1、10.8独立事件与二项分布及其应用1条件概率及其性质(1)一般地，设A，B为两个事件，且P(A)0，称_为事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率P(B|A)读作_在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的个数，则P(B|A)_(2)条件概率具有的性质：_；如果B和C是两个互斥事件，则P(BC|A)_.2相互独立事件(1)对于事件A，B，若事件A的发生不会影响事件B发生的概率，则称_(2)若A与B相互独立，则P(B|A)_，P(AB)_.(3)若A与B相互独立，则_，_，_也都相互独立(4)若P(AB)P(A)P(B)，则_3独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复
2、进行的、各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生、要么不发生，且任何一次试验中事件发生的概率都是一样的在相同条件下重复做的n次试验称为_，若Ai(i1，2，n)是第i次试验的结果，则P(A1A2An)_.(2)在n次独立重复试验中，事件A发生k次的概率为(每次试验中事件A发生的概率为p)_ _，事件A发生的次数是一个随机变量X，其分布列为_(k0，1，2，n)，此时称随机变量X服从_，记为_自查自纠1(1)P(B|A)A发生的条件下B发生的概率(2)0P(B|A)1P(B|A)P(C|A)2(1)事件A与事件B相互独立(2)P(B)P(A)P(B)(3)与与B
3、A与(4)A，B相互独立3(1)n次独立重复试验P(A1)P(A2)P(An)(2)Cpk(1p)nkP(Xk)Cpk(1p)nk二项分布XB(n，p) 将一枚硬币连续抛掷5次，正面向上的次数为X，则()AXB(5，0.5) BXB(0.5，5)CXB(2，0.5) DXB(5，1)解：由二项分布的概念知A正确，故选A. 某人投篮命中率为，该人现投篮3次，各次投篮互不影响，则他恰好投中2次的概率为()A. B. C. D.解：所求概率为C.故选C. ()甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为，则甲以31的比分获胜的概率为()A.
4、 B. C. D.解：第四局甲第三次获胜，并且前三局甲获胜两次，所以所求的概率为PC.故选A. ()已知某高三学生在2015年的高考数学考试中，A和B两道解答题同时做对的概率为，在A题做对的情况下，B题也做对的概率为，则A题做对的概率为_解：做对A题记为事件E，做对B题记为事件F，根据题意知P(EF)，又P(F|E)，则P(E)，即A题做对的概率为.故填. ()已知随机变量X服从二项分布B(n，p)，若E(X)30，D(X)20，则p_解：依题意可得E(X)np30且D(X)np(1p)20，解得p，故填.类型一条件概率甲袋中有2个白球和4个红球，乙袋中有1个白球和2个红球现在随机地从甲袋中取
5、出一球放入乙袋，然后从乙袋中随机地取出一球，则取出的球是白球的概率是_解：设A表示事件“从甲袋放入乙袋中的球是白球”，B表示事件“最后从乙袋中取出的球是白球”P(A)，P()，P(B|A)，P(B|).P(B)P(AB)P(B)P(A)P(B|A)P()P(B|).故填.【点拨】由于不知从甲袋中取出又放入乙袋中的球是白球还是红球，为此，分别计算从甲袋中取出的是白球或红球的条件概率在计算P(B)P(A)P(B|A)P()P(B|)时，易忘掉P()P(B|)，要注意分类的全面性()从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A取到的2个数之和为偶数，事件B取到的2个数均为偶数，则P(B|A)等于(
6、)A. B. C. D.解：P(A)，P(AB)，由条件概率计算公式，得P(B|A).故选B.类型二相互独立事件同时发生的概率甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是0.8，且两人击中与否相互之间没有影响，计算：(1)两人都击中目标的概率；(2)两人中恰有一人击中目标的概率；(3)至少有一人击中目标的概率解：记“甲射击一次，击中目标”为事件A，“乙射击一次，击中目标”为事件B.则“两人都击中目标”是事件AB；“恰有1人击中目标”是A或B；“至少有1人击中目标”是AB或A 或B.(1)显然，“两人各射击一次，都击中目标”就是事件AB，又由于事件A与B相互独立，P(AB)P(A)P(B
7、)0.80.80.64.(2)“两人各射击一次，恰有一次击中目标”包括两种情况：一种是甲击中，乙未击中(即A)，另一种是甲未击中，乙击中(即B)根据题意，这两种情况在各射击一次时不可能同时发生，即事件A与B是互斥的，所以所求概率为P2P(A)P(B)P(A)P()P()P(B)0.8(10.8)(10.8)0.80.160.160.32.(3)解法一：“两人各射击一次，至少有一人击中目标”的概率为P3P(AB)P(A)P(B)0.640.320.96.解法二：“两人都未击中目标”的概率是P()P()P()(10.8)(10.8)0.20.20.04.至少有一人击中目标的概率为P31P()10.
