1、第2讲选修45不等式选讲含绝对值不等式的解法(5年7考)高考解读以解答题的形式考查绝对值不等式的解集、有限制条件的恒成立、有解等问题、考查学生的等价转化能力和数学运算能力，难度中等.1(2017全国卷)已知函数f(x)x2ax4，g(x)|x1|x1|.(1)当a1时，求不等式f(x)g(x)的解集；(2)若不等式f(x)g(x)的解集包含1,1，求a的取值范围解(1)当a1时，不等式f(x)g(x)等价于x2x|x1|x1|40.当x1时，式化为x2x40，从而1x.所以f(x)g(x)的解集为.(2)当x1,1时，g(x)2，所以f(x)g(x)的解集包含1,1等价于当x1,1时，f(x)
2、2.又f(x)在1,1的最小值必为f(1)与f(1)之一，所以f(1)2且f(1)2，得1a1.所以a的取值范围为1,12(2019全国卷)已知f(x)|xa|x|x2|(xa)(1)当a1时，求不等式f(x)0的解集；(2)若x(，1)时，f(x)0，求a的取值范围解(1)当a1时，f(x)|x1|x|x2|(x1)当x1时，f(x)2(x1)20；当x1时，f(x)0.所以，不等式f(x)0的解集为(，1)(2)因为f(a)0，所以a1.当a1，x(，1)时，f(x)(ax)x(2x)(xa)2(ax)(x1)0.所以，a的取值范围是1，)教师备选题(2018全国卷)已知f(x)|x1|a
3、x1|.(1)当a1时，求不等式f(x)1的解集；(2)若x(0,1)时不等式f(x)x成立，求a的取值范围解(1)当a1时，f(x)|x1|x1|，即f(x)故不等式f(x)1的解集为.(2)当x(0,1)时|x1|ax1|x成立等价于当x(0,1)时，|ax1|1成立若a0，则当x(0,1)时|ax1|1；若a0，|ax1|1的解集为00x，所以1，故0a2.综上，a的取值范围为(0,21用零点分段法解绝对值不等式的步骤(1)求零点；(2)划区间、去绝对值符号；(3)分别解去掉绝对值的不等式；(4)取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值2用图象法、数形结合法可以求解含有绝对值的
4、不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法1(有解问题)已知f(x)|x|2|x1|.(1)解不等式f(x)4；(2)若不等式f(x)|2a1|有解，求实数a的取值范围解(1)不等式f(x)4，即|x|2|x1|4，等价于或或x或无解或x2.故不等式的解集为2，)(2)f(x)|2a1|有解等价于f(x)min|2a1|.f(x)|x|2|x1|故f(x)的最小值为1，所以1|2a1|，得2a11或2a11，解得a1或a0，故实数a的取值范围为(，10，)2(恒成立问题)已知函数f(x)|2x1|x1|.(1)解不等式f(x)2；(2)若g(x)f(x)f(x)，且对
5、任意xR，都有|k1|g(x)，求实数k的取值范围解(1)依题意得f(x)于是得或或解得x或0x1或x1.故不等式f(x)2的解集为.(2)g(x)f(x)f(x)|x1|x1|(|2x1|2x1|)|(x1)(x1)|(2x1)(2x1)|4，当且仅当即x时取等号，若对任意的xR，不等式|k1|g(x)恒成立，则|k1|g(x)min4，所以4k14，解得3k5，即实数k的取值范围为(3,5).不等式的证明(5年3考)高考解读以解答的形式考查学生应用比较法、基本不等式等证明不等式，考查学生的逻辑推理及数学运算能力. (2019全国卷)已知a，b，c为正数，且满足abc1.证明：(1)a2b2
6、c2；(2)(ab)3(bc)3(ca)324.证明(1)因为a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac，又abc1，故有a2b2c2abbcca.当且仅当abc1时，等号成立所以a2b2c2.(2)因为a，b，c为正数且abc1，故有(ab)3(bc)3(ca)333(ab)(bc)(ac)3(2)(2)(2)24.当且仅当abc1时，等号成立所以(ab)3(bc)3(ca)324.教师备选题1(2015全国卷)设a，b，c，d均为正数，且abcd，证明：(1)若abcd，则；(2)是|ab|cd，得()2()2.因此.(2)若|ab|cd|，则(ab)2(cd)2，即(ab)24abc
7、d.由(1)得.若，则()2()2，即ab2cd2.因为abcd，所以abcd，于是(ab)2(ab)24ab(cd)24cd(cd)2，因此|ab|是|ab|0，b0，a3b32.证明：(1)(ab)(a5b5)4；(2)ab2.证明(1)(ab)(a5b5)a6ab5a5bb6(a3b3)22a3b3ab(a4b4)4ab(a2b2)24.(2)因为(ab)3a33a2b3ab2b323ab(ab)2(ab)2，所以(ab)38，因此ab2.不等式证明的常用方法是：比较法、综合法与分析法其中运用综合法证明不等式时，主要是运用基本不等式证明，与绝对值有关的不等式证明常用绝对值三角不等式证明过
