1、6.3.2二项式系数的性质教材要点要点一二项式系数的性质(1)对称性：在(ab)n的展开式中，与_的两个二项式系数相等，即CC，CC，CC.(2)增减性与最大值：当k1，即kC；当时，CC.要点二各二项式系数的和(1)CCCC_(2)CCCCCC_对于2nCCCC，也可以从集合的角度解释设A是含有n个元素的集合，求A的子集个数时，可以按照子集中含有元素的个数进行分类：没有元素的子集(即空集)有C个，含1个元素的子集有C个，含2个元素的子集有C个，含n个元素的子集有C个，故所有子集的个数为CCCC2n.教材答疑教材P31探究n(ab)n展开式的二项式系数111212131331414641515
2、10105161615201561发现如下规律：(1)每一行的第一个和最后一个数都是1；(2)每一行中与这两个1距离相等的项的二项式系数相等；(3)当n2，4，6时，中间一项的二项式系数最大；当n1，3，5时，中间两项的二项式系数相等且最大基础自测1.判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)二项展开式的二项式系数和为CCC.()(2)二项展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同()(3)二项式展开式的偶数项系数和等于奇数项系数和()(4)二项展开式项的系数是先增后减的()2.若(13x)n的展开式中，第3项的二项式系数为6，则第4项的系数为()A4 B27 C36D1083.(1x)2n1
3、的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是()An，n1Bn1，n Cn1，n2Dn2，n34.(2x1)6展开式中各项系数的和为_；各项的二项式系数和为_题型一二项式系数和与各项的系数和的基本问题自主完成1.在的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为()A32 B0C32 D12.在的展开式中，各项系数和与二项式系数和的比值为32，则x2的系数为()A50 B70C90 D1203.如果的展开式中各项系数之和为128，则n的值为_，展开式中的系数为_方法归纳(1)对于(ab)n展开式中，二项式系数的和是CCCC2n.(2)对于(axb)n的式子，求其展开式中的各项系数之
4、和常用赋值法题型二二项展开式中系数和问题师生共研例1已知(12x)7a0a1xa2x2a7x7.(1)求a1a2a7；(2)求a1a3a5a7；(3)求|a0|a1|a7|.解决二项式系数和问题的思维过程如下：方法归纳对于(abx)na0a1xa2x2anxn的展开式，求各项系数和时，可令x1，得a0a1a2an(ab)n.若求奇数项和或偶数项和，可分别令x1和x1，得两式相加减即可求出结果对于形如(ax2bxc)n的式子，求其展开式的各项系数和，只需令x1.对于(axby)n(a，b为常数)的式子，求其展开式的各项系数和，可令xy1.跟踪训练1多项式x3x10a0a1(x1)a9(x1)9a
5、10(x1)10.(1)求a0a1a9a10的值；(2)求a0a1a2a3a9a10的值；(3)求a0.题型三系数最大项问题微点探究微点1二项式系数最大问题例2(1)设m为正整数，(xy)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(xy)2m1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a7b，则m()A5 B6C7 D8(2)若的展开式中没有比第10项的二项式系数更大的项，则第5项为_方法归纳求二项式系数最大的项，要依据二项式系数的性质对(ab)n中的n进行讨论当n是偶数时，展开式的中间一项的二项式系数Cn最大；当n是奇数时，展开式的中间两项的二项式系数Cn，Cn最大微点2展开式系数最大问题例3在的展开
6、式中，(1)求系数最大的项；(2)求系数最小的项方法归纳由于展开式中各项的系数是离散型变量，因此，(1)在系数符号相同的前提下，求系数的最大(小)值只需比较两组相邻两项系数的大小，根据通项正确地列出不等式组即可(2)当各项系数正负相间时，求系数的最大值应在系数都为正的各项系数间构造不等式组(如例(1)方法一)；求系数的最小值应在系数都为负的各项系数间构造不等式组(如例(2)方法一).跟踪训练2已知(3x2)n的展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项易错辨析错用二项式系数的性质例4(12x)20的展开式中，x的奇次项系数