8、040.96.【点拨】求(1)用独立事件乘法公式计算相互独立事件同时发生的概率；第(3)问“至少一人击中目标”的对立事件是“两人都未击中”，其概率计算简单些，故通常用解法二()甲、乙、丙三人参加某次招聘会，假设甲能被聘用的概率是，甲、 丙两人同时不能被聘用的概率是，乙、丙两人同时能被聘用的概率是，且三人各自能否被聘用相互独立(1)求乙、丙两人各自被聘用的概率；(2)设为甲、乙、丙三人中能被聘用的人数与不能被聘用的人数之差的绝对值，求的分布列与均值(数学期望)解：(1)设乙、丙两人各自被聘用的概率分别为P1，P2，则甲、丙两人同时不能被聘用的概率是(1P2)， 解得P2，乙、丙两人同时能被聘用的
9、概率为P1P2，P1，因此乙、丙 两人各自被聘用的概率分别为，.(2)的可能取值为1，3，P(3) ，则P(1)1P(3).因此随机变量的分布列如表所示13P所以随机变量的均值E()13.类型三独立重复试验与二项分布甲、乙两队参加知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，且各人回答正确与否相互之间没有影响用X表示甲队的总得分(1)求随机变量X的分布列和均值；(2)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB)解：(1)解法一：由题意知，X的可能取值
10、为0，1，2，3，且P(X0)C，P(X1)C，P(X2)C，P(X3)C.所以X的分布列为X0123PX的均值E(X)01232.解法二：根据题设可知XB，因此X的分布列为P(Xk)CC，k0，1，2，3.因为XB，所以E(X)32.(2)用C表示“甲队得2分乙队得1分”这一事件，用D表示“甲队得3分乙队得0分”这一事件，所以ABCD，且C，D互斥，P(C)().P(D)，由互斥事件的概率公式得P(AB)P(C)P(D).【点拨】判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：试验是否为n次独立重复试验；随机变量是否为这n次独立重复试验中某事件发生的次数()某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金
11、额的商品后即可抽奖每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望解：(1)记事件A1从甲箱中摸出的1个球是红球，A2从乙箱中摸出的1个球是红球，B1顾客抽奖1次获一等奖，B2顾客抽奖1次获二等奖，C顾客抽奖1次能获奖由题意，A1与A2相互独立，A12与1A2互斥，B1与B2互斥，且B1A1A2，B2A121A2，CB1B2.P(A1)，
12、P(A2)，P(B1)P (A1A2)P (A1)P (A2)，P(B2)P(A121A2)P(A12)P(1A2)P(A1)P(2)P(1)P(A2)P(A1)(1 P (A2)(1 P(A1) P (A2)，故所求概率为P(C) P (B1B2)P(B1) P(B2).(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验，由(1)知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为，所以XB.于是 P(X0)C03，P(X1)C12，P(X2)C21， P(X3)C30.故X的分布列为X0123PX的数学期望为EX3.类型四事件独立、对立、互斥的综合运用()在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百
13、名观众投票选出最受欢迎歌手，各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列和数学期望解：(1)设A表示事件“观众甲选中3号歌手”，B表示事件“观众乙选中3号歌手”，则P(A)，P(B).事件A与B相互独立，观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为P(A)P(A)P()P(A)1P(B).(2)设C表示事件“观众丙选中3号歌手”，则P(C)
14、.X可能的取值为0，1，2，3，且取这些值的概率分别为P(X0)P()，P(X1)P(A)P(B)P(C)，P(X2)P(AB)P(AC)P(BC)，P(X3)P(ABC)，X的分布列为X0123PX的数学期望E(X)0123.【点拨】解第(1)问根据古典概型及相互独立事件概率乘法公式作答即可，注意限制条件第(2)问则属于独立、互斥等事件的综合应用，这一类型的问题一直是高考考查的热点题型，一般采取“大化小”的解决策略，即将“大”的分布列或期望问题化为“小”的随机变量概率问题；再将“大”的概率问题化为“小”的独立事件概率问题，一般是P(AB)P(A)P(B)，P(A)1P()，P(AB)P(A)
