1、2020-2021学年上海市第三女子中学高二（下）期末数学试卷一、填空题（共12小题）.1若，则n 2半径为1的球的表面积是 3在的二项展开式中，常数项是 4有6名同学排成一排照相，其中甲、乙两人相邻的排法共有 种（用数值表示）5面积为4的正方形绕其一边所在的直线旋转一周，所得的几何体的侧面积为 6如图，圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，则该圆锥的母线与底面所成的角的大小为 7有四个运动员，报名参加三个比赛项目，若每人限报一项，且每项至少一人报名，共有 不同的报名方法8已知一个长方体的长、宽、高的比为1：2：3，它的对角线长是，则这个长方体的体积为 9设某同学选择等级考科目时，选择物理科目的概率
2、为0.5，选择化学科目的概率为0.6，且这两个科目的选择相互独立，则该同学在这两个科目中至少选择一个的概率是 10已知空间中两条不同的直线m、n和平面，给出三个论断：mn；n；m请以其中两个论断作为条件，另一个为结论，写出一个真命题：若 ，则 （填写相应序号）11在半径为3的球面上有A、B、C三点，ABC90，BABC，球心O到平面ABC的距离是，则B、C两点的球面距离是 12在正方体ABCDA1B1C1D1的所有棱中，若任取其中两条，则它们所在的直线是异面直线的概率为 二、选择题13已知、是两个不同平面，m为内的一条直线，则“m”是“”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D非充分
3、非必要条件14九章算术中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设AA1是正四棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正四棱柱的顶点为顶点，以AA1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）A4B8C12D1615下列四个命题中真命题是（）A空间中垂直于同一直线的两条直线互相平行B经过空间中的三个点有且只有一个平面C过球面上任意两点的大圆有且只有一个D过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条16两人进行乒乓球比赛，先赢三局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有（）A10种B15种C20种D30种三、解答题17从某中学200名新生中随机抽取1
4、0名进行身高测量，得到的数据为：168、159、166、163、170、161、167、155、162、169（单位：cm），试估计该中学200名新生身高的平均值和中位数，并求身高大于165cm的概率估计值18已知nN*，n3，二项式（x2）n的展开式为a0+a1x+a2x2+anxn，其中a1，a2满足a23a1（1）求n；（2）求a0+a1+a2+an的值19如图，在一个圆锥内作一个内接圆柱（圆柱下底面在圆锥的底面上，圆柱上底面的圆在圆锥的侧面上），圆锥的母线长为4，AB、CD是底面的两条直径，且AB4，ABCD，圆柱与圆锥的公共点F恰好为其所在母线PA的中点，点O是底面的圆心（1）求圆柱
5、与圆锥的体积的比值；（2）求异面直线OF和PC所成角的大小20从1、3、5、7中任取2个数字，从0、2、4、6、8中任取2个数字，用这四个数字组成无重复数字的四位数，所有这些四位数构成集合M（1）求集合M中不含有数字0的元素的个数；（2）求集合M中含有数字0的元素的个数；（3）从集合M中随机选择一个元素，求这个元素能被5整除的概率21如图，在多面体ABCA1B1C1中，AA1、BB1、CC1均垂直于平面ABC，AA14，CC13，BB1ABACBC2（1）求点A到平面A1B1C1的距离；（2）求平面ABC与平面A1B1C1所成锐二面角的大小；（3）求这个多面体ABCA1B1C1的体积参考答案一
6、、填空题1若，则n10解：若，则n6+410故答案为：102半径为1的球的表面积是4解：由题意，半径为1的球的表面积是4124故答案为43在的二项展开式中，常数项是20解：由由62r0，得r3常数项是故答案为：204有6名同学排成一排照相，其中甲、乙两人相邻的排法共有 240种（用数值表示）解：因为甲、乙两人相邻，所以先将甲、乙两人进行捆绑，方法共有种，再将甲、乙两人看成整体进行排序共有种排法，所以共有种，故答案为：2405面积为4的正方形绕其一边所在的直线旋转一周，所得的几何体的侧面积为 8解：面积为4的正方形边长为2，正方形绕其一边所在的直线旋转一周，所得几何体是底面半径为2，母线长为2的
