1、高二数学同步辅导教材（第28讲）主讲: 孙福明(江苏省常州高级中学 一级教师)一、本讲进度 第九章 直线、平面、简单几何体 9 5 空间向量及其运算二、主要内容1、 空间向量的概念及其运算性质；2、 利用空间向量的运算性质解决立体几何的证明与计算问题。三、学习指导1、 空间向量的概念及运算与平面向量一样，在空间，具有大小和方向的量叫做向量。向量的表示法：图形表示法。用有向线段表示；符号表示法（字母表示法）；如向量，向量。向量的特征：只与长度与方向有关，与有向线段的起点无关，即在空间，我们只研究自由向量。由于空间任意两个向量之间的加法、减法与数乘运算的法则完全与平面向量相同，如加法与减法的三角形
2、法则：+=，=-，在此基础上可推导出多边形法则：+=。三角形法则是向量运算的基础，通过加法可以合并向量，起消元的作用。通过减法可以分解为若干基本向量，体现化归的思想。向量的加法、减法、数乘的运算性质： （1）加法交换律：+=+ （2）加法结合律：(+)+=+(+) （3）数乘分配律：（+）=+2、 共线向量与共面向量的比较共线向量（平行向量）共面向量定 义表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合平行于同一平面的向量符 号几何位置平行或重合平行或在平面内定 理() =实数唯一存在，不共线，与，共面=x+y实数x，y唯一存在向量参数表示式=+ t（a为非零方向向量）=(1-t)+ t tR=x
3、+y=+x+y xR，yR 3、空间向量基本定理：如果三个向量，不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序数组x，y，z，使=x+y+z。用集合表示为：所有空间向量组成的集合是|= x+y+z，x，y，zR，不共面其中，叫基向量，是空间一个基底，实数x，y，z唯一存在。推论：O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使：=x+y+z利用空间向量基本定理，可以将空间任一向量表示为不共面的三个向量的线性组合。从而把向量之间的运算转化为基底的运算，体现了化归和消元的思想。4、空间两个向量的数量积与平面向量类似。5、用向量解几何问题的一般方法是；找适当基底
4、（通常找同一顶点出发的若干向量）；用基底表示基向量；通过向量的计算解决几何问题，如长度用模、夹角用数量积。四、典型例题例1、 空间四边形ABCD中，E为AD中点，F为B台点，求证：（+）。解题思路分析：法一：利用多边形法则，找出与有关向量的等量关系，再对相关向量进行变换，达到题目要求。例如：=+，=+ 2=+ E，F分别为AD，BC中点与为相反向量，+=同理，+= 2=+，（+）法二：构造基本三角形，利用加法定理例如：取AC中点G，则EGDC，FGAB，=+=+=（+）法三：选择适当基底，把问题中的向量转化为基底之间的关系或运算例如：选基底，则，=（+） =-=（+-） =（+）说明：基底的选
5、法是不唯一的。本题选从同一顶点出发的三条有向线段作为基底是选基底的最常用方法。还有一种常用选法是在空 间任取一点O，以从点O出发的三条不共面的向量为基底。例2、已知向量，中选哪一个向量，一定可以与向量=+，=-，构成空间的另一个基底？解题思路分析：由空间向量基本定理可知，空间任意不共面的三个向量都可以构成空间的一个基底 +， -与，构成平行四边形 +， -， ，一定共面 与不能与+，-构成基底 与+，-可以构成空间的一个基底例3、平行六面体ABCDA1B1C1D1中，=，=，=，M，N，P，Q分别是A1D1，CC1，BC，A1D的中点，用基底，表示以下向量： （1） （2） （3）解题思路分析
6、：利用多边形法则，或构造若干个相关的三角形 （1）=+=+ =+或者： =+=+ （2）=（）-） =-） =）=- （3）（） = =+-=+说明：用基向量的线性组合去表示相关向量，是用向量知识研究几何问题的基础。在寻找线性组合的过程中，主要是以向量为边构造三角形或多边形（包括平行四边形）。若M为中点，则（）是经常用到的重要公式。例4、四面体ABCD中，ABCD，ACBD，求证：ADBC。解题思路分析：首先将几何语言“翻译”为向量语言，即已知=0，=0，求证：=0其次，选择适当的基底，沟通已知向量与未知向量之间的关系例如：途径一：选基底，设=，则：=-，-，- （-）=0 -=0 （-）=0
7、-=0 -得：-=0 （-）=0 ADBC途径二：任取空间一点O，其基底，设，则=-，-=-再设则-，-，- （-）（-）=0 -+=0 -+=0 -得： -+-=0 (-）-(-）=0（-）（-）=0 =0 CBAD说明：由上述两种选基底的方法可知，由于基底的选择不同，向量运算的简繁程度也有所差异，因此，应学会选择适当的基底。例5、P是正方形ABCD所在平面外一点，PA=PB=PC=PD=AB=m，若M，N分别在PA、BD上，且（1） 求证：MN平面PBC（2） 求证：MNAD（3） 求MN与PC所成角的大小解题思路分析： （1）根据共面向量定理，只需证明可以表示为、中任两个向量的线性组合，
