1、河南省郸城县第二高级中学2019-2020学年高二数学下学期网上学习第二次月考试题（含解析）一、选择题（每小题5分共60分）1.函数在区间上的平均变化率为（ ）A. -1B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】直接利用平均变化率公式进行求值.【详解】因为，所以在区间上的平均变化率为.故选：B【点睛】本题考查函数的平均变化率，考查运算求解能力，属于基础题.2.设为可导函数，且=，则的值为（ ）A. 1B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由导数定义，求解即可得解.【详解】解：因为，又，所以，故选：C.【点睛】本题考查了导数的定义，属基础题.3.曲线在点处的切线方程为（ ）A. B
2、. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据曲线在某点处导数的几何意义，可求出切线的斜率，然后利用点斜式可得结果.【详解】依题意：，故，故切线斜率，故所求切线方程为，即，故选：A【点睛】本题考查曲线在某点处的切线方程，重在理解曲线在这点处导数的几何意义，属基础题.4.设为曲线上的点，且曲线在点处切线的倾斜角的取值范围为，则点横坐标的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为,又因为曲线在点处切线的倾斜角的取值范围为，则切线的斜率，所以,解得，故选A.5.已知函数的导函数为且满足，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用导数的运算法则求得，令得，即得，
3、即可求解.【详解】函数的导函数为，且满足，令，则，即，故.故选：B.【点睛】本题主要考查导数的运算法则，解决此题的关键是是一个常数，属于基础题.6.某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙至少有一人参加.当甲乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为（ ）A. B. C. 600D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意，分2种情况讨论，只有甲乙其中一人参加，甲乙两人都参加，由排列、组合计算可得其符合条件的情况数目，由加法原理计算可得答案【详解】根据题意，分2种情况讨论，若只有甲乙其中一人参加，有种情况；若甲乙两人都参加，有种情况，其中甲乙相邻的有种情况
4、；则不同的发言顺序种数种，故选：C.【点睛】本小题主要考查排列组合，考查分类加法计数原理以及分步乘法计数原理，解题的难点在于“甲乙两人至少有一人参加”，也就是要对情况进行分类讨论， 属于中档题.7.对于问题“已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式”，给出如下一种解法：由的解集为，得的解集为，即关于的不等式的解集为.类比上述解法，若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】把题设中两个一元二次不等式的代数结构关系与对应的解集关系类比推广到两个分式不等式的代数结构关系与对应的解集关系即可得到要求的解集.【详解】将关于的不等式变形可得，从而
5、由条件可得.利用对数换底公式有，即，于是所求不等式的解集为，故选A.【点睛】类比推理中有一类是解题方法上的类比推理，即原有的解题方法是建立在代数式的合理变形的基础上，因此对我们需要解决的问题，如果它们也有代数式上类似的变形，那么解决问题的手段应该是相同的，从而使得新问题得到解决 .8.聊斋志异中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：，则按照以上规律，若具有“穿墙术”，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】通过观察四个等式，发现存在相同性质，从而得出即可.【详解】因，所以，即.故选：C
6、.【点睛】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）9.已知在上为单调递增函数，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意可得对任意的恒成立，转化为对任意的恒成立，分离参数，进而可得取值范围.【详解】由题意知对任意的恒成立，即对任意的恒成立，即，又函数在上单调递增，则，即，所以.故选：D.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分离参数方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题10.函数在区间上有最大值，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案
7、】D【解析】【分析】利用导数求得函数的单调区间和极大值，根据区间上的图像包括且不能高过极大值列不等式组，解不等式组求得的取值范围.【详解】由于，故函数在和上递增，在上递减，画出函数图像如下图所示，由于函数在区间上有最大值，根据图像可知，即，故选D.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、极值，考查函数在开区间上有最值的问题，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.11.已知定义在上的函数导函数为，且，则不等式的解集是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意，令，对其求导可得，结合函数的导数与单调性的关系分析可得函数在上为减函数，进而分析可得，得（1），结合函数的
8、单调性，分析可得答案【详解】根据题意，令，其导数，又由对于任意实数有，则有，即函数在上为减函数，又由（1），则（1）（1），则 ，得（1），又由函数在上为减函数，则有，即不等式的解集为；故选：【点睛】本题考查函数的导数与单调性的关系，涉及函数单调性的应用，关键是构造函数，并利用导数分析其单调性12.若是函数的极值点，函数恰好有一个零点，则实数m的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意可得是函数的根，则可得，利用导数得函数的单调性，再由函数恰有一个零点，即只有一个交点，得到结论.【详解】由函数，得，因是函数的极值点，则，解得，即，令，即，解得或，所以，函数在，上
9、为增函数，在上为减函数，又，当时，；当时，；要使函数恰有一个零点，即只有一个交点，所以，或.故实数的取值范围为.故选：B.【点睛】本题考查函数的极值，函数的零点，属于中档题.二、填空题（每小题5分共20分）13.函数的单调减区间为_【答案】.【解析】【分析】利用导数研究函数单调性即可得到结论.【详解】解：，则，由，即，解得 ，即函数的单调减区间为，故答案为：.【点睛】本题主要考查函数单调区间的求解，根据函数的导数和单调性之间的关系是解决本题的关键.14.设，则_. 【答案】【解析】【分析】由题意得，根据定积分的几何意义可知，可得表示的是四分之一的圆的面积，再根据微积分基本定理，可求，最后相加即
10、可得到结果.详解】由题意得，根据定积分的几何意义可知，表示的是在x轴上方的半径为1的四分之一圆的面积，如图（阴影部分）：故，又，所以.所以本题答案为.【点睛】本题考查微积分基本定理和定积分的几何意义，利用定积分准确表示封闭图形的面积并正确计算是解答的关键，属基础题.15.若曲线上点处的切线斜率为，则曲线上的点到直线的最短距离是_.【答案】【解析】【分析】先求导数，结合切线斜率可得切点坐标，求出切点到直线的距离即为所求.【详解】由得切点为，最短距离为点到直线的距离，.故答案为：.【点睛】本题主要考查导数的几何意义，明确切点处的导数值即为切线的斜率是求解这类问题的关键，侧重考查数学运算的核心素养.