7、圆柱，所以该圆柱的侧面积为S侧2rl2228故答案为：86如图，圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，则该圆锥的母线与底面所成的角的大小为60解：设圆锥的母线长为R，底面半径为r，则：R2r，R2r，母线与底面所成角的余弦值，母线与底面所成角是60故答案为：607有四个运动员，报名参加三个比赛项目，若每人限报一项，且每项至少一人报名，共有 36不同的报名方法解：四个运动员分为3组共有种情况，将分好的3组分到三个比赛项目，共有种情况，有四个运动员，报名参加三个比赛项目，若每人限报一项，且每项至少一人报名，共有种情况故答案为：368已知一个长方体的长、宽、高的比为1：2：3，它的对角线长是，则这个长方体
8、的体积为 48解：设长方体的长宽高分别为 m，2m，3m（m0），由题意可得：，m24，m2，长方体的体积：Vm2m3m6m348故答案为：489设某同学选择等级考科目时，选择物理科目的概率为0.5，选择化学科目的概率为0.6，且这两个科目的选择相互独立，则该同学在这两个科目中至少选择一个的概率是0.8解：设某同学选择等级考科目时，选择物理科目的概率为0.5，选择化学科目的概率为0.6，且这两个科目的选择相互独立，该同学在这两个科目中至少选择一个的概率是：p1（10.5）（10.6）0.8故答案为：0.810已知空间中两条不同的直线m、n和平面，给出三个论断：mn；n；m请以其中两个论断作为条
9、件，另一个为结论，写出一个真命题：若 ，则 （填写相应序号）解：由mn，n，得m或m或m与相交，相交也不一定垂直，故由不能得到；由mn，m，得n或n，故由不能得到；由m，得m必垂直于平面内的任意一条直线，又n，所以mn，故由可得故答案为：，11在半径为3的球面上有A、B、C三点，ABC90，BABC，球心O到平面ABC的距离是，则B、C两点的球面距离是解：根据题意，ABC90，AC是小圆的直径所以过球心O作小圆的垂线，垂足O是AC的中点，|OC|，AC3，则BCOBOC3，则BOC，故B、C两点的球面距离l3；故答案为：12在正方体ABCDA1B1C1D1的所有棱中，若任取其中两条，则它们所在
10、的直线是异面直线的概率为 解：正方体有12条棱，从中取两条的方法数式，其中异面直线的方法数：124224，所以所在的直线是异面直线的概率为：，故答案为：二、选择题13已知、是两个不同平面，m为内的一条直线，则“m”是“”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D非充分非必要条件解：若m，m为内的一条直线，则或与相交，充分性不成立，若，m为内的一条直线，根据面面平行得性质可得m，必要性成立，m是的必要不充分条件，故选：B14九章算术中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设AA1是正四棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正四棱柱的顶点为顶点，以AA1为底面矩形的一边，则这样的阳马
11、的个数是（）A4B8C12D16解：由题意可知，以AA1为底面矩形的一边，则矩形可以为矩形AA1B1B，矩形AA1D1D，故阳马可以为：C1AA1B1B，C1AA1D1D，D1AA1B1B，D1AA1D1D，CAA1B1B，CAA1D1D，DAA1B1B，DAA1D1D，所以阳马的个数是8个故选：B15下列四个命题中真命题是（）A空间中垂直于同一直线的两条直线互相平行B经过空间中的三个点有且只有一个平面C过球面上任意两点的大圆有且只有一个D过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条解：空间中垂直于同一直线的两条直线平行、相交或异面，故A错误；经过空间中不在同一直线上的三个点有且只有一个
