1、5.5 三角恒等变换5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 (第1课时)复习导入 前面我们学习了诱导公式，利用它们对三角函数进行恒等变形，可以达到化简、求值或证明的目的.这种利用公式对三角函数式进行的恒等变形就是三角恒等变换.观察诱导公式，可以发现它们都是特殊角与任意角的和(或差)的三角函数与任意角，那么任意角与的和(或差)的三角函数与，的三角函数会有什么关系呢？下面来研究这个问题.新知探索 思考1：如果已知任意角，的正弦、余弦，能由此推出 +，的正弦、余弦吗？下面，我们来探究()与角，的正弦、余弦之间的关系.不妨令 2+,.如图，设单位圆与轴的正半轴相交于点(1,0)，以轴非负半轴为始
2、边作角，它们的终边分别与单位圆相交于点1(，)，1(，)，()，().新知探索 思考1：如果已知任意角，的正弦、余弦，能由此推出 +，的正弦、余弦吗？下面，我们来探究()与角，的正弦、余弦之间的关系.不妨令 2+,.如图，设单位圆与轴的正半轴相交于点(1,0)，以轴非负半轴为始边作角，它们的终边分别与单位圆相交于点1(，)，1(，)，()，().(1,0)1 1 终边 终边 终边 新知探索 连接11，.若把扇形绕着点旋转角，则点，分别与点1，1重合.根据圆的旋转对称性可知，与11 重合，从而=11，所以=1 1.注：1(,),1(,),(),().根据两点间的距离公式，得：|=()12+2()
3、=2 2()|11|=()2+()2=2 2 2 化简得：()=+.新知探索 当=2+()时，容易证明上式仍然成立.所以，对于任意角，有 ()此公式给出了任意角，的正弦、余弦与其差角 的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，简记为().()=+.例析 例1.利用公式()证明.(1)(2 )=;(2)()=.证明：(1)(2 )=2 +2 =0+1 =(2)()=+=(1)+0 =()=+.例析 例2.已知=45,(2,),=513,是第三象限角，求()的值.解：由=45，(2,)，得：=1 2=1 (45)2=35.又由=513，是第三象限角，得：=1 2=1 (513)2=1213.所以()=
4、+=(35)(513)+45 (1213)=3365.新知探索 思考2：由公式()出发，你能推导出两角和与差的三角函数的其他公式吗？下面以公式()为基础来推导其他公式.例如，比较()与(+)，并注意到+与 之间的联系：+=()，则由公式()，有(+)=()=()+()=.于是得到了两角和的余弦公式，简记作(+).(+)=.(+)新知探索 思考3：上面得到了两角和与差的余弦公式.我们知道，用诱导公式五(或六)可以实现正弦、余弦的互化.你能根据(+)，()及诱导公式五(或六)，推导出用任意角，的正弦、余弦表示(+)，()的公式吗？(+)=2 (+)=(2 )=(2 )+(2 )=+.于是得到了两角
5、和的正弦公式，简记作(+).(+)=+.(+)新知探索()=2 ()=(2 )+)=(2 )(2 )=.于是得到了两角和的正弦公式，简记作().()=.()思考4：你能根据正切函数与正弦函数、余弦函数的关系，从()，()出发，推导出用任意角，的正切表示(+)，()的公式吗？新知探索 因为(+)=(+)(+)，所以有：(+)=(+)(+)=+(同除以“”)=+=+.于是得到了两角和的正切公式，简记作(+).(+)=+.(+)新知探索 因为()=()()，所以有：()=()()=+(同除以“”)=+=+.于是得到了两角和的正切公式，简记作(+).()=+.()新知探索()=.()()=.()()=
6、.()公式(+)，(+)，(+)给出了任意角，的三角函数值与其和角+的三角函数值之间的关系.为方便起见，我们把这三个公式都叫做和角公式.类似地，()，()，()都叫做差角公式.新知探索 辨析1：判断正误.(1)对于任意实数,，()=都不成立.()(2)两角和与差的正弦、余弦公式中的角,是任意的.()(3)对任意,，(+)=+1 都成立.()答案：，.辨析2：(1)若 =，=，则()=_.(2)设角的终边过点(2,3)，则(4)=_.答案：(1)+；(2)15.例析 例3.已知 =35，是第四象限角，求(4 )，(4+)，(4)的值.解：由 =35，是第四象限角，得：=1 2=1 (35)2=4