8、为此，必须选基底，再利用三角形法则，利用基底找到上述向量之间的线性关系。取基底，设，=，则，-，- +-2 +(+) （+）=+ 与，共面 平面PBC MN平面PBC （2）只需证，- （+）（-）=（-）=（|-）=0 ，MNAD（4） 利用数量积公式的变形 =| cos cos=（）/（|） (+)2=(+2) =|cos=m2cos (m2+m2+m2)= |=又 （+）=（+） = cos=（）/（|）= 0， =300 MN与PC成300角说明：由本例可以看出，用向量解决几何问题，重在问题运算，降低了对空间图形抽象思维的要求，显得简单，易于上手。例6、PA平面ABCD，ABCD为矩形
9、，PA=AD，M、N分别是PC、AB中点，求证：MN平面PCD。解题思路分析：只需证与、中任意两个向量的数量积等于0选基底，设，则=+， （+）=（+） -（+）=- PA平面ABCD PAAB，PAAD =0，=0又ABAD =0 （-）（-）=+=0 -（+）（-）=-(-)=-(|-)=0 MNCD，MNPD又MCDPD=D MN平面PCD说明：通过上述两例可以知道，三角形法则或多边形法则是向量运算的基础，因为用基底正确表示出相关向量是解决问题的关键一步。同步练习 （一）选择题1、 对空间任意两个向量，（），的充要条件是A、= B、= C、= D、=-2、 下列命题正确的是A、 如果向量
10、，与任何向量不能构成空间的基底，那么，不共线 B、如果，是三个基向量，那么+，+，+，不能构成空间的一个基底 C、若，不构成空间的一个基底，那么O，A，B，C四点共面D、空间中的基底只有有限个3、在空间四边形ABCD中，M，G分别是BC，CD的中点，则(+)等于A、 B、 C、 D、4、已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都是a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，那么下列运算结果为正值的是A、 B、 C、 D、（二） 填空题 5、如果两个向量，不共线，则与，共面的充要条件是_。 6、平行六面体ABCDA1B1C1D1中，+=_ 。7、在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AB=4
11、，AD=3，AA1=5，BAD=900，BAA1=DAA1=600，则A1C等于_。8、已知G为ABC的重心，O为空间任意一点，则用，表示为_。9、正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是上底面A1B1C1D1和侧面CDD1C1的中心，如果+x+y，则x=_，y=_。10、空间四边形OABC，点M，N分别是OA，OB的中点，设=，则用，表示的结果是_。（三） 解答题11、平行六面体ABCDA1B1C1D1中，P，M，N分别是CA1，CD1，C1D1的中点，点Q在CA1上，CQQA1=41，试用基底，表示以下向量：，。12、已知空间四边形OABC，OA=OB，CA=CB，E，F，G，H分别
12、是OA，OB，CB，CA的中点，求证：EFGH是矩形。13、空间四边形OABC的各边及对角线长都是1，D，E分别是OA，BC的中点（1） 求证：DE是OA，BC的公垂线；（2） 求OA与BC间的距离。14、四面体ABCD中，AB=CD，BC=AD，P、Q分别为AC、BD的中点，求证：PQAC，PQBD。15、O、G分别为四面体ABCD的外接球球心和重心，求证：OG2=R2-(AB2+AC2+AD2+BC2+CD2+BD2)，其中R为外接球半径。参考答案 （一）选择题1、B 2、C 3、C 4、D （二）填空题5、=m+n，m、nR6、7、8、=(+)9、，10、(+-) （三）解答题11、=(
13、+)=(+)=(+) ()=(2+)=+ ()=(+)+(+)=+ ()=+12、取基底，设， 则=(-) =()=(-)-(-)=(-) ，EFGH为平行四边形取AB中点M，连OM，CM则OMAB，CMAB =0，=0 （+）=0 =0 (-)=0 (-)=0 ，EFEH EFGH为矩形13、（1）(+) BDAO DCOA ()(+) DEOA同理，DEBC DE是OA与BC的公垂线 （2） =(+-) (+-) =+2-2= |= OA与BC间的距离为14、设=，=， AB=CD(+)2=(-+-)2 -+=0 AD=BC (+)2=(-+-)2 + 由得：=0， =0， PQAC，PQBD15、连AG延长平面BCD于G，则G1为BCD重心连BG1延长交CD于M =() =(+) () (+)2 =(4R2+2+2+2+2+2 2） =16R2-()2-()2-(-)2-()2- ()2-()2 =R2-(+) OG2=R2-(AB2+AC2+AD2+BC2+CD2+BD2)
