1、2.4等比数列第1课时等比数列课时过关能力提升基础巩固1若等比数列的首项为4,末项为128,公比为2,则这个数列的项数为().A.4B.8C.6D.32解析:由等比数列的通项公式,得128=42n-1,2n-1=32,所以n=6.答案:C2已知等比数列an满足a1+a2=3,a2+a3=6,则a7等于 ().A.64B.81C.128D.243解析:数列an为等比数列,设其公比为q,a2+a3a1+a2=q=2.又a1+a2=3,a1=1.故a7=a1q6=126=64.答案:A3设a1=2,数列1+2an是公比为2的等比数列,则a6等于().A.31.5B.160C.79.5D.159.5解
2、析:1+2an=(1+2a1)2n-1=52n-1,1+2a6=525,a6=532-12=79.5.答案:C4在等比数列an中,已知a1a2a12=64,则a4a6的值为 ().A.16B.24C.48D.128解析:设公比为q,则a1a2a12=a13q12=64,所以a1q4=4.所以a4a6=(a1q4)2=16.答案:A5若三个正数a,b,c成等比数列,其中a=5+26,c=5-26,则b=_.解析:因为a,b,c成等比数列,所以b2=ac,即b2=(5+26)(5-26)=1.又b是正数,所以b=1.答案:16在等比数列an中,a1=98,an=13,公比q=23,则n=_.解析:
3、an=9823n-1.由an=13,得9823n-1=13,故23n-1=233,n=4.答案:47在各项均为正数的等比数列an中,若a2=1,a8=a6+2a4,则a6的值是.答案:48一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存2 KB,然后每3分钟自身复制一次,复制后所占内存是原来的2倍,则开机后分钟,该病毒占据内存64 MB.(1 MB=210 KB)解析:经过一次复制占内存22 KB,经过两次复制占内存23 KB,经过n次复制占内存2n+1 KB.由2n+1 KB=64 M=64210=216 KB,得n=15,即复制15次后占内存64 MB.又每3分钟复制一次,所以需经过45分钟.答
4、案:459已知各项都为正数的数列an满足a1=1,an2-(2an+1-1)an-2an+1=0.(1)求a2,a3;(2)求an的通项公式.解(1)由题意得a2=12,a3=14.(2)由an2-(2an+1-1)an-2an+1=0,得2an+1(an+1)=an(an+1).因为an的各项都为正数,所以an+1an=12.故an是首项为1,公比为12的等比数列,因此an=12n-1.10在等比数列an中,a1=2,a4=16.(1)求数列an的通项公式;(2)若a3,a5分别为等差数列bn的第4项和第16项,试求数列bn的前n项和Sn.解(1)设等比数列an的公比为q,则a4=a1q3=
5、2q3=16,解得q=2.所以an=a1qn-1=22n-1=2n.(2)由(1)得a3=8,a5=32,则b4=8,b16=32.设等差数列bn的公差为d,则有b1+3d=8,b1+15d=32,解得b1=2,d=2.故数列bn的前n项和Sn=nb1+n(n-1)2d=2n+n(n-1)22=n2+n.能力提升1已知等差数列an的公差为3,若a1,a3,a4成等比数列,则a2等于().A.9B.3C.-3D.-9解析:a1=a2-3,a3=a2+3,a4=a2+32=a2+6.由于a1,a3,a4成等比数列,则a32=a1a4,所以(a2+3)2=(a2-3)(a2+6),解得a2=-9.答
6、案:D2若实数a,b,c成等比数列,则函数f(x)=ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数是().A.0B.1C.2D.不能确定解析:b2=ac,且a,b,c均不为零,b2-4ac=b2-4b2=-3b20.所以q=1+2.所以a6+a7a8+a9=a1q5+a1q6a1q7+a1q8=1q2=1(1+2)2=3-22.答案:D4已知数列1,a1,a2,9是等差数列,数列1,b1,b2,b3,9是等比数列,则b2a1+a2的值为_.解析:1,a1,a2,9是等差数列,a1+a2=1+9=10.1,b1,b2,b3,9是等比数列,b22=19=9,b12=b20.b2=3.b2a1+a2=310
7、.答案:3105某林场的树木每年以25%的增长率增长,则第10年末的树木总量是今年的倍.解析:设这个林场今年的树木总量是m,第n年末的树木总量为an,则an+1=an+an25%=1.25an,所以an+1an=1.25,即数列an是公比q=1.25的等比数列.于是a10=a1q9=1.259m,所以a10a1=1.259.答案:1.2596已知a,b,c成等比数列,m,n分别是a,b和b,c的等差中项,则am+cn=_.解析:m=a+b2,n=b+c2,b2=ac,am+cn=2aa+b+2cb+c=2a(b+c)+2c(a+b)(a+b)(b+c)=2ab+4ac+2bcab+ac+b2+
8、bc=2(ab+2ac+bc)ab+2ac+bc=2.答案:27数列an的前n项和为Sn,a1=1,an+1=2Sn(nN*),求数列an的通项公式.解an+1=2Sn,an=2Sn-1(n2,nN*).当n2时,an+1-an=2Sn-2Sn-1=2an.an+1=3an(n2,nN*).又a2=2S1=2a1=2,数列an从第二项起是等比数列.an=a23n-2=23n-2(n2,nN*).综上,an=1,n=1,23n-2,n2,nN*.8设数列an的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn+1=4an+2.(1)设bn=an+1-2an,证明数列bn是等比数列;(2)求数列an的通项公式.(1)证明a1=1,Sn+1=4an+2,a1+a2=4a1+2,即a2=3a1+2=5,b1=a2-2a1=3.又当n2时,有Sn=4an-1+2,Sn+1-Sn=an+1=4an-4an-1,an+1-2an=2(an-2an-1).又bn=an+1-2an,bn=2bn-1(n2).数列bn是首项b1=3,公比为2的等比数列.(2)解由(1)可得bn=an+1-2an=32n-1,an+12n+1-an2n=34.数列an2n是首项为12,公差为34的等差数列,an2n=12+34(n-1)=34n-14.an=3n-142n=(3n-1)2n-2.