12、平面，故B错误；过球的一个直径的两个端点的大圆有无数个，故C错误；过空间任一点作两条异面直线的平行线，则所作的两条直线确定一个平面，过该点与所确定的平面垂直的直线有且只有一条，故过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条，故D正确故选：D16两人进行乒乓球比赛，先赢三局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有（）A10种B15种C20种D30种解：第一类：三局为止，共有2种情形；第二类：四局为止，共有26种情形；第三类：五局为止，共有212种情形；故所有可能出现的情形共有2+6+1220种情形故选：C三、解答题17从某中学200名新生中随机抽取1
13、0名进行身高测量，得到的数据为：168、159、166、163、170、161、167、155、162、169（单位：cm），试估计该中学200名新生身高的平均值和中位数，并求身高大于165cm的概率估计值解：将数据从小到大排序得155，159，161，162，163，166，167，168，169，170故其平均值为164，其中位数为164.5，身高大于165cm的概率估计值为18已知nN*，n3，二项式（x2）n的展开式为a0+a1x+a2x2+anxn，其中a1，a2满足a23a1（1）求n；（2）求a0+a1+a2+an的值解：（1）nN*，n3，二项式（x2）n的展开式为a0+a1x
14、+a2x2+anxn，其中a1，a2满足a23a1，（2）n23（2）n1，解得n13（2）令x1，可得 a0+a1+a2+an（12）13119如图，在一个圆锥内作一个内接圆柱（圆柱下底面在圆锥的底面上，圆柱上底面的圆在圆锥的侧面上），圆锥的母线长为4，AB、CD是底面的两条直径，且AB4，ABCD，圆柱与圆锥的公共点F恰好为其所在母线PA的中点，点O是底面的圆心（1）求圆柱与圆锥的体积的比值；（2）求异面直线OF和PC所成角的大小解：（1）连接PO，则，圆锥的体积为：；F是PA的中点，且AB4，圆柱的底面直径为2，圆柱的侧棱长为，圆柱的体积为：；则圆柱与圆锥的体积的比值为；（2）由题可知，
15、OC，OB，OP三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则：O（0，0，0），A（0，2，0），P（0，0，），F（0，1，），C（2，0，0），则，所以cos，异面直线OF和PC所成的角的大小为arccos20从1、3、5、7中任取2个数字，从0、2、4、6、8中任取2个数字，用这四个数字组成无重复数字的四位数，所有这些四位数构成集合M（1）求集合M中不含有数字0的元素的个数；（2）求集合M中含有数字0的元素的个数；（3）从集合M中随机选择一个元素，求这个元素能被5整除的概率【解答】（1）从1、3、5、7中任取2个数字为，从2、4、6、8中任取2个数字为，
16、组成无重复数字的四位数；（2）从1、3、5、7中任取2个数字为，必选0，所以从2、4、6、8中任取1个数字为，0不排首位，先给0选个位置，剩余数字全排为；故含有数字0的元素的个数为432；（3）能被5整除分情况讨论：选5不选0：108，选0不选5：72，0，5都选：120，所以能被5整除得方法数：108+72+120300，所以能被5整除的概率21如图，在多面体ABCA1B1C1中，AA1、BB1、CC1均垂直于平面ABC，AA14，CC13，BB1ABACBC2（1）求点A到平面A1B1C1的距离；（2）求平面ABC与平面A1B1C1所成锐二面角的大小；（3）求这个多面体ABCA1B1C1的
17、体积解：（1）以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则，所以，设平面A1B1C1的法向量为，则，即，令y1，则z2，故，所以点A到平面A1B1C1的距离为；（2）由（1）可知，平面A1B1C1的法向量为，又平面ABC的一个法向量为，所以，又平面ABC与平面A1B1C1所成的角为锐二面角，所以平面ABC与平面A1B1C1所成锐二面角的大小为；（3）过点B1作B1EAB交AA1于点E，过点B1作B1FBC交CC1于点F，取AB的中点P，连结BP，则BPAC，因为AA1平面ABC，且BP平面ABC，则BPAA1，又AA1ACA，AA1，AC平面AA1C1C，所以BP平面AA1C1C，故多面体ABCA1B1C1的体积为
