1、9.2两条直线的位置关系1能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直2能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标3掌握点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离4能运用数形结合的思想方法，体会用代数方法研究直线问题的基本思路和方法，将几何问题转化为代数问题来解决；反过来，某些代数问题也可转化为几何问题来解决本节内容是高考直线部分命题的重点，直线与直线的位置关系、点到直线的距离、对称思想的运用等都属于基本要求1两条直线的位置关系(1)平行：对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，有l1l2_，特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2的关系为_；注意到任意两条直线l
2、1和l2满足k1k2_或_(2)垂直：如果两条直线l1，l2的斜率都存在，且分别为k1，k2，则有l1l2_，特别地，若直线l1：xa，直线l2：yb，则l1与l2的关系为_2两条直线的交点坐标一般地，将两条直线的方程联立，得方程组 若方程组有惟一解，则两条直线_，此解就是_；若方程组无解，则两条直线_，此时两条直线_；若方程组有无穷多解，则两条直线_3两个距离公式(1)点到直线的距离：点P0(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离d (2)两条平行直线间的距离：两条平行直线l1：AxByC10与l2：AxByC20(C1C2)间的距离d_4过两直线交点的直线系方程若已知直线l1：A1xB1
3、yC10与l2：A2xB2yC20相交，则方程A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(其中R，这条直线可以是l1，但不能是l2)表示过l1和l2交点的直线系方程【自查自纠】1(1)k1k2l1l2l1l2l1与l2重合(2)k1k21l1l22相交交点的坐标无公共点平行重合3(1)(2)若直线l过点(1，2)，且与直线yx垂直，则直线l的方程是()A3x2y10 B3x2y70C2x3y50 D2x3y80解：由条件知，直线l的斜率k，其方程为y2(x1)，即3x2y10.故选A.若直线2ay10与直线(3a1)xy10平行，则实数a等于()A B C D解：因为两直线平行，所以3a10，即a
4、.故选C.()“a 1”是“直线xy0和直线xay0互相垂直”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解：充分性显然成立，若“直线xy0和直线xay0互相垂直”，则(1)1，解得a1，必要性也成立故选C.()已知直线l1的方程为3x4y70，直线l2的方程为6x8y10，则直线l1与l2的距离为_解：l2可以化为3x4y0，两直线平行，由两平行直线间的距离公式得d.故填.若直线l沿x轴向左平移3个单位，再沿y轴向上平移1个单位后，回到原来位置，那么直线l的斜率是_解：显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为ykxb，据题意，平移后的直线l：yk(x3)b1与直线
5、l重合，b3kb1，得k.故填.类型一两条直线平行、重合或相交已知两条直线：l1：xmy60，l2：(m2)x3y2m0，当m为何值时，l1与l2：(1)相交；(2)平行；(3)重合解：联立两直线方程当m0或m2时两直线相交；当m0或2时，此时，当时，即，解得m1或m3；当时，即，解得m3.(1)当m1且m3时，方程组有唯一一组解l1与l2相交(2)当m1时，且，方程组无解l1与l2平行(3)当m3时，方程组有无穷多组解l1与l2重合【评析】由直线的一般式直接判断两条直线是否平行时，可直接应用本题的结论，即：若，则直线A1xB1yC10与A2xB2yC20平行，这是一个很实用的结论，但要注意分
6、母不能为零当实数m为何值时，三条直线l1：3xmy10，l2：3x2y50，l3：6xy50不能围成三角形解：记l1，l2，l3三条直线的斜率分别为k1，k2，k3，则k2，k36.若l1l2，或l1l3，则k1k2，或k1k36，解之得m2或m；若三条直线交于一点，由得 l2与l3交于点(1，1)，将点(1，1)代入3xmy10，得m2.当m2或时，l1，l2，l3不能围成三角形类型二两条直线垂直直线l1：x3y7与直线l2：kxy2，以及与x，y轴围成的凸四边形有外接圆，求实数k的值解：结合图形分析，如图所示，由直线l1，l2及x，y轴所围成四边形为OABC，其有外接圆的充要条件是对角互补
7、COA90，CBA90，即l1l2.k1，解得k3.【评析】(1)给定两直线：l1：A1xB1yC10(或yk1xb1)；l2：A2xB2yC20(或yk2xb2)直线l1l2的充要条件是A1A2B1B20(或k1k2-1)认识此充要条件请把握好以下两点：k1k21是A1A2B1B20在一般式中两直线斜率均存在情况下的等价形式；A1A2B1B20含两条直线中一条直线斜率不存在而另一条直线斜率为零这一特殊的情形，此时两直线也垂直(2)解析几何是用代数的方法解决几何问题，所以灵活运用平面几何中相关的性质、定理会使求解过程简捷、明快，这里应用了四边形有外接圆的充要条件：对角互补()已知直线l1：ax
