1、四川省武胜烈面中学校2019-2020学年高二数学下学期期中试题 理（含解析）一选择题1.若复数z满足（z1）（i1）i，则对应的点在第（ ）象限.A. 一B. 二C. 三D. 四【答案】A【解析】【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，进一步求出的坐标得答案.【详解】由（z1）（i1）i，得z1，z，则.对应的点的坐标为（，），在第一象限.故选：A.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题.2.下列求导运算正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：利用基本初等函数的导数公式、导数的运算法则对给出的四种运算逐一
2、验证，即可得到正确答案.详解：，不正确； ，正确；,不正确；，不正确，故选B.点睛：本题主要考查基本初等函数的导数公式、导数的运算法以及简单的复合函数求导法则，属于基础题.3.袋中有3红5黑8个大小形状相同的小球，从中依次摸出两个小球，则在第一次摸得红球的条件下，第二次仍是红球的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】第一次取到红球，则袋中还剩2个红球和5个黑球，即可求出第二次取到红球的概率【详解】解：依题意，第一次取到红球，则袋中还剩2个红球和5个黑球，所以第二次取到红球的概率是：故选：B【点睛】本题考查条件概率，确定基本事件的个数是关键，属于基础题4.函数的单调减区间
3、为（ ）.A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求出函数的导函数，利用导数求函数的单调递减区间即可【详解】解：因为，所以函数的定义域为，所，令，解得故函数的单调递减区间为故选：B【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调区间，属于基础题5.甲、乙二人进行围棋比赛，采取“三局两胜制”，已知甲每局取胜的概率为，则甲获胜的概率为 ( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先确定事件“甲获胜”包含“甲三局赢两局”和“前两局甲赢”，再利用独立重复试验的概率公式和概率加法公式可求出所求事件的概率【详解】事件“甲获胜”包含“甲三局赢两局”和“前两局甲赢”，若甲三局赢两局，则第三局必须
4、是甲赢，前面两局甲赢一局，所求概率为，若前两局都是甲赢，所求概率为，因此，甲获胜的概率为，故选C【点睛】本题考查独立重复事件的概率，考查概率的加法公式，解题时要弄清楚事件所包含的基本情况，考查分类讨论思想，考查计算能力，属于中等题6.某医院计划从3名医生，9名护士中选派5人参加湖北新冠肺炎疫情狙击战，要求选派的5人中至少要有2名医生，则不同的选派方法有（ ）A 495种B. 288种C. 252种D. 126种【答案】B【解析】【分析】题意分两种情况，选派2名医生，3名护士，选派3名医生，2名护士，分别计算，再根据分类加法计算原理计算可得；【详解】解：依题意分两种情况，选派2名医生，3名护士，
5、则有（种）；选派3名医生，2名护士，则有（种）；按照分类加法计算原理可知，一共有（种）.故选：B【点睛】本题考查简单的组合问题，分类加法计算原理，属于中档题.7.已知二项式的展开式中，二项式系数之和等于64，则展开式中常数项等于（ ）A. 240B. 120C. 48D. 36【答案】A【解析】【分析】由题意结合二项式系数和的性质可得即，写出二项式展开式的通项公式，令即可得解.【详解】由题意，解得，则，则二项式的展开式的通项公式为，令即，则.故选：A.【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.8.已知变量，之间的线性回归方程为，且变量，之间的一组相关数据如下表所示，则
6、下列说法错误的是（ ）681012632A. 可以预测，当时，B. C. 变量，之间呈负相关关系D. 该回归直线必过点【答案】D【解析】【分析】将代入回归直线方程，即可判断A选项；算出的平均数，根据样本点中心一定在回归直线上，判断BD选项；根据回归直线的斜率判断C选项.【详解】对于A选项，当时，A选项正确；对于B选项，将点（，）的坐标代入回归直线方程得解得，B选项正确；对于C选项，由于回归直线方程的斜率为负，则变量，之间呈负相关关系，选项正确；对于D选项，由B选项可知，回归直线必过点，D选项不正确故选D【点睛】本题主要考查了由回归直线方程求参数等，属于基础题.9.已知随机变量X服从二项分布.若
7、，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由随机变量X服从二项分布B（n，p），结合期望及方差的公式运算即可得解【详解】由随机变量X服从二项分布B(n,p).又E(X)=2, ，所以np=2，np(1p)= ，解得：p=，故选：C.【点睛】本题考查二项分布与n次独立重复试验的模型，运用二项分布的期望及方差的公式运算即可求解，属于基础题.10.已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则（ ）A. B. C. 2D. 【答案】B【解析】【分析】由导数几何意义求出，用二倍角公式变形求值式后弦化切后，代入的值可得结论【详解】解：由，得，则在点处的切线斜率故选：B【点睛】本题考查导数的几何意义
