1、上海市莘庄中学2019-2020学年高一数学下学期4月月考试题（含解析）（时间：120分钟满分：150分）一.填空题（本大题共12题，满分54分，第16题每题4分，第712题每题5分）1.终边在轴负半轴上的角的集合为_.【答案】【解析】【分析】先找到一个终边在轴负半轴上的角，然后再加上周期用集合表示即可【详解】终边在轴负半轴上的一个角为，因此终边在轴负半轴上的角的集合为，故答案为：【点睛】本题考查终边相同角的表示，掌握终边相同角的概念是解题基础2.已知扇形的圆心角为60，所在圆的半径为，则扇形的面积是_【答案】【解析】试题分析：由扇形的面积公式，得该扇形的面积为；故填考点：扇形的面积公式3.若
2、角的终边经过点，且，则实数_【答案】.【解析】【分析】根据三角函数的定义，利用列方程，解方程求得的值.【详解】根据三角函数的定义，有，解得.【点睛】本小题主要考查三角函数的定义，考查运算求解能力，属于基础题.4.化简：=_【答案】【解析】【分析】利用诱导公式化简即可.【详解】，故答案为.【点睛】本题考查三角函数的诱导公式，是基础题.5.在中，若，则 【答案】【解析】试题分析：由正弦定理得考点：正弦定理的应用6.若,且,则_.【答案】3【解析】【分析】化简得到，计算在一三象限，根据二倍角公式计算得到答案.【详解】，故，故故，在一三象限, ，解得，或（舍去）故答案为：【点睛】本题考查了同角三角函数
3、关系，二倍角公式，没有排除多余解是容易犯的错误.7.在ABC中，面积为12，则=_【答案】【解析】【分析】利用面积公式即可求出sinC使用二倍角公式求出cos2C【详解】由题意，在中，面积为12，则，解得故答案为【点睛】本题考查了三角形的面积公式，二倍角公式在解三角形中的应用，其中解答中应用三角形的面积公式和余弦的倍角公式，合理余运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题8.已知，则_.【答案】【解析】【分析】把已知式平方求出，然后由平方关系求得【详解】，又，故答案为：【点睛】本题考查同角间的三角函数关系，考查正弦的二倍角公式，在应用平方关系求值时要注意确定角的范围9.已知，则_.
4、【答案】【解析】【分析】根据已知条件求得的值，利用诱导公式和二倍角公式，求得的值.【详解】依题意，故.故答案为【点睛】本小题主要考查两角差的余弦公式、诱导公式和二倍角公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.10.等腰直角三角形中，点、是直角边BC的三等分点，则_.【答案】【解析】【分析】由两角差的正切公式计算【详解】点、是直角边BC的三等分点，故答案为：【点睛】本题考查两角差的正切公式，属于基础题11.某班在东方绿洲军训时设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为，顶角为的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，则该八边形的面积的最大值为_.【答案】【解析】【分析】由八边形求出的范
5、围，把八边形面积用表示后由三角函数性质求得最大值【详解】由题意图中正方形边长为，八边形面积为，又由题意，时，故答案为：【点睛】本题考查三角函数应用，解题时用已知角表示出八边形面积，由三角函数恒等变换化函数为一个角的一个三角函数函数形式，然后由正弦函数性质得最大值本题中注意由八边形条件求出的范围12.在中，所对边分别为、.若，且，则面积的最大值为_.【答案】【解析】【分析】切化弦后化简应用两角和的正弦公式，并用诱导公式后由正弦定理进行边角转换可求得【详解】由题意，当且仅当时取等号，即的最大值是故答案为：【点睛】本题考查同角间三角函数关系，考查两角和的正弦公式、诱导公式，考查正弦定理，三角形面积公
6、式，考查基本不等式求最值解题中切化弦，正弦定理进行边角转换是三角函数中的常用方法二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13.若角的终边经过，则下列值不存在的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据三角函数定义判断【详解】角的终边过点，由，知题中不存在故选：C【点睛】本题考查三角函数的定义，属于基础题14.在中，若，则的形状一定是（ ）A. 等边三角形B. 不含60的等腰三角形C. 直角三角形D. 钝角三角形【答案】C【解析】【分析】结合三角形的性质，对等式进行恒等变换，可以得到，进而求出角是直角，即可选出答案详解】由题意知，所以题中等式可转化为：，即，则，故，所以