15、P(B)这三个公式的联用注意分清每一个事件是由哪几个基本事件构成的，做到不重不漏()乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分如图，甲上有两个不相交的区域A，B，乙被划分为两个不相交的区域C，D.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球规定：回球一次，落点在C上记3分，在D上记1分，其他情况记0分对落点在A上的来球，队员小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为；对落点在B上的来球，小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为.假设共有两次来球且落在A，B上各一次，小明的两次回球互不影响求：(1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；(2)两次回球结束后，小明得分之和的分布列与数学期
16、望解：(1)记Ai为事件“小明对落点在A上的来球回球的得分为i分”(i0，1，3)，则P(A3)，P(A1)，P(A0)1；记Bi为事件“小明对落点在B上的来球回球的得分为i分”(i0，1，3)，则P(B3)，P(B1)，P(B0)1.记D为事件“小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上”由题意，DA3B0A1B0A0B1A0B3，由事件的独立性和互斥性，P(D)P(A3B0A1B0A0B1A0B3)P(A3B0)P(A1B0)P(A0B1)P(A0B3)P(A3)P(B0)P(A1)P(B0)P(A0)P(B1)P(A0)P(B3)，所以小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率为.(2
17、)由题意，随机变量可能的取值为0，1，2，3，4，6，由事件的独立性和互斥性，得P(0)P(A0B0)，P(1)P(A1B0A0B1)P(A1B0)P(A0B1)，P(2)P(A1B1)，P(3)P(A3B0A0B3)P(A3B0)P(A0B3)，P(4)P(A3B1A1B3)P(A3B1)P(A1B3)，P(6)P(A3B3).可得随机变量的分布列为：012346P所以数学期望E012346.类型五电路中的独立互斥问题如图，用A，B，C，D四类不同的元件连接成系统N，当元件A正常工作且元件B，C都正常工作或当元件A正常工作且元件D正常工作时，系统N正常工作已知元件A，B，C，D正常工作的概率
18、依次为，.求：(1)元件A不正常工作的概率；(2)元件A，B，C都正常工作的概率；(3)系统N正常工作的概率解：(1)元件A正常工作的概率P(A)，不正常工作的概率P()1P(A).(2)元件A，B，C都正常工作的概率P(ABC)P(A)P(B)P(C).(3)系统N正常工作可分为A，B，C都正常工作和A，D正常工作但B，C不都正常工作两种情况，前者的概率为，后者的概率为P(ACD)P(ABD)P(AD)，所以系统N正常工作的概率是.【点拨】第(2)问中的ABC包含了事件ABCD和ABCD，故在第(3)问中只需讨论A，D正常工作但B，C不正常工作的情况()如图所示的电路，有a，b，c三个开关，
19、每个开关开或闭的概率都是，且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为()A. B. C. D.解：设“a闭合”为事件A，“b闭合”为事件B，“c闭合”为事件C，则灯亮应为事件AC，且A，C，之间相互独立，又P(A)P()P(C)，所以P(AC)P(A)P()P(C)，故选A.类型六求最值型变量的概率某人一次投掷3枚骰子，(1)求最大点数是3的概率；(2)求最小点数是3的概率解：(1)记最大点数是3为事件A，最大点数3为事件B，最大点数2为事件C，则P(A)P(B)P(C).(2)记最小点数是3为事件D，最小点数3为事件E，最小点数4为事件F，则P(D)P(E)P(F).【点拨】“最大点数3”的概率减去
20、“最大点数2”的概率得“最大点数3”的概率，“最小点数3”的概率减去“最小点数4”的概率得“最小点数3”的概率，即互斥事件的分解；若是不用独立与互斥概念，直接寻求基本事件则比较复杂从10张扑克牌110中有放回地抽取4张，则最大点数是6的概率为_解：记最大点数是6为事件A，最大点数6为事件B，最大点数5为事件C.则P(A)P(B)P(C)0.0671.故填0.0671.类型七二项分布的最大项问题如果XB，则P(Xk)取得最大值时，k_解：由题意知，X服从二项分布，所以P(Xk)CC，P(Xk1)C，kN且k19.考查不等式1，即1，解得k6.所以k6时，P(Xk1)P(Xk)，k6时，P(Xk1