8、，考查二倍角公式和同角间的三角函数关系，掌握导数的几何意义是解题关键三角函数求值时注意关于齐次式的求解方法：弦化切11.某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是:40,50),50,60),60,70),70,80),80,90),90,100.从样本成绩不低于80分的学生中随机选取2人,记这2人成绩在90分以上(含90分)的人数为,则的数学期望为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】由频率分布直方图知，30.006100.01100.0541010x1，解得x0.018，成绩不低于80分的学生有(0.0180.006)105012人，成绩在90分以
9、上(含90分)的学生有0.00610503人的可能取值为0,1,2，P(0)，P(1)，P(2)，的分布列为012P E()012.选B.12.已知函数，则不等式的解集是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先判断函数的奇偶性，将不等式化为，再由函数的单调得到，求解即可得出结果.【详解】因函数，所以，因此函数为奇函数，所以化为，又在上恒成立，因此函数恒为增函数，所以，即，解得.故选:B【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用、以及单调性的应用，熟记函数奇偶性的概念以及利用导数研究函数的单调性的方法即可，属于常考题型.二填空题13.已知平面的一个法向量，且，则直线与平面所成的角为_
10、【答案】【解析】【分析】设直线与平面所成的角为， 由，利用空间向量的数量积即可求解.【详解】解：设直线与平面所成的角为，则，直线与平面所成的角为故答案为：【点睛】本题考查了空间向量法求线面角，熟记公式是解题的关键，属于基础题.14.6名工人，其中2人只会电工，3人只会木工，还有1人既会电工又会木工，选出电工2人木工2人，共有_种不同的选法【答案】12【解析】【分析】由题意按照既会电工又会木工1人没入选、既会电工又会木工1人入选充当电工、既会电工又会木工1人入选充当木工分类讨论，结合分步乘法、组合的知识即可得解.【详解】由题意可对选出的电工2人木工2人分类：既会电工又会木工1人没入选，有种选法；
11、既会电工又会木工1人入选充当电工，有种选法；既会电工又会木工1人入选充当木工，有种选法；综上，共有种选法故答案为：12【点睛】本题考查了计数原理应用，考查了分类讨论思想，合理分类、分步是解题的关键，属于基础题.15.已知随机变量服从正态分布N（3，2），且P（2）0.85，则P（34）_【答案】0.35【解析】【分析】由已知求得，再由正态分布曲线的对称性求得P（23），则答案可求【详解】解：随机变量服从正态分布N（3，2），3，P（2）0.85，P（23）0.850.50.35，则P（34）P（23）0.35.故答案为：0.35【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布
12、曲线的对称性，属于基础题16.已知展开式中第二项、第三项、第四项的二项式系数成等差数列，将展开式中所有项重新排列，则有理项不相邻的概率为_【答案】【解析】【分析】由二项式系数成等差数列求出，写出展开式通项公式得出有理项的项数，求出有理项不相邻的排法数，再求出所有项排列的方法数，然后可计算出概率【详解】由题意，由且为正整数，故解得，当为整数时，该项为有理项，这样的为1，4，7，共3项，展开式共8项，全排列有种，有理项不相邻的排列数有，所以所求概率为故答案为：【点睛】本题考查二项式定理，考查古典概型，首先要掌握二项式系数的概念，确定的值，确定展开式中的项数，然后要掌握二项式展开式的通项公式，确定其
13、中有理项的项数，第三还要掌握插空法求不相邻问题的排列数第四要掌握古典概型概率计算公式，本题属于中档题三解答题17.已知函数（1）求这个函数图像垂直于直线的切线方程；（2）求这个函数图像过点的切线方程【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）求出导函数，由切线斜率求得切点坐标，从而得切线方程；（2）设切点坐标为，由切点坐标写出切线方程，代入点的坐标，从而求得切点【详解】（1）设，则，切线与垂直，切线斜率为1，即切点为.切线方程为；（2）设切点为，由（1），切线方程为，切线过点，解得或，切线方程为或，即或.【点睛】本题考查导数几何意义求切线方程有两种情形：一种是已知切点，则切线方程为，另一种
14、是已知切线过点，则设切点为，切线方程为，代入后求出切线，得切线方程18.已知在的展开式中第5项为常数项.（1）求的值；（2）求展开式中含有项的系数；（3）求展开式中所有的有理项.【答案】（1）；（2）；（3），【解析】【分析】（1）先写出展开式的通项公式，由展开式中第5项为常数项，则当时，有，从而求出出的值.（2）由（1）中得到，则含有项，即，得到，从而求出答案.（3）展开式中所有的有理项,则，可得可取1，4，7，可得到答案.【详解】（1）展开式的通项公式为.因为第5项为常数项.所以时，有，解得.（2）令，由（1），解，故所求系数为（3）有题意得，令，则所以可取，即可取1，4，7它们分别为，.
