1、高三数学 第1页（共 6 页）数学试卷 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设集合220AxxxN|，1 1 2 3B ，则 AB A 1 0，B1 2，C1 2 3，D0 1 2 3，2在复平面内，设1iz （i 是虚数单位），则复数22zz 对应的点位于 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3已知单位向量 a，b，c 满足 234 0abc，则a b A2912 B78 C0 D 14 4已知sin20tan 203m，则实数 m 的值为 A 3 B2 C4 D8 5为加快新冠病毒检测效率，检测机构采
2、取“10合1检测法”，即将10个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测现对来自重点管控区的100人进行核酸检测，若有2人感染病毒，则随机将其平均分成10组后这两名感染患者在同一组的概率为 A 115 B 112 C 111 D 110 6已知奇函数2()(2)()(0)f xxx axba在点()af a，处的切线方程为()yf a，则b A 11 或 B2 32 333或 C 22 或 D4 34 333或 7已知12FF，是椭圆221(1)1xymmm的左、右焦点，点 A 是椭圆上的一个动点，若12AF F的内切圆半径的最大值
3、是33，则椭圆的离心率为 A21 B 12 C22 D31 8已知11e2exyz，则 x yz，的大小关系为 A xyz B xzyC yxz D yzx 20212022学年度苏州市高三考前模拟试卷高三数学 第2页（共 6 页）二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。9已知投资 A B，两种项目获得的收益分别为 X Y，分布列如下表，则 X/百万 1 0 2 Y/百万 0 1 2 P0.2 m0.6 P 0.3 0.4 n A0.5mn B(21)4EX C投资两种
4、项目的收益期望一样多 D投资 A 项目的风险比 B 项目高 10右图是函数()sin()(00)f xAxA，的部分图象，则 A()f x 的最小正周期为 B将函数()yf x的图象向右平移 3 个单位后，得到的函数为奇函数 C5 6x 是函数()yf x的一条对称轴 D若函数()(0)yf txt在0，上有且仅有两个零点，则54)63t，11某酒店大堂的壁灯的外观是将两个正三棱锥的底面重合构成的一个六面体（如图），已知1BCAB，现已知三棱锥 EBCD的高大于三棱锥 ABCD的高，则 A AB 平面 DCE B二面角 ABCE的余弦值小于79 C该六面体存在外接球 D该六面体存在内切球 12
5、在数列na中，若221nnaap（*2nnpN，为非零常数），则称na为“等方差数列”，p 称为“公方差”，下列对“等方差数列”的判断正确的是 A(1)n是等方差数列 B若正项等方差数列na的首项11a ，且125aaa，是等比数列，则221nan C等比数列不可能为等方差数列 D存在数列na既是等方差数列，又是等差数列 A B C D E（第 11 题图）（第 10 题图）高三数学 第3页（共 6 页）三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13在正项等比数列na中，113a，249aa，记数列na的前 n 项的积为nT，若(1 1000)nT，请写出一个满足条件的 n
6、的值为 14已知双曲线22221(00)xyabab，的左、右焦点分别为12FF，过2F 的直线与圆222xya相切，且与双曲线的左支交于 x 轴上方的一点 P，当112PFF F时直线2PF的斜率为 15函数()ln|1|f xxx，若函数()yf xm有三个零点，则实数 m 的值为 16如图，已知四面体 ABCD 中，ABD和BCD都是等腰直角三角形，2AB，2BADCBD 若四面体ABCD 外接球的表面积为8，则此时二面角 ABDC的大小为 ；若二面角 ABDC为 3 时，点 M 为线段CD 上一点，则 AM 的最小值为 （本小题第一空 2分，第二空 3 分）四、解答题：本题共 6 小题
7、，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10 分）在2223()sin2acbBac且4B；sin31cosbAaB；sinsinsinsinBCaACbc这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题 问题：在ABC中，角 A B C，的对边分别为 a b c，且_（1）求 B；（2）若 D 为边 AC 的中点，且34ac，求中线 BD 长 BDCA（第 16 题图）高三数学 第4页（共 6 页）18（12 分）如图，在数轴上，一个质点在外力的作用下，从原点 O 出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，质点到达位置的数字记为 X（1）若该质点共移动 2 次，位于