11、16.在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物（如图），要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物现有3种不同的植物可供选择，则有_种栽种方案【答案】66【解析】【分析】根据题意，分3种情况讨论：当A、C、E种同一种植物，当A、C、E种二种植物，当A、C、E种三种植物，再由分类计数原理，即可求得，得到答案【详解】根据题意，分3种情况讨论：当A、C、E种同一种植物，此时共有3222=24种方法；当A、C、E种二种植物，此时共有C32A32211=36种方法；当A、C、E种三种植物，此时共有A33111=6种方法；则一共有24+36+6=66种不同的栽种方案；故答案为66【点睛】本题主要考查分类
12、计数原理，及有关排列组合综合问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件，解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，同时在某些特定问题上，也可充分考虑“正难则反”的思维方式三、解答题（17题10分，其他每小题12分）17.已知复数满足（是虚数单位）.求：（1）；（2）.【答案】(1) ；(2) 【解析】【分析】(1)易得,再利用复数的除法运算即可.(2)由(1)分别求得再计算求模长即可.【详解】(1)由题.即(2)由(1),故,故.即【点睛】本题主要考查了复数的四则运算与模长的计算等.属于基础题.1
13、8.设函数的图象上一点处的切线与的图象的另一交点为（1）确定点的坐标；（2）求函数与切线围成的封闭图形面积【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用导数求出函数在点处的切线方程，将此切线方程与函数的解析式联立，可求出点的坐标；（2）利用图象确定被积函数与被积区间，利用定积分可计算出由函数的图象与切线围成的封闭图形面积.【详解】（1）点，故，所以切线的方程为，即.联立，得，解得或（舍去），所以点（2）由图，设函数与切线围成的封闭图形面积为，则，所以所求面积为【点睛】本题考查利用导数求函数的切线方程，同时也考查了利用定积分计算封闭区域的面积，考查计算能力，属于中等题.19.一个口袋内有个不同
14、的红球，个不同的白球，（1）从中任取个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？（2）若取一个红球记分，取一个白球记分，从中任取个球，使总分不少于分的取法有多少种？【答案】（1）115（2）186【解析】【详解】（1）从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法，红球4个，红球3个和白球1个，红球2个和白球2个，红球4个，取法有种，红球3个和白球1个，取法有种；红球2个和白球2个，取法有种；根据分类计数原理，红球的个数不比白球少的取法有种（2）使总分不少于7分情况有三种情况，4红1白，3红2白，2红3白.第一种，4红1白，取法有种；第二种，3红2白，取法有种，第三种，2红3白，取法有种，根据分类计
15、数原理，总分不少于7分的取法有20.（1）求证：.（2）已知，用分析法证明：.【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解.【解析】【分析】（1）利用分析法，不等式的两边平方后，进行比较大小，从而问题得证；（2）根据分析法的证明步骤，利用不等式的基本性质，即可证明.【详解】（1）证明：因为和都是正数，所以要证，只需证，即证，只需证，只需证，又因为成立，所以成立.即证.（2）若证.即证，即证，即证.因为，所以恒成立，故原不等式成立.即证.【点睛】本题考查不等式的证明，涉及不等式证明的方法（分析法），属基础题.21.已知数列 满足 .（1）证明：数列 是等比数列；（2）令 ，用数学归纳法证明：【答案
16、】（1）详见解析（2）详见解析【解析】【分析】（1）利用等比数列的定义证明即可；（2）由数学归纳法的证明步骤，先证明时，不等式成立；再假设当时，不等式成立，然后证明时不等式成立即可.【详解】证明：（1）令，则，即，数列是等比数列，故是等比数列；（2）由（1）得，下面用数学归纳法证明当，时，当时，不等式的左边，右边，而， 时，不等式成立；假设当时，不等式成立，即；当时，当时，不等式也成立由可得，当，时，【点睛】本题考查了利用定义法证明等比数列，重点考查了数学归纳法，属中档题.22.已知函数f（x）xlnxx+1，g（x）exax，aR（）求f（x）的最小值；（）若g（x）1在R上恒成立，求a的值
17、；（）求证：【答案】（）0（）a1；（III）见解析【解析】【分析】（I）对f(x)求导，分析导函数的正负，得到函数f(x)的单调性，即得解.（）由g（x）exax1恒成立可得ax+1ex恒成立，可求得函数yh（x）在（0，1）处的切线方程为yx+1，故可得证.（III）由（）两边取对数得ln（x+1）x，令x，可得证.【详解】（I）f（x）lnx，当0x1时，f（x）0，x1时，f（x）0，f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增，当x1时，f（x）取得最小值f（1）0；（II）由g（x）exax1恒成立可得ax+1ex恒成立，设h（x）ex，则h（x）ex，故h（0）1，h（0）1，函数yh（x）在（0，1）处切线方程为yx+1，x+1ex恒成立a1；（III）由（II）可知，x+1ex恒成立，两边取对数得ln（x+1）x，令x（i1，2，3n）累加得1，所以原不等式成立【点睛】本题考查了函数与导数综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.