15、【点睛】本题考查二项式展开式的通项公式应用，求展开式中某项的系数，属于中档题.19.江夏一中将要举行校园歌手大赛，现有3男3女参加，需要安排他们的出场顺序（结果用数字作答）（1）如果3个女生都不相邻，那么有多少种不同的出场顺序？（2）如果女生甲在女生乙的前面（可以不相邻），那么有多少种不同的出场顺序？（3）如果3位男生都相邻，且女生甲不在第一个出场，那么有多少种不同的出场顺序？【答案】（1）144；（2）360；（3）108【解析】【分析】（1）根据题意，用插空法分2步进行分析：、先将3名男生排成一排，、男生排好后有4个空位，在4个空位中任选3个，安排3名女生，由分步计数原理计算可得答案；（2
16、）根据题意，先不考虑甲乙的情况，将6人排成一排，又由女生甲在女生乙的前面和女生甲在女生乙的后面的排法是一样的，即可得答案；（3）根据题意，分3步进行分析：、先将3名男生看成一个整体，考虑三人之间的顺序，、将除之外的两名女生和三名男生的整体全排列，、分析女生甲的安排方法，由分步计数原理计算可得答案【详解】（1）根据题意，分2步进行分析：先将3名男生排成一排，有种情况，男生排好后有4个空位，在4个空位中任选3个，安排3名女生，有种情况，则有种不同的出场顺序；（2）根据题意，将6人排成一排，有种情况，其中女生甲在女生乙的前面和女生甲在女生乙的后面的排法是一样的，则女生甲在女生乙的前面的排法有种；（3
17、）根据题意，分3步进行分析：先将3名男生看成一个整体，考虑三人之间的顺序，有种情况，将除之外的两名女生和三名男生的整体全排列，有种情况，女生甲不在第一个出场，则女生甲的安排方法有种，则有种符合题意的安排方法【点睛】本题考查排列、组合的应用，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意分步、分类计数原理的应用20.如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，是线段的中点（1）求证平面；（2）求二面角的大小；（3）试在线段上一点，使得与所成的角是60【答案】（1）证明见解析；（2）60；（3）点为线段的中点.【解析】【分析】（1）根据正方形和矩形所在的平面互相垂直，建立空间直角坐标系，求得的坐标，证明
18、共线即可.（2）根据平面，得到为平面的一个法向量，由，得到为平面的一个法向量，然后代入公式求解.（3）设，求得，的坐标，代入公式求解.【详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系：设，连接，则点、的坐标分别是、，又点、的坐标分别是、，且与不共线，又平面，平面，平面.（2），平面，为平面的一个法向量，得，为平面的一个法向量，的夹角是60，即所求二面角的大小是60.（3）设，则，解得或（舍去），所以当点为线段的中点时，直线与所成的角为60【点睛】本题主要考查向量法证明线面平行，二面角，异面直线所成的角的向量求法，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.21.2020年新年伊始，新型冠状病毒来势
19、汹汹，疫情使得各地学生在寒假结束之后无法返校，教育部就此提出了线上教学和远程教学，停课不停学的要求也得到了家长们的赞同各地学校开展各式各样的线上教学，某地学校为了加强学生爱国教育，拟开设国学课，为了了解学生喜欢国学是否与性别有关，该学校对100名学生进行了问卷调查，得到如下列联表：喜欢国学不喜欢国学合计男生2050女生10合计100（1）请将上述列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜欢国学与性别有关系？（2）针对问卷调查的100名学生，学校决定从喜欢国学的人中按分层抽样的方法随机抽取6人成立国学宣传组，并在这6人中任选2人作为宣传组的组长，设这两人中女生人数为，
20、求的分布列和数学期望参考数据：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828，【答案】（1）列联表见解析；能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜欢国学与性别有关系（2）分布列见解析；【解析】【分析】（1）根据总数为100，结合已知数据即可补充完整列联表；根据公式，求得的观测值，结合参考数据，即可容易判断；（2）求得分层抽样的抽样比，计算出人中男生和女生人数，利用概率计算公式即可求得分布列，结合分布列求得.【详解】（1）补充完整的列联表如下：喜欢国学不喜欢国学合计男生203050女生401050合计
21、6040100计算得，所以能在犯错误概率不超过0.001的前提下认为喜欢国学与性别有关系（2）喜欢国学的共60人，按分层抽样抽取6人，则每人被抽到的概率均为，从而需抽取男生2人，女生4人，故的所有可能取值为0，1，2，故的分布列为：012数学期望【点睛】本题考查的计算，离散型随机变量的分布列和数学期望，涉及分层抽样，属综合中档题.22.已知函数f（x）aex2x+1（1）当a1时，求函数f（x）的极值；（2）若f（x）0对xR成立，求实数a取值范围【答案】（1）极小值为32ln2，无极大值；（2）【解析】【分析】（1）求导，判断函数单调性，根据单调性求得极值；（2）分离参数，构造函数，求解函数的最值，即可求得参数的范围.【详解】（1）当a1时，f（x）ex2x+1，则f（x）ex2，令f（x）0，解得xln2；令f（x）0，解得xln2；故函数f（x）在（,ln2）上递减，在（ln2,+）上递增，故函数f（x）的极小值为f（ln2）22ln2+132ln2，无极大值；（2）f（x）0对xR成立，即为对任意xR都成立，设，则ag（x）max，令g（x）0，解得；令g（x）0，解得；故函数g（x）在递增，在递减，故实数a的取值范围为【点睛】本题考查利用导数求函数的极值，以及根据恒成立问题求解参数的范围，本题采用了分离参数的方法.