7、角为直角，即的形状一定是直角三角形故答案C.【点睛】本题考查了三角形的性质，及三角恒等变换，属于基础题15.已知是第二象限角，且，那么值是（ ）A. 1B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】可先确定所在象限，求出，然后化简求值式后可求值【详解】是第二象限角，即，在第一、三象限，又，是第三象限角，故选：C【点睛】本题考查象限角的三角函数符号，考查同角间的三角函数关系，解题关键是确定角所在象限，从而可确定函数值的符号16.设，.若对任意实数x都有，则满足条件的有序实数对（a,b）的对数为（ ）.A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】试题分析：，又，注意到，只有这两组故选B【考点】
8、三角函数【名师点睛】本题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式，利用分类讨论的方法，确定得到的可能取值.本题主要考查考生的逻辑思维能力、基本运算求解能力、数形结合思想、分类讨论思想等.三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17.解方程：（1）（2）；【答案】（1）x=2（2）x=2【解析】【分析】（1）把作为一个整体求解指数方程；（2）化为同底对数后由对数运算法则化方程为形式后再求解【详解】（1）原方程要化为，即，（2）原方程可化为，即，即，经检验是增根，原方程解为【点睛】本题考查解指数方程和对数方程，解题时要注意指数函数中，对数函数中对数的真数大于018.已
9、知（1）求的值；（2）若是方程的两个根，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由商数关系弦化切后可求得；（2）由韦达定理可用表示出，再求出后，只要再由求得，从而可得解【详解】（1），解得；（2）由题意，又，【点睛】本题考查同角间的三角函数关系，掌握弦切互化是解题关键19.如图，单位圆（半径为1的圆）的圆心为坐标原点，以轴为始边的两个锐角，它们的终边分别交单位圆于两点，且.（1）求的值；（2）若A点横坐标为，求点的坐标.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由余弦定理可求得；（2）由点坐标求得，由两角和的余弦公式求出，从而可得点坐标【详解】（1）由题意，（2）由题意，设，则，点
10、坐标为【点睛】本题考查余弦定理，考查三角函数的定义以及两角和的余弦公式，本题关键就是掌握三角函数定义20.在中，内角、对边的边长分别是、，的面积为（1）若，求；（2）若，求角；（3）若，求、.【答案】（1）a+b=4（2）（3）【解析】【分析】（1）由余弦定理和三角形面积公式分别得出的关系式后可求得；（2）由正弦定理化边为角，然后切化弦后利用两角和的余弦公式化简已知式可求得，从而得角；（3）结合三角形内角和求得，从而有，然后对已知式应用三角函数恒等变换可得，从而得后可求得值【详解】（1）在中，又，（2），由正弦定理得，；（3），由得，是的内角，又，【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理和三角形面积
11、公式，考查两角和的余弦公式，二倍角公式，和差化积公式等，涉及到的三角公式较多，应熟练掌握，灵活运用21.如图，游客从某旅游景区的景点处下上至处有两种路径一种是从沿直线步行到，另一种是先从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到现有甲、乙两位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为在甲出发后，乙从乘缆车到，在处停留后，再从匀速步行到，假设缆车匀速直线运动的速度为，山路长为1260，经测量，（1）求索道的长；（2）问：乙出发多少后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在处互相等待的时间不超过，乙步行的速度应控制在什么范围内？【答案】（1）m （2）（3）（单位：m/min）【解析】【详解】（1）在中，
12、因为，所以，从而由正弦定理，得（）（2）假设乙出发后，甲、乙两游客距离为，此时，甲行走了，乙距离处，所以由余弦定理得，由于，即，故当时，甲、乙两游客距离最短（3）由正弦定理，得（）乙从出发时，甲已走了（），还需走710才能到达设乙步行的速度为，由题意得，解得，所以为使两位游客在处互相等待的时间不超过，乙步行的速度应控制在（单位：）范围内考点：正弦、余弦定理在实际问题中的应用.【方法点睛】本题主要考查了正弦、余弦定理在实际问题中的应用，考查了考生分析问题和利用所学知识解决问题的能力，属于中档题.解答应用问题，首先要读懂题意，设出变量建立题目中的各个量与变量的关系，建立函数关系和不等关系求解.本题解得时，利用正余弦定理建立各边长的关系，通过二次函数和解不等式求解，充分体现了数学在实际问题中的应用.
