底.跟踪训练1 已知向量a，b是一个基底，实数x，y满足(3x4y)a(2x3y)b6a3b，则xy_.解析 因为a，b是一个基底，所以a与b不共线，3由平面向量基本定理得3x4y6，2x3y3，所以x6，y3，所以xy3.平面向量基本定理的有关结论 2 设,是平面内一组基底，若=1+2，当1=0时，与共线；当2=0时，与共线，当1=2=0时，=，同样的,当=时，1=2=0.设,是平面内两个不共线向量，若1+1=2+2,则 1=2,1=
6、2.平面上任意一个向量都可以分解为两个不共线向量,的线性组合，即 =1+2.若向量=1+2与=1+2相等，则对应系数相等，即1=1且2=2，一个平面向量方程相当于两个普通方程.平面向量基本定理的有关结论 2 n个不共线的向量,与n个实数1,2,所组成的向量11+2+叫做向量的线性组合.当向量是向量,的线性组合，即=1+2+时，我们称向量可以分解为向量,的线性组合，其中,是关于向量的一个基底.高阶笔记 所以例1 如图，不共线，且，用表示.OBOA,)(RtABtAPOBOA,OP因为,ABtAP APOAOPABtOA)(OAOBtOAOAtOBtOAOBtOAt)1(解法二：)(,OAOBtO
7、AOPABtAPOAtOBtOAtOBtOP)-1(+=OABP 二、用基底表示向量观察，你有什么发现？OBtOAtOP)(1若A，B，P三点共线，O为直线外一点 .1yxOCyOBxOP且二、用基底表示向量所以FCAD a，DC AF12AB12b.例 2 如图，已知在梯形 ABCD 中，ABCD，AB2CD，E，F 分别是 DC，AB 的中点，设AD a，ABb，试用a，b为基底表示DC，EF，FC.解 因为DCAB，AB2DC，E，F分别是DC，AB的中点，EFED DA AF12DC AD 12AB1212ba12b14ba.延伸探究 1.本例中若取BC的中点G，则_.解析 BCBAA
8、D DCAG12a34bba12ba12b，所以AG ABBGAB12BCb12a14b12a34b.2.本例中若EF的中点为H，试表示出.解 BH FHFB12FE12ABBH12EF12AB，因为EF14ba，所以BH 18b12a12b12a58b.解析 以a，b为基底时，AC ABAD ab；跟踪训练 2 如图，在正方形 ABCD 中，设ABa，AD b，BD c，则以a，b为基底时，AC 可表示为_，以a，c为基底时，AC 可表示为_.ab2ac以a，c为基底时，将BD 平移，使 B 与 A 重合，再由三角形法则或平行四边形法则即得AC 2ac.三、平面向量基本定理的应用例2 如图
9、CD是ABC的中线，CD=12AB，用向量方法证明ABC是直角三角形。BACD课前预学 直观想象、数学运算神奇的基底如图,在ABC 中,D 是 BC 的中点,点 E 满足 =2 ,BE 与 AD 交于点 G.(1)设 =,求实数的值;(2)设 H 是 BE 上一点,且 =,求 的值.解析设 =a,=b.(1)因为 =,D 是 BC 的中点,所以 =+2=2a+2b.设 =t ,0t1,故 -=t(-),整理得 =t +(1-t),又 =2 ,即 =23 ,所以 =t23 +(1-t)=2 3a+(1-t)b.联立,根据平面向量基本定理,得2=23 t,2=1-t,解得=45,=35.所以实数的
10、值为45.AB=2，AC=3已知 D,E 分别是边长为 1 的正ABC 的边 AB,BC 的中点,F 是 DE 的中点,则 的值为().A.-18B.18C.-14D.14课前预学 素养提炼应用平面向量基本定理时,基底尽量选用模或夹角已知的不共线的向量,选定基底后,通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件,把相关向量用这一组基底表示出来.解析如图所示,=+=12 +14 =12 +14(+)=34 +14 .=34 +14 =34 +14 2=3411cos23+14=-18.A1.知识清单：(1)平面向量基本定理.(2)基底.2.方法归纳：数形结合.3.常见误区：忽视基底中的向量必须是不共线的两个向量.课堂小结KE TANG XIAO JIE如图,在ABC中,点M是BC的中点,点N在边AC上,AN=2NC,AM与BN交于点P,求APPM的值.如图，在平行四边形 ABCD 中，设ACa，BDb，试用基底a，b表示AB，BC.书面作业
