1、第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念目标 1.知道向量的实际背景，以位移、力等物理背景抽象出向量2.记住向量、相等向量的概念，会向量的几何表示3.记住共线向量的概念，并能找共线向量重点 向量相等及几何表示难点 共线向量知识点一 向量的概念和表示方法 填一填1向量：数学中，我们把既有大小，又有方向的量叫做向量2向量的表示(1)表示工具有向线段有向线段的三个要素：起点，方向，长度(2)表示方法：向量可以用有向线段表示，向量的大小，也就是向量的长度(或称模)，记作|.向量也可以用字母a，b，c，表示，也可以用有向线段的起点和终点字母表示，如：，.答一答1有向线段就是向量，向量就是有向线段
2、吗？提示：有向线段只是一个几何图形，是向量的直观表示因此，有向线段与向量是完全不同的两个概念2两个向量可以比较大小吗？提示：不能因为向量既有大小，又有方向知识点二 向量的长度(或称模)与特殊向量 填一填1向量的长度定义：向量的大小2向量的长度表示：向量的长度记作：|；向量a的长度记作：|a|.3特殊向量长度为0的向量叫做零向量，记作0，长度等于1个单位的向量，叫做单位向量答一答3零向量的方向是什么？两个单位向量的方向相同吗？提示：零向量的方向是任意的两个单位向量的方向不一定相同知识点三 相等向量与共线向量 填一填1长度相等且方向相同的向量叫做相等向量2方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，如果
3、向量a，b平行，记作ab.任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫做共线向量答一答4共线向量与相等向量有什么关系？提示：相等的向量一定共线，而共线的向量不一定相等5零向量与任一向量有什么关系？提示：规定零向量与任一向量是共线向量6向量平行与直线平行是一样的吗？提示：两种平行不同类型一 向量的有关概念 例1判断下列命题是否正确，并说明理由(1)若向量a与b同向，且|a|b|，则ab；(2)若|a|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；(3)由于0方向不确定，故0不能与任意向量平行；(4)向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反；(5)起点不同，但方向相同且模相等的向量是
4、相等向量分析解答本题可从向量的定义、向量的模、相等向量、平行向量等概念入手，逐一判断真假解(1)不正确因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小(2)不正确由|a|b|只能判断两向量长度相等，不能确定它们方向的关系(3)不正确依据规定：0与任一向量平行(4)不正确因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不定(5)正确对于一个向量只要不改变其大小与方向，是可以任意移动的对于命题判断正误题，应熟记有关概念，看清、理解各命题，逐一进行判断，对错误命题的判断只需举一反例即可(1)零向量、单位向量的定义都只是限制了大小，它们的方向是任意的因为它们方向的不确定性，所以在解题过程中
5、要注意(2)注意0与0的含义与书写的区别，前一个表示实数，后一个表示向量(3)平行向量不一定方向相同或相反，因为0与任一向量平行，0的方向是任意的变式训练1下列说法错误的有(1)(2)(填上你认为所有符合的序号)(1)两个单位向量不可能平行；(2)两个非零向量平行，则它们所在直线平行；(3)向量a与b不共线，则a与b都是非零向量解析：(1)错误，单位向量也可能平行；(2)错误，两个非零向量平行，则它们所在直线还可能重合；(3)正确，a与b只要有零向量，那么a与b都称为共线向量类型二 向量的几何表示 例2一辆汽车从A出发向西行驶了100 km到达B点，然后改变方向向西偏北50走了200 km到达
6、C点，又改变方向，向东行驶了100 km到达D点(1)作出向量、；(2)求|.解 (1)向量、，如图所示(2)由题意，易知与方向相反，故与共线又|，在四边形ABCD中，AB綊CD，四边形ABCD为平行四边形，|200 km.(1)用向量表示的几何问题，要研究其图形的几何特性，然后作出解答.(2)作向量时，关键是找出向量的起点和终点，如果已知起点，先确定向量的方向，然后根据向量的长度找出终点.变式训练2在如图的方格纸中，画出下列向量(1)|3，点A在点O的正西方向；(2)|3，点B在点O北偏西45方向；(3)求出|的值解：取每个方格的单位长为1，依题意，结合向量的表示可知，(1)(2)的向量如图