8、(a1)y10，l2：xay20，则“a2”是“l1l2”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解：当a2时，l1：2xy10，l2：x2y20，k12，k2，k1k21，l1l2，充分性成立；反之，由l1l2得a1(a1)a0，解得a2或0，必要性不成立综上知，故选A.类型三对称问题求直线l：x2y60关于点M(1，1)对称的直线l的方程解法一：取l上的两点A(0，3)，B(6，0)，求出它们关于点M的对称点，A(2，1)，B(4，2)，再用两点式求出l的方程为x2y0.解法二：设点P(x，y)为所求直线l上的任意一点，则点P关于点M在直线l上的对称点为P
9、(x，y)由 得 代入直线l的方程得：(2x)2(2y)60，得x2y0，即x2y0为所求直线l的方程【评析】利用点关于点对称列式，再用相关点间的代换法求l，此解法适用于求曲线F(x，y)0关于点对称的曲线方程，具有普遍意义有关直线与点的对称问题可分为四类：两点关于一点成中心对称；两线关于一点成中心对称；两点关于一直线成轴对称；两线关于一直线成轴对称，前两类较简单，后两类主要应用中点、垂直等条件解决求曲线关于点或直线对称曲线的主要步骤是：在已知曲线上任取一点M(x，y)；求出这点关于对称中心或对称轴的对称点M(x，y)；已知曲线方程用x，y表示，求出所求曲线的方程G(x，y)0.已知三角形的一
10、个顶点A(4，1)，它的两条角平分线所在直线的方程分别为l1：xy10和l2：x10，求BC边所在直线的方程解：A不在这两条角平分线上，因此l1，l2是另两个角的角平分线点A关于直线l1的对称点A1，点A关于直线l2的对称点A2均在边BC所在直线l上设A1(x1，y1)，则有解得A1(0，3)同理设A2(x2，y2)，易求得A2(2，1)BC边所在直线方程为2xy30.类型四距离问题已知点P到两个定点M(1，0)，N(1，0)的距离的比为，点N到直线PM的距离为1，求直线PN的方程解：易知直线PM的斜率k存在，设直线PM的方程为yk(x1)，则点N到直线PM的距离d1，解得k.设P(x，y)，
11、又，则，整理得x2y26x10.联立解得或点P的坐标为(2，(1)或(2，(1)故直线PN的方程为yx1或yx1.【评析】解决本题的关键是处理好两个距离问题，一是N点到直线PM的距离，二是点P到两个定点M，N的距离之比为.实际上是两个轨迹问题，点P就是这两个轨迹的交点，求出交点后，进而可以求出直线PN的方程()已知直线l：AxByC0(A，B不全为0)，两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，若(Ax1By1C)(Ax2By2C)0，且0，得点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l：AxByC0的同侧，设d1，d2，由得d1d2，即点 P1(x1，y1)到直线l的距离小于点P2(x
12、2，y2)到直线l的距离，数形结合知直线l与线段P2P1的延长线相交故选B.类型五直线系及其应用求证：动直线(m22m3)x(1mm2)y3m210(其中mR)恒过定点，并求出定点坐标证法一：令m0，则直线方程为3xy10，再令m1时，直线方程为6xy40，联立，得方程组解得将点A(1，2)代入动直线(m22m3)x(1mm2)y3m210中，(m22m3)(1)(1mm2)23m21(312)m2(22)m2130，故点A(1，2)的坐标恒满足动直线方程，所以动直线(m22m3)x(1mm2)y3m210恒过定点A.证法二：将动直线方程按m降幂排列整理得，m2(xy3)m(2xy)3xy10
13、，不论m为何实数，式恒为零，有解得故动直线恒过点A(1，2)【评析】此题属于数学中恒成立问题，所以证法一是先赋给m两个特殊值得两条直线，那么这两条直线的交点就是那个定点，但m只是取两个特殊值，是否mR时都成立，则要进行代入检验；证法二是将动直线方程按m的降幂排列，由于mR恒成立，所以得关于x，y的方程组，解此方程组便得定点坐标直线系也称直线束，是具有某一共同性质的直线的集合常见直线系方程有：(1)过定点(x1，y1)的直线系：yy1k(xx1)和xx1.(2)平行于直线AxByC0的直线系：AxBy0(C)(3)垂直于直线AxByC0的直线系：BxAy0.(4)过A1xB1yC10与A2xB2
14、yC20的交点的直线系：A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(不包括直线A2xB2yC20)已知直线l：(ab)x(ab)y20，其中a，b满足3ab20.求证：直线l恒过一定点证明：由已知得b3a2，则直线l的方程可化为(4a2)x(2a2)y20，整理得a(4x2y)2x2y20.令解得点(1，2)恒满足直线l的方程，直线l恒过定点(1，2)1无论是判断两条直线平行还是垂直，都是从两方面来讨论的，即两条直线斜率都存在的情况和两条直线至少有一条斜率不存在的情况2两条直线平行或垂直时求直线方程中的参数，需分类讨论及数形结合3如果能推导出用直线方程一般式表示的两条直线平行、重合或垂直的条件(一
15、般式系数之间的关系)，并记住结论，往往会使问题更易于解决4求两条直线交点坐标的方法就是解方程组，利用解方程组也可以判断两条直线的位置关系，即将几何问题转化为代数问题5运用公式d求两平行直线间的距离时，一定要将两条直线方程中x，y的系数化成相等的系数，求两平行直线间的距离也可化归为点到直线的距离，即在一条直线上任取一点，求该点到另一条直线的距离即为两平行直线间的距离这一方法体现了化归思想的应用6点(x0，y0)到直线ykxb(即ykxb0)的距离公式d记忆容易，对于知d求k，b很方便7过定点的直线系方程反映了人们从典型到一般，从具体到抽象又反过来为具体服务的认识规律，因此，在解决此类问题时注意应用直线系方程求解，也要注意其他几种常用的直线系方程的应用8对称主要分为中心对称和轴对称两种，中心对称仅用中点坐标公式即可，轴对称因对称点连线的中垂线就是对称轴，所以根据线段的中点坐标公式和两条直线垂直的条件即可解决，对关于原点对称、坐标轴对称、直线yxb对称等，也要予以掌握，以提高解题的速度和准确性