7、的和与x的偶次项系数的和各是多少？解析：设x的奇次项系数的和为A，x的偶次项系数的和为B，则令x1，得AB320，令x1，得BA1，2B3201，B，A.即奇次项系数的和为，偶次项系数的和为.【易错警示】易错原因求解本题，容易出现下列两种错误错解一二项展开式中奇次项系数的和与偶次项系数的和相同，奇次项系数的和与偶次项系数的和均为219.错解二由二项展开式知x的奇次项系数的和为C2C23C25C219，x的偶次项系数的和为CC22C24C220.错解一是将系数和与二项式系数和混淆了；错解二解法欠妥，很难求出数值其原因在于没把握住求系数和的根本方法纠错心得对于求系数和的问题，要注意用赋值法解决奇、
8、偶次项是针对x的指数而言，奇、偶数项是针对第几项而言63.2二项式系数的性质新知初探课前预习要点一(1)首末两端“等距离”(2)增大减小CnCn要点二(1)2n(2)2n1基础自测1(1)(2)(3)(4)2解析：Tk1C(3x)k由C6，得n4.T4C(3x)3，故第4项的系数为C33108，故选D.答案：D3解析：因为2n1是奇数，所以中间两项，即第n1，n2项二项式系数最大故选C.答案：C4解析：令展开式左、右两边x1，得各项系数和为1；各二项式系数之和为2664.答案：164题型探究课堂解透题型一1解析：由题意知2n32，得n5.令x1，可得展开式中各项系数的和为(3121)532.故
9、选C.答案：C2解析：令x1，得各项系数和为4n，又二项式系数和为2n，所以由题意知2n32，得n5，二项展开式的通项为Tk1Cx5kC3kx5k，令5k2，得k2，所以x2的系数为C3290，故选C.答案：C3解析：令x1，得展开式的各项系数之和为2n，所以2n128，解得n7，所以展开式的通项为(1)k37kCx7，令7k3，解得k6.所以展开式中的系数是3C21.答案：721题型二例1解析：(1)当x1时，等号左边为(12)71，等号右边为a0a1a2a7，a0a1a2a71.当x0时，a01.a1a2a7112.(2)令x1，得a0a1a2a71，令x1，得a0a1a2a3a4a5a6
10、a737，得2(a1a3a5a7)137，a1a3a5a71 094.(3)由展开式，知a1，a3，a5，a7均为负数，a0，a2，a4，a6均为正数，|a0|a1|a7|a0a1a2a3a4a5a6a7.由(2)可知，a0a1a2a3a4a5a6a737，|a0|a1|a7|372 187.跟踪训练1解析：(1)令x11，即x0，得0a0a11a919a10110，即a0a1a9a100.(2)令x11，即x2，得(2)3(2)10a0a1a2a3a9a10，即a0a1a2a3a9a101 016.(3)令x10，即x1，得a00.题型三例2解析：(1)根据二项式系数的性质，知(xy)2m的
11、展开式中二项式系数的最大值为Ca，而(xy)2m1的展开式中二项式系数的最大值为Cb.又13a7b，所以13C7C，则137，解得m6.故选B.(2)依题意，当n为偶数时，只有第10项的二项式系数最大，即110，则n18，此时T5C()1843 060x4.当n为奇数时，第10，11项的二项式系数最大或第9，10项的二项式系数最大，即10或9，解得n19或n17.当n19时，T5C()1943 876x；当n17时，T5C()1742 380x.综上，当n18时，第5项为3 060x4；当n19时，第5项为3 876x；当n17时，第5项为2 380x.答案：(1)B(2)2 380x或3 8
12、76x或3 060x4例3解析：(1)方法一由于展开式中各项的系数正负相间，因此系数最大的项必是奇数项设展开式中第k1(k为偶数)项的系数最大，则解得k，则k6，故展开式中系数最大的项为T7C26x111 792x11.方法二由(1)知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，而第6项的系数为负，第7项的系数为正，故系数最大的项为T7C26x111 792x11.(2)方法一由于展开式中各项的系数正负相间，因此系数最小的项必是偶数项设展开式中第k1(k为奇数)项的系数最小，则解得k，则k5，故展开式中系数最小的项为T6(1)5C25x1 792x.方法二由(1)知展开式中的第6项和第7项系数
13、的绝对值最大，且第6项的系数为负，第7项的系数为正，故系数最小的项为T6(1)5C25x1 792x.跟踪训练2解析：令x1，则展开式中各项系数的和为(13)n4n，展开式中各项的二项式系数之和为2n.由题意，知4n2n992，(2n)22n9920，(2n31)(2n32)0，2n31(舍去)或2n32，n5.(1)5为奇数，展开式中中间两项的二项式系数最大，它们分别为T3C(x)3(3x2)290x6，T4C(x)2(3x2)3270x.(2)(3x2)5的展开式的通项为Tk1C3kx(52k)，假设Tk1项系数最大，则即k，kN*，k4，展开式中系数最大的项为T534Cx(524)405x.