21、)P(Xk)，其中当k6时，P(Xk1)P(Xk)，k6或7时，P(Xk)取最大值故填6或7.【点拨】如果XB(n，p)，其中0p1，求P(Xk)最大值对应的k值，一般可考查，还可以考虑用不等式组来求，如变式7.如果XB，则使P(Xk)取最大值的k值为_解：令 3k4.故k3或4，故填3或4.1“独立”与“互斥”的区别两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件发生与否对另一事件发生的概率没有影响(如有放回的抽取模型)两事件相互独立通常不互斥，两事件互斥通常不独立2条件概率的求法(1)利用定义，分别求出P(A)，P(AB)，再求P(B|A).(2)借助古典概型概率公式，先求
22、事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数n(AB)，即可求得P(B|A).(3)为了求一些复杂事件的条件概率，往往可以先把它分解为两个(或若干个)互斥事件的和，再利用公式P(BC|A)P(B|A)P(C|A)进行计算，其中B，C互斥3对n次独立重复试验的理解(1)在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(Xk)Cpk(1p)nk，k0，1，2，n，其中p是一次试验中该事件发生的概率实际上，Cpk(1p)nk正好是二项式(1p)pn的展开式中的第k1项这也是二项分布名称的由来(2)要弄清n次独立重复试验中恰好发生k次的概率与第k次才发生的概率计算公
23、式Pn(k)Cpk(1p)nk与Pk(1p)k1p的区别4相互独立事件同时发生的概率的求法(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解(2)正面计算较繁或难于入手时，可正难则反从其对立事件入手进行计算5正确理解独立重复试验与独立事件间的关系独立重复试验是指在同样条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，每次试验都只有两种结果(即某事件要么发生，要么不发生)，并且在每次试验中，事件发生的概率均相等独立重复试验是相互独立事件的特例(概率公式也是如此)，就像对立事件是互斥事件的特例一样一般地，有“恰好”等字眼的用独立重复试验的概率公式计算更简单，就像有“至少”或“至多”等字眼的题目用对立事件的
24、概率公式计算更简单一样1()某人投篮命中率为，该人现投篮3次，各次投篮互不影响，则他恰好投中2次的概率为()A. B. C. D.解：所求概率为C.故选C.2国庆节放假，甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为，.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为()A. B. C. D.解：因甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为，.因此，他们不去北京旅游的概率分别为，所以，至少有1人去北京旅游的概率为P1.故选B.3袋中有红、黄、绿色球各一个，每次任取一个，有放回地抽取三次，则抽出的球的颜色全相同的概率是()A. B. C. D.解：三次均为红球的概率为，三次均为黄、绿球的概率也
25、为，所求概率为.故选B.4()某人抛掷一枚硬币，出现正反的概率都是，构造数列an，使得an记Sna1a2an(nN*)，则S42的概率为()A. B. C. D.解：依题意得知，“S42”表示在连续4次抛掷中恰有3次出现正面1次出现反面，因此“S42”的概率为C.故选C.5()某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是()A0.8 B0.75 C0.6 D0.45解：设事件A：某一天的空气质量为优良，事件B：随后一天的空气质量为优良，则P(B|A)0.8，故选A.6甲、乙两人进行投
26、篮练习，两人是否投中相互之间没有影响，每人各次投篮是否投中相互之间也没有影响，若两人投中的概率均为，那么当两人都投2次，甲投中的次数比乙多的概率为()A. B. C. D.解：分两种情况：“甲投中2球，乙投中0球或1球”；“甲投中1球，乙投中0球”故所求概率为CCCCC.故选D.7加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为_解：加工出来的零件是次品的对立事件为零件是正品，由对立事件公式得加工出来的零件的次品率P1.故填.8高二某班共有60名学生，其中女生有20名，三好学生占全班人数的，而且三好学生中女生占一半现从该班任选一名同
27、学参加某一座谈会，则在已知没有选上女生的条件下，选上的是三好学生的概率为_解：设事件A表示“任选一名学生是男生”；事件B表示“任选一名学生为三好学生”，则所求概率为P(B|A)依题意得P(A)，P(AB).故P(B|A).故填.9粒子A位于数轴x0处，粒子B位于x2处，这两个粒子每隔一秒向左或向右移动一个单位，已知向右移动的概率是，向左移动的概率是.(1)求3秒后，粒子A在点x1处的概率；(2)求2秒后，粒子A，B同时在x2处的概率解：(1)粒子A在三次移动中有一次向左移动，故P1C.(2)由题意知，粒子A在两次移动中均向右，粒子B向左、向右移动各一次，故P2CC.10() 某企业有甲、乙两个
