1、3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程3.2.2平面的法向量与平面的向量表示课时过关能力提升1.已知O(0,0,0),M(5,-1,2),A(4,2,-1),若OM=AB,则点B的坐标为()A.(-1,3,-3)B.(9,1,1)C.(1,-3,3)D.(-9,-1,-1)解析:设点B的坐标为(x,y,z),由OM=AB得(5,-1,2)=(x-4,y-2,z+1),可得点B(9,1,1).答案:B2.设l1的方向向量为a=(1,3,7),l2的方向向量为b=(3,x,3y),若l1l2,则x,y的值分别是()A.9,21B.9,7C.3,21D.3,7解析:ab13=3x=73y,故x,y
2、的值分别是9,7.答案:B3.已知直线l1的方向向量a=(2,4,x),直线l2的方向向量b=(2,y,2),若|a|=6,且ab,则x+y的值是()A.-3或1B.3或-1C.-3D.1解析:|a|=22+42+x2=6,x=4或-4.ab=22+4y+2x=0,x=4时,y=-3;x=-4时,y=1,x+y=1或x+y=-3.答案:A4.已知直线l的方向向量为v=(1,0,2),平面的法向量为u=(-4,5,2),则l与的关系是()A.lB.lC.lD.l或l解析:因为vu=0,所以l或l.答案:D5.已知平面过点A(1,-1,2),其法向量n=(2,-1,2),则下列点在内的是()A.(
3、2,3,3)B.(3,-3,4)C.(-1,1,0)D.(-2,0,1)解析:设M(x,y,z)为平面内一点,则AMn=0,即2(x-1)-(y+1)+2(z-2)=0.又A项中坐标满足上式,故选A.答案:A6.已知A,B,P三点共线,对空间任一点O,OP=OA+OB,则+=.答案:17.已知直线l的方向向量v=(2,-1,3),且过A(0,y,3)和B(-1,2,z)两点,则y=,z=.解析:因为AB=(-1,2-y,z-3),ABv,所以-12=2-y-1=z-33,解得y=32,z=32.答案:32328.RtABC的斜边BC在平面内,顶点A在平面外,则ABC的两条直角边在平面内的射影与
4、斜边所成的图形可能是.答案:一条线段或一个钝角三角形9.已知在正方体ABCD - ABCD中,点M,N分别是棱BB与对角线AC的中点,求证:MNBB,MNAC.证明:不妨设已知正方体的棱长为1,以A为坐标原点,AB,AD,AA的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.由已知条件得M1,0,12,B(1,0,0),C(1,1,0),A(0,0,1),N12,12,12,B(1,0,1),所以MN=-12,12,0,AC=(1,1,-1),BB=(0,0,1).因为MNAC=0,所以MNAC.又MNBB=0,所以MNBB.10.在棱长为1的正方体ABCD - A1B
5、1C1D1中,E,F分别为棱AB和BC的中点,试在棱B1B上找一点M,使得D1M平面EFB1.解:以D为坐标原点,DA,DC,DD1的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.有A(1,0,0),B1(1,1,1),C(0,1,0),D1(0,0,1),E1,12,0,F12,1,0,设点M(1,1,m),则EF=-12,12,0,B1E=0,-12,-1,D1M=(1,1,m-1).D1M平面EFB1,D1MEF,且B1ED1M,D1MEF=0,D1MB1E=0,-12+12+(m-1)0=0,10-12+1-m=0,m=12.故取B1B的中点M,能满足D1M平面EFB1.
