1、四川省武胜烈面中学校2019-2020学年高二数学下学期开学考试试题 文（含解析）一选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确的选项填涂在答题卡上)1.复数 等于（ ）A. i-1B. 1-iC. 1+iD. -1-i【答案】A【解析】【分析】直接利用复数的除法化简复数即得解.【详解】由题得.故选：A【点睛】本题主要考查复数的除法运算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.2.为虚数单位，复数在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】由复数的除法运算
2、可得，再结合复数在复平面内对应的点位于的象限求解即可.【详解】解：由，则，则复数在复平面内对应的点的坐标为，即复数在复平面内对应的点位于第二象限，故选：B.【点睛】本题考查了复数除法运算，重点考查了复数在复平面内对应的点位于的象限，属基础题.3.下列求导过程：；，其中正确的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】试题分析：根据导数的计算公式分别进行判断即可详解：（1）正确，（2），正确，（3），正确，（4），正确，故正确个数是4个，故选D点睛：本题主要考查函数的导数计算，比较基础要求数列掌握常见函数的导数公式4.函数的零点个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 3【答案
3、】C【解析】 ,所以当 时 ; 当 时 ;因此零点个数为2,选C.5.函数在区间内是增函数，则实数的取值范围是（ ）A. 3，+)B. -3，+)C. (-3，+)D. (-，-3)【答案】B【解析】【分析】由题得a-3x2，求函数的最大值即得解.详解】=3x2+a.由题得3x2+a0，则a-3x2，x(1，+)，a-3.故选：B【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性问题，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.6.过点(0，-1)作曲线的切线，则切线方程为（ ）A. x+y+1=0B. x-y-1=0C. x+2y+2=0D. 2x-y-1=0【答案】B【解析】【分析】设切点为，再求出切点
4、坐标，即得切线的斜率，再写出切线的方程即得解.【详解】=ln x+1，设切点为，,=ln x0+1，x0ln x0+1=x0ln x0+x0，x0=1，y0=0，所以=1，切线方程为y=x-1，即x-y-1=0，故选：B.【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查曲线的切线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7.已知函数的图象与轴恰有两个公共点，则A. 或2B. 或3C. 或1D. 或1【答案】A【解析】【分析】利用导数判断函数的单调性求出极值点为，利用或可得结果.【详解】因为,所以f(x)的增区间为,减区间为,所以的极大值为，极小值为，因为函数的图象与轴恰有两个公共点,所以只须满
5、足或，即或,故选A.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的极值以及函数的零点，属于中档题.对于与“三次函数”的零点个数问题，往往考虑函数的极值符号来解决,设函数的极大值为 ，极小值为 ：一个零点或；两个零点或；三个零点且.8.已知正四棱柱中，E为中点，则异面直线BE与所成角的余弦值为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【详解】平移成三角形用余弦定理解，或建立坐标系解，注意线线角不大于,故选C.取DD1中点F，则为所求角, ，选C.9.下列图象中有一个是函数的导数的图象，则（）A. B. C. D. 或【答案】B【解析】【分析】求出导函数，据导函数的二次项系数为正得到图
6、象开口向上；利用函数解析式中有2ax，故函数不是偶函数，得到函数的图象【详解】，导函数的图象开口向上又，不偶函数，其图象不关于y轴对称，其图象必为第三张图，由图象特征知，且对称轴，故故选：B【点睛】本题考查导数的运算法则，考查二次函数的图象与性质，二次函数图象开口方向与二次项系数的符号有关10.做一个容积为256 L的方底无盖水箱，当它的高为多少分米时，最省材料（ ）A. 4B. 5C. 6D. 8【答案】A【解析】【分析】设水箱底面边长为x，高为y，则x2y=256. 设所用材料为S，则S =x2+,再利用导数求函数的最小值得解.【详解】设水箱底面边长为x，高为y，则x2y=256.设所用材
7、料为S，则S=x2+4xy=x2+4x=x2+.令=2x-=0，得x3=512，x=8，所以函数在（0,8）单调递减，在（8，+）单调递减.所以当x=8时，函数取最小值，此时x=8，y=4.故选：A【点睛】本题主要考查导数的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和应用能力.11.设函数f（x）=+lnx ，则 （ ）A. x=为f(x)的极大值点B. x=为f(x)的极小值点C. x=2为 f(x)的极大值点D. x=2为 f(x)的极小值点【答案】D【解析】【详解】，由得，又函数定义域为，当时，递减，当时，递增，因此是函数的极小值点故选D考点：函数的极值12.设函数，则函数的所有极大值之
8、和为A. B. C. D. 【答案】D【解析】函数 ， ， 时， 时， ，时原函数递增， 时，函数 递减，故当 时， 取极大值，其极大值为 ，又 ，函数 的各极大值之和 故选D二填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题纸上)13.若复数为纯虚数（为虚数单位），其中，则_.【答案】3【解析】【分析】由是纯虚数，求出复数，然后再求的模.【详解】由为纯虚数，则且所以，则.所以故答案为：3【点睛】本题考查纯虚数，复数的模，属于基础题.14.已知曲线的一条切线的斜率为 ，则切点的横坐标为_【答案】2【解析】【分析】求出函数的导函数令导函数等于，解方程即可得解.【详解】函数的定义域