28、研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和.现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立(1)求至少有一种新产品研发成功的概率(2)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元求该企业可获利润的分布列和数学期望解：记E甲组研发新产品成功，F乙组研发新产品成功，由题设知P(E)，P()，P(F)，P()，且事件E与F，E与，与F，与都相互独立(1)记H至少有一种新产品研发成功，则，于是P()P()P()，故所求的概率为P(H)1P()1.(2)设企业可获利润为X(万元)，则X的可能取值为0，100，120，220.因为P(
29、X0)P()，P(X100)P(F)，P(X120)P(E)，P(X220)P(EF)，故所求的分布列为X0100120220P数学期望为E(X)0100120220140.11()某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A地区：62738192958574645376 78869566977888827689B地区：73836251914653736482 93486581745654766579(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论
30、即可)；A地区B地区456789(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”假设两地区用户的评价结果相互独立根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率解：(1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下A地区B地区3642688643928651755245678968136424553346932113通过茎叶图可以看出，A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度
31、评分比较分散(2)记CA1表示事件：“A地区用户的满意等级为满意或非常满意”；CA2表示事件：“A地区用户的满意等级为非常满意”；CB1表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”；CB2表示事件：“B地区用户的满意度等级为满意”，则CA1与CB1独立，CA2与CB2独立，CB1与CB2互斥，CCB1CA1CB2CA2.P(C)P(CB1CA1CB2CA2)P(CB1CA1)P(CB2CA2)P(CB1)P(CA1)P(CB2)P(CA2)由所给数据得CA1，CA2，CB1，CB2发生的频率分别为，故P(CA1)，P(CA2)，P(CB1)，P(CB2)，P(C)0.48. 某超市为了解顾客的
32、购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数(人)x3025y10结算时间(分钟/人)11.522.53已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；(2)若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率(注：将频率视为概率)解：(1)由已知得25y1055，x3045，所以x15，y20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体
33、，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，将频率视为概率得P(X1)；P(X1.5)；P(X2)；P(X2.5)；P(X3).X的分布列为X11.522.53PX的数学期望为E(X)11.522.531.9.(2)记A为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”，Xi(i1，2)为该顾客前面第i位顾客的结算时间，则P(A)P(X11且X21)P(X11且X21.5)P(X11.5且X21)由于各顾客的结算相互独立，且X1，X2的分布列都与X的分布列相同，所以P(A)P(X11)P(X21)P(X11)P(X21.5)P(X11.5)P(X21) .故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为.