8、原点 O 的概率；（2）若该质点共移动 6 次，求该质点到达数字 X 的分布列和数学期望 19（12 分）已知数列na满足*123231111()3333nnaaaan nN，1na的前 n 项和为nS （1）求数列na的通项公式；（2）设3lognnba，数列121nnnb bb的前 n 项和为nT，证明：112nnTS （第 18 题图）高三数学 第5页（共 6 页）20（12 分）如图，在四棱锥 PABCD中，已知侧面 PCD为正三角形，底面 ABCD 为直角梯形，ABCD，9304ABADCDADC，点 MN，分别在线段 AB 和 PD 上，且22AMMB DNNP，（1）求证 PM平
9、面 ACN；（2）设二面角 PCDA的余弦值为33，求直线 PC 和平面 PAB 所成角的大小 21（12 分）已知 aR，函数()esin (0)2xf xax x，（1）讨论()f x 的导函数()fx零点的个数；（2）若31()2f xa，求 a 的取值范围 （第 20 题图）DCABPNM高三数学 第6页（共 6 页）22（12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知(1 0)F，点 M 到直线3x 的距离比到点 F 的距离大 2，记 M 的轨迹为 C（1）求 C 的方程；（2）过 F 的直线 l 交 C 于 A B，两点，过点 A 作 C 的切线，交 x 轴于点 P，直线 BP 交C
10、 于点 Q（不同于点 B），直线 AQ 交 x 轴于点 N若2ANFPNQSS，求直线 l的方程 高三数学参考答案第 1页（共 6 页）2021-2022 学年度苏州市高三考前模拟试卷数学试卷参考答案一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分题号12345678答案BADCCDBD二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分题号9101112答案ACDADBDBC三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 4（答案不唯一）143415 216 2；144四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分17（10 分）解：（1）若选：2223()sin
11、2Bacacb，且2222cos Babacc，所以32cossin2acBBac，所以3sin 22B 4 分又 4B ，所以222B ，所以223B，所以3B6 分若选：由正弦定理得 sinsin3sin1cosBAAB，因为 sin0A，所以 sin33cosBB，即3sin()32B 4 分由 0B ，4333B，所以233B，所以3B6 分若选：由正弦定理得 bcaacbc，即222acbac，由余弦定理得2221cos222acbacBacac，4 分又 0B ，所以3B 6 分（2）在ABC中，由余弦定理得2222cos9161213bacacB，所以2 3b，8 分高三数学参考
12、答案第 2页（共 6 页）又22()()4ACBA BCBDDABDDCBD，所以2433cos143BD，所以中线 BD 长为39210 分18（12 分）解：（1）记“质点位于原点 O 的位置”的事件为 A，则121()222CP A 答：质点移动 2 次后位于原点 O 的概率为 123 分（2）随机变量 X 可能取得的值为 6，4，2，0，-2，-4，-6，则0661(6)264CP X，1666(4)264CP X，26615(2)264CP X，36620(0)264CP X，46615(2)264CP X ，5666(4)264CP X ，6661(6)264CP X 10 分随机
13、变量 X 的分布列如下：X6420-2-4-6P1646641564206415646641641615201561()6420(2)(4)(6)064646464646464E X 12 分19（12 分）解：（1）当1n 时，13a，当2n时，1232311113333nnaaaan，1231231111113333nnaaaan，由得 1(1)13nn ann，即)3(2nnan3 分当1n 时也成立，所以数列na的通项公式为*()3nnanN 4 分（2）证明：由（1）知3nna，所以11111()1133(1)12313nnnS，6 分因为33loglog 3nnnban，高三数学参
14、考答案第 3页（共 6 页）所以12311111(1)(2)2(1)(1)(2)nnnbbbn nnn nnn，8 分所以11111112 1 22 32 33 4(121 112)(1)()(1(22)nTn nnnnn，所以1212(21)(2)nTnn9 分因为111012111(1)(1)(2)32(1 1)1(1)22nnnnnnn nnnCCCn，所以11212(1)(2)112(123)nnnSnTn，所以12nnTS 12 分20（12 分）解：（1）证明：连接 MD，交 AC 于 E因为2AMMB，AB 3，所以 AM 2，MB 1因为 ABCD，所以2DECDEMAM又2D