7、所示(3)由图知，AOB是等腰直角三角形，所以|3.类型三 相等向量与共线向量 例3在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AD、BC的中点，如图(1)写出与向量共线的向量(2)求证：.分析(1)与共线的向量需具备什么条件？(与的方向相同或相反)(2)必须具备什么条件？(|，二者方向相同)解(1)由满足共线向量的条件得与向量共线的向量有：，.(2)证明：在ABCD中，AD綊BC.又E、F分别为AD、BC的中点，ED綊BF，四边形BFDE是平行四边形，BE綊FD，.(1)共线向量和相等向量有何关系？(共线向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共线向量)(2)如何利用向量相等或共线证明线段相等、平行
8、问题？(证明线段相等，只要证明相应的向量长度(模)相等.证明线段平行，先证明相应的向量共线，再说明线段不共线)变式训练3给出下列命题：(1)两个向量，当且仅当它们的起点相同，终点相同时才相等(2)若，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点(3)在平行四边形ABCD中，一定有.(4)若ab，bc，则ac.(5)若ab，则ab.其中正确命题的序号是(3)(4)(5)解析：两个向量相等只要模相等且方向相同即可，而与起点和终点的位置无关，故(1)不正确.，A，B，C，D四点可能在同一条直线上，故(2)不正确在平行四边形ABCD中，|，与平行且方向相同，故，故(3)正确若ab，则|a|b|，且a与b
9、方向相同若bc，则|b|c|，且b与c方向相同，则a与c长度相等且方向相同，故ac，(4)正确若ab，则a与b的方向一定相同，故ab，(5)正确.1下列命题正确的是(C)A向量与是相等向量B共线的单位向量是相等向量C零向量与任一向量共线D两平行向量所在直线平行2下面几个命题：(1)若ab，则|a|b|.(2)若|a|0，则a0.(3)若|a|b|，则ab.(4)若向量a，b满足则ab.其中正确命题的个数是(B)A0B1 C2D33在ABC中，ABAC，D，E分别是AB，AC的中点，则(B)A.与共线 B.与共线C.与相等 D.与相等4如图所示，已知正方形ABCD的边长为2，O为其中心，则|.5
10、在如图的方格纸(每个小方格的边长为1)上，已知向量a.(1)试以B为起点画一个向量b，使ba.(2)画一个以C为起点的向量c，使|c|2，并说出c的终点的轨迹是什么解：(1)根据相等向量的定义，所作向量b应与a同向，且长度相等，如图所示(2)由平面几何知识可作满足条件的向量c，所有这样的向量c的终点的轨迹是以点C为圆心，2为半径的圆，如图所示本课须掌握的三大问题1向量是既有大小又有方向的量，从其定义看出向量既有代数特征又有几何特征，因此借助于向量，我们可以将某些代数问题转化为几何问题，又将几何问题转化为代数问题，故向量能起数形结合的桥梁作用2共线向量与平行向量是一组等价的概念两个共线向量不一定
11、要在一条直线上当然，同一直线上的向量也是平行向量3注意两个特殊向量零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆学科素养培优精品微课堂向量在平面几何中的应用开讲啦 利用向量可以证明线段相等、多点共线，判断图形的形状(如平行四边形、等腰三角形等)，将平面几何与向量结合在一起，可以使问题更加直观、明了典例如图所示，已知在四边形ABCD中，M，N分别是BC，AD的中点，且，求证：四边形AMCN是平行四边形证明，|，且，四边形ABCD为平行四边形.M，N分别是BC，AD的中点，|，|，|.又.四边形AMCN是平行四边形名师点评若，且点A，B，C，D不共线，则四边形ABCD为平行四边形，利用这一重要结论，可以解决与平行、相等有关的平面几何问题针对训练在四边形ABCD中，若且|，则四边形ABCD的形状是梯形解析：，ABCD，|，ABCD.四边形ABCD为梯形.