9、为，设切点坐标为，所以，解得（舍去）或.故答案为：2【点睛】此题考查导数的几何意义，根据某点处的切线斜率的值求切点横坐标，关键在于准确求出导函数，列方程求解.15.设，当x1，2时，恒成立，则实数的取值范围为 .【答案】（7，+）【解析】【分析】先求导数，然后根据函数单调性研究函数的极值点，通过比较极值与端点的大小从而确定出最大值，进而求出变量m的范围【详解】解：f（x）3x2x20解得：x1或当x时，f（x）0，当x时，f（x）0，当x（1，2）时，f（x）0，f（x）maxf（），f（2）max7由f（x）m恒成立，所以mfmax（x）7故答案为（7，+）【点睛】本题考查了利用导数求闭区间
10、上函数的最值，求函数在闭区间a，b上的最大值与最小值是通过比较函数在（a，b）内所有极值与端点函数f（a），f（b） 比较而得到的，属于基础题16.已知函数，现给出下列结论：有极小值，但无最小值有极大值，但无最大值若方程恰有一个实数根，则若方程恰有三个不同实数根，则其中所有正确结论的序号为_【答案】【解析】 所以当 时， ；当 时， ；当 时， ；因此有极小值，也有最小值，有极大值，但无最大值；若方程恰有一个实数根，则或; 若方程恰有三个不同实数根，则,即正确结论的序号为点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围从图象的最高点、
11、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等三解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.（1）计算：(为虚数单位）（2）已知函数，计算：的导函数.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据，利用复数的次幂运算，即可得答案；（2）根据导数的运算法则，直接进行求解，即可得到答案【详解】（1）；（2），【点睛】本题考查复数的运算和导数的运算法则，考查运算求解能力，属于基础题.18.设函数.（1）求在点处的切线方程；（2）求函数f(x)的单调区间.【答案】（1）.（2）的单调递增区间是；单调递减
12、区间是和.【解析】【分析】（1）利用导数求切线的斜率=0，再求出切线的方程得解；（2）利用导数求函数的单调区间即可.【详解】（1）由题得=- ex+ex=ex，则切线的斜率=0，又f（1）=e，故f(x)在点(1，f（1）)处的切线方程为y=e.（2）由题得=- ex+ex=ex，由=0，得x=1.因为当x0时，f(x)0；当0x1时，0；当x1时，0.故的单调递增区间是；单调递减区间是和.【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查利用导数求函数的单调区间，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19.已知函数在点处取得极小值5，其导函数的图象经过点(0,0)，(2,0)（1）求的值；（2）求及函
13、数的表达式【答案】（1） ； （2），.【解析】【分析】（1）根据导函数过两个点，先写出导函数，直接列出方程组完成求解；（2）分析函数单调性，得出极值点的值，并利用条件求解的值，最后可求的解析式.【详解】(1)由题设可得f(x)3x22axb.f(x)的图象过点(0,0)，(2,0)， 解得a3，b0.(2)由f(x)3x26x0，得x2或x0，在(0,2)上f(x)0.f(x)在(，0)，(2，)上递增，在(0,2)上递减，因此f(x)在x2处取得极小值所以x02.由f(2)5，得c1，f(x)x33x21.【点睛】导数问题中若想求解极值点，首先都会去分析单调性，利用单调区间可以很快得出是极
14、大值点还是极小值点.20.已知函数.（1）当时，求函数在上的最大值；（2）令，若在区间上为单调递增函数，求的取值范围；【答案】（1）.（2）【解析】【分析】（1）利用导数求出函数的单调区间即得函数的最大值；（2）由题得，再求函数的的范围即得解.【详解】（1） 所以函数在，1是增函数，在1，2是减函数，所以. （2）因为，所以， 因为在区间单调递增函数，所以在(0，3)恒成立，有，() 设，所以函数在单调递增，所以，所以，综上：.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的最值和单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21.已知函数若函数恰有一个零点，求的取值范围.【答案】或.【解
15、析】【分析】利用导数求出函数在和单调递增，在上单调递减，再求出函数的极值，即得解.【详解】由题得 由得或；由得，在和单调递增，在上单调递减， ，恰有一个零点，或，即或.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.22.已知函数.（1）当时，求函数的单调区间和极值；（2）若不等式恒成立，求的值.【答案】（1）见解析；（2）1.【解析】【分析】（1）a1时，f（x），f（x），令f（x）0，解得xe.通过列表可得函数f（x）的单调递区间及其极值.（2）由题意可得：x0，由不等式恒成立，即x1alnx0恒成立.令g（x）x1alnx0，g（1）
16、0，x（0，+）.g（x）1.对a分类讨论，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出.【详解】（1）a1时，f（x），f（x），令f（x）0，解得xe. x （0，e） e （e，+） f（x）+ 0 f（x） 单调递增 极大值 单调递减可得函数f（x）的单调递增区间为（0，e），单调递减区间为（e，+），可得极大值为f（e），为极小值.（2）由题意可得：x0，由不等式恒成立，即x1alnx0恒成立.令g（x）x1alnx0，g（1）0，x（0，+）.g（x）1.若a0，则函数g（x）在（0，+）上单调递增，又g（1）0，x（0，1）时，g（x）0，不符合题意，舍去.若0a1，则函数g（x）
17、在（a，+）上g（x）0，即函数g（x）单调递增，又g（1）0，x（a，1）时，g（x）0，不符合题意，舍去.若a1，则函数g（x）在（1，+）上g（x）0，即函数g（x）单调递增，x（a，1）时，g（x）0，函数g（x）单调递减.x1时，函数g（x）取得极小值即最小值，又g（1）0，x0时，g（x）0恒成立.若1a，则函数g（x）在（0，a）上g（x）0，即函数g（x）单调递减，又g（1）0，x（1，a）时，g（x）0，不符合题意，舍去.综上可得：a1.【点睛】对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数