8、程中一方面要注意不等式成立的条件，另一方面要善于对式子进行恰当的转化、变形1(用基本不等式证明不等式)已知函数f(x)|x2|.(1)求不等式f(x)4|x1|的解集；(2)设a，b，若ff10，求证：a.解(1)f(x)4|x1|可化为|x2|4|x1|，等价于或或解得x或x或x.所以原不等式的解集为.(2)因为a，b，所以2，4.则ff2210，即14.由基本不等式得，2224，当且仅当即时取等号所以144，即a.2(用绝对值不等式的性质证明不等式)已知函数f(x)|x1|.(1)求不等式f(x)|2x1|1的解集M；(2)设a，bM，证明：f(ab)f(a)f(b)解(1)由题意，|x1
9、|2x1|1，当x1时，不等式可化为x12x2，解得x1；当1x时，不等式可化为x12x2，此时不等式无解；当x时，不等式可化为x12x，解得x1.综上，Mx|x1或x1(2)证明：因为f(a)f(b)|a1|b1|a1(b1)|ab|，所以要证f(ab)f(a)f(b)，只需证|ab1|ab|，即证|ab1|2|ab|2，即证a2b22ab1a22abb2，即证a2b2a2b210，即证(a21)(b21)0.因为a，bM，所以a21，b21，所以(a21)(b21)0成立，所以原不等式成立.与代数式有关的最值问题(5年3考)高考解读以解答题的形式考查代数式(含绝对值不等式)的最值求法，考查
10、学生应用均值不等式、柯西不等式、绝对值不等式的几何意义等工具分析问题和解决问题的能力，考查逻辑推理的数学素养.1(2019全国卷)设x，y，zR，且xyz1.(1)求(x1)2(y1)2(z1)2的最小值；(2)若(x2)2(y1)2(za)2成立，证明：a3或a1.解(1)因为(x1)(y1)(z1)2(x1)2(y1)2(z1)22(x1)(y1)(y1)(z1)(z1)(x1)3(x1)2(y1)2(z1)2，所以由已知得(x1)2(y1)2(z1)2，当且仅当x，y，z时等号成立所以(x1)2(y1)2(z1)2的最小值为.(2)证明：因为(x2)(y1)(za)2(x2)2(y1)2
11、(za)22(x2)(y1)(y1)(za)(za)(x2)3(x2)2(y1)2(za)2，所以由已知得(x2)2(y1)2(za)2，当且仅当x，y，z时等号成立所以(x2)2(y1)2(za)2的最小值为.由题设知，解得a3或a1.2(2018全国卷)设函数f(x)|2x1|x1|.(1)画出yf(x)的图象；(2)当x0，)时，f(x)axb，求ab的最小值解(1)f(x)yf(x)的图象如图所示(2)由(1)知，yf(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a3且b2时，f(x)axb在0，)成立，因此ab的最小值为5.教师备选题若a0，b0，且
12、.(1)求a3b3的最小值；(2)是否存在a，b，使得2a3b6？并说明理由解(1)由，得ab2，当且仅当ab时等号成立故a3b324，且当ab时等号成立所以a3b3的最小值为4.(2)由(1)知，2a3b24.由于46，从而不存在a，b，使得2a3b6.1形如f(x)|AxB|AxC|的最值因为|AxB|AxC|AxB(AxC)|BC|，当且仅当(AxB)(AxC)0时取“”，所以f(x)min|AxB|AxC|min|BC|.2形如f(x)|AxB|AxC|的最值因为|AxB|AxC|AxBAxC|BC|，当且仅当(AxB)(AxC)0时取“”，所以f(x)max|AxB|AxC|max|
13、BC|，f(x)min|AxB|AxC|min|BC|.3形如f(x)|AxB|CxD|或f(x)|AxB|CxD|的最值由绝对值的几何意义作图可知1(求最值问题)设函数f(x)|x1|x|的最大值为m.(1)求m的值；(2)若正实数a，b满足abm，求的最小值解(1)|x1|x|x1x|1，f(x)的最大值为1，m1.(2)由(1)可知，ab1，(a1)(b1)(2aba2b2)(ab)2，当且仅当ab时取等号，的最小值为.2(求参数问题)设函数f(x)|2x1|xa|.(1)当a1时，求f(x)的图象与直线y3围成区域的面积；(2)若f(x)的最小值为1，求a的值解(1)当a1时，f(x)
14、|2x1|x1|如图，作出函数f(x)的图象与直线y3，结合图象可知所求面积为1(1).(2)法一：(借助分段函数的性质)当a，即a时，f(x)则f(x)minfa11，所以a.当a，即a时，f(x)则f(x)minf3a11，所以a.综上，a或a.法二：(解恒成立问题)f(x)|2x1|xa|xa|，当且仅当x时取等号令1，得a或a.3(与恒成立交汇)已知函数f(x)x|xa|，aR.(1)当f(1)f(1)1时，求a的取值范围；(2)若a0，x，y(，a，不等式f(x)|ya|恒成立，求a的取值范围解(1)f(1)f(1)|1a|1a|1，若a1，则1a1a1，得21，即a1；若1a1，则1a(1a)1，得a，即1a；若a1，则(1a)(1a)1，得21，此时不等式无解综上所述，a的取值范围是.(2)由题意知， 要使不等式恒成立，只需f(x)maxmin.当x(，a时，f(x)x2ax，f(x)maxf.因为|ya|，当且仅当(ya)0，即ya时等号成立，所以当y(，a时，mina.于是a，解得1a5.又a0，所以a的取值范围是(0,5