7、5，所以 =3545=34.于是有(4 )=4 4 =22 45 22 (35)=7 210;例析 例3.已知 =35，是第四象限角，求(4 )，(4+)，(4)的值.解：(4+)=4 4 =22 45 22 (35)=7 210;(4)=41+4=3411+34=7414=7.思考5：由以上解答可以看到，在本题条件下有(4 )=(4+).那么对于任意角，此等式成立吗？若成立，你会用几种方法予以证明？若+=2(即角，互余)，则 =.证明：因为+=2，所以 =(2 )=.例析 例4.利用和(差)角公式计算下列各式的值：(1)7242 7242；(2)2070 2070；解：(1)由公式()，得：
8、7242 7242=(72 42)=30=12.(2)由公式(+)，得：2070 2070=(20+70)=90=0.例析 例4.利用和(差)角公式计算下列各式的值：(3)+.解：(3)由公式(+)及 45=1，得：1+151 15=45+151 45 15=(45+15)=60=3.练习 例1.求下列各式的值：(1)15105+15105；(2)718 29 9 29；解：(1)原式=(105 15)=90=0.(2)718=(2 9)=9，718 29 9 29=9 29 9 29=(9+29)=3=12.题型一：给角求值 练习 例1.求下列各式的值：(3)(+27)(18 )(63 )(
9、18)；(4)17+28+1728.解：(3)(63 )=90 (+27)=(+27)原式=(+27)(18 )(63 )(18)=(+27)+(18 )=45=22.(4)(17+28)=17+2811728，17+28=(17+28)(1 1728)=1 1728 原式=1 1728+1728=1.练习 变1.(1)512 6+12 6的值是().A.0 B.12 C.22 D.32 答案：C.解：512=12，原式=12 6+12 6=(12+6)=4=22.变1.(2)若是第二象限角且=513，则(+60)=_.答案：+解：是第二象限角且=513，=1 2=1213.(+60)=12
10、32 =12 (1213)32 513=+.练习 例2.已知，(0,2)，且 =45，(+)=1665，则=_.答案：204325 解：，(0,2)，且 =45，=1 2=35，可得：+(0,)，又(+)=1665，可得：(+)=1 2(+)=6365，=(+)=(+)+(+)=(1665)35+6365 45=204325.题型二：给值(式)求值问题 练习 变2.已知，是锐角，且 =4 37，(+)=1114，求的值.解：是锐角，0，=1 2=1 (4 37)2=17.又是锐角，0 +0(+)=1 2(+)=1 (1114)2=5 314，=(+)=(+)(+)=5 314 17 (1114
11、)4 37=32.练习 例3.已知，是锐角，且 =2 55，=1010，求 的值.解：，是锐角，且 =2 55，=1010，=1 2=1 (2 55)2=55，=1 2=1 (1010)2=3 1010.()=+=2 55 1010+55 3 1010=22.0 2，0 2，2 ，则2 0 =4.题型三：给值(式)求角问题 练习 变3.已知 (0,2)，(2,0)，且()=35，=210，求.解：(0,2)，(2,0)，(0,)，()=35，=210，()=45，=7 210，=()+=()()=35 7 210 45 (210)=22 ，即=4.课堂小结&作业 课堂小结：(1)理解记忆两角和与差的正弦、余弦和正切公式；(2)了解两角和与差的正弦、余弦和正切公式的推导过程.作业：(1)整理本节课的题型；(2)课本P217的练习15题；(3)课本P220的练习15题.