15、NNP，所以 DEDNEMNP，所以 PMNE 2 分又 NE 平面 ACN，PM 平面 ACN，所以 PM平面 ACN 4 分（2）取 CD 中点 F，连接 MF，PF因为PCD 为正三角形，所以 PFCD，且2 3PF，DF 12 CD 2 AM又 AMDF，所以四边形 AMFD 为平行四边形又90ADC，所以四边形 AMFD 为矩形，所有 MFCD，且 MF 3又 PFCD，MFPFF，MF PF，平面 PMF，所以 CD平面 PMF又 CD 平面 ABCD，所以平面 PMF平面 ABCD过 P 作 MF 的垂线交 MF 于点 O，过 O 作直线平行于 CD 交 BC 于点 G，则 OM
16、，OG，OP 两两相互垂直，则以 OM，OG，OP 分别为 x，y，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz 6 分又 MFCD，且 MF 3，PFCD，MFFMF，所以MFP为二面角 PCDA 的平面角于是3cos3OFMFPPFPNDCMABGxyzFO高三数学参考答案第 4页（共 6 页）因为2 3PF，所以2OF，且2 2OP，所以(0 02)P，因为(2 2 0)C ，所以(22 2 2)CP，8 分又(12 0)A，(1 1 0)B，(0 0 2)P，则(0 3 0)AB，(1 2 2 2)AP ，设()a b c，m为平面 PAB 的一个法向量，则ABAP，mm即00ABA
17、P，mm所以3022 20babc，令1c ，则2 2a，所以(2 2 0 1)，m 10 分设直线 AC 与平面 PAB 所成的角为(0)2，则6 22sin|cos|4 32|CPCPCP，mmm，因为 02，所以直线 AC 与平面 PAB 所成角的大小为 4 12 分另解：（2）设点C 到平面 PAB 的距离为 h，结合点 C 到平面 PAB 的距离等于点 F 到平面 PAB 的距离，而PMF为等腰三角形，MPMF，所以点 F 到平面 PAB 的距离等于点2 2PO，所以2 22sin=42，故421（12 分）解：（1）令()()ecosxg xfxax，()esinxg xax若1a
18、 ，则()ecos1 10 xfxax ，所以()fx的零点个数为 0；若1a ，()esin0 xg xx，所以()fx在02，上单调递增，又0(0)ecos01 10f ，所以()fx的零点个数为 1；若1a ，()esin0 xg xax，所以()fx在02，上单调递增，又(0)10fa，2()e02f，所以()fx的零点个数为 14 分（2）由（1）知：若1a，()ecos0 xfxax，故()f x 在02，上单调递增，所以3131()(0)122f xfa，所以1a 满足题意；6 分高三数学参考答案第 5页（共 6 页）若1a ，存在唯一0(0)2x，使得000()ecos0 xf
19、xax，7 分且当0(0)xx，时，()0fx，当0()2xx，时，()0fx，所以()f x 在0(0)x，上单调递减，在0()2x，上单调递增所以0min000031()()esincossin2xf xf xaxaxaxa，9 分化简得0625cos()cos4412x，又0(0)2x，所以0(06x，10 分易证cosexxy 在(0)6，上单调递减，所以006cos131)e2exxa，解得62 3(1e 3a，综上所述，a 的取值范围为62 3(e 3，12 分22（12 分）解：（1）因为点 M 到直线3x 的距离比到点 F 的距离大 2，所以 M 到直线1x 的距离等于到(1
20、0)F，的距离，所以 M 的轨迹是以(1 0)F，为焦点，1x 为准线的抛物线，方程为24yx 3 分（2）设222(2)(2)(2)()A ssB ttQ rrtr，点 A 处的切线方程为2()2yk xss，联立方程组22()24yk xssyx，得224840syyskk，由2248()4(4)0sskk，解得1ks，可知切线为1yxss，5 分令0y，得2(0)Ps，设直线 l 的方程为1xmy，联立方程组241yxxmy，得2440ymy，所以4ABy y 设直线 PQ 的方程为2xnys，联立方程组224yxxnys，得22440ynys，所以24PQy ys高三数学参考答案第 6页（共 6 页）所以2224 224strts，得31trss ，8 分又 B Q，在抛物线上，得63212()(2)(1)BQ sssss，9 分所以直线 AQ 的方程为32222(1)1syxsss，令0y，得4(0)N s，由2ANFPNQSS，得442311|(1)|2|2()|2|22sssss，10 分解得22s ，得1(2)2A，所以直线 l 的方程为2 22 2yx或2 22 2yx 12 分
