1、第 1 讲 函数、基本初等函数的图象与性质考情解读 1.高考对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主，难度中等偏下.2.函数图象和性质是历年高考的重要内容，也是热点内容，对图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题；对函数性质的考查，则主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合一起考查，既有具体函数也有抽象函数常以选择、填空题的形式出现，且常与新定义问题相结合，难度较大1函数的三要素定义域、值域及对应关系两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表示同一函数，定义域和对应关系相同的两个函数是同一函数2函数的性质(1)单调性：单调性是函数在
2、其定义域上的局部性质利用定义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则(2)奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质偶函数的图象关于 y 轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性(3)周期性：周期性是函数在定义域上的整体性质若函数在其定义域上满足 f(ax)f(x)(a 不等于 0)，则其一个周期 T|a|.3函数的图象对于函数的图象要会作图、识图、用图作函数图象有两种基本方法：一是描点法，二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变
3、换4指数函数、对数函数和幂函数的图象和性质(1)指数函数 yax(a0，a1)与对数函数 ylogax(a0，a1)的图象和性质，分 0a1两种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质(2)幂函数 yx 的图象和性质，分幂指数 0，0，则 x的取值范围是_(2)设奇函数 yf(x)(xR)，满足对任意 tR 都有 f(t)f(1t)，且 x0，12 时，f(x)x2，则 f(3)f32 的值等于_思维启迪(1)利用数形结合，通过函数的性质解不等式；(2)利用 f(x)的性质和 x0，12时的解析式探求 f(3)和 f(32)的值答案(1)(1,3)(2)14解析(1)f(x)是偶函数，图
4、象关于 y 轴对称又 f(2)0，且 f(x)在0，)单调递减，则 f(x)的大致图象如图所示，由 f(x1)0，得2x12，即1x3.(2)根据对任意 tR 都有 f(t)f(1t)可得 f(t)f(1t)，即 f(t1)f(t)，进而得到f(t2)f(t1)f(t)f(t)，得函数 yf(x)的一个周期为 2，故 f(3)f(1)f(01)f(0)0，f32 f 12 14.所以 f(3)f32 014 14.思维升华 函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题(1)
5、(2013重庆)已知函数 f(x)ax3bsin x4(a，bR)，f(lg(log210)5，则 f(lg(lg2)等于()A5B1C3D4(2)已知函数 f(x)x3x，对任意的 m2,2，f(mx2)f(x)0 恒成立，则 x 的取值范围为_答案(1)C(2)2，23解析(1)lg(log210)lg1lg 2 lg(lg 2)，由 f(lg(log210)5，得 alg(lg 2)3bsin(lg(lg 2)451，则 f(lg(lg 2)a(lg(lg 2)3bsin(lg(lg 2)4143.(2)易知 f(x)为增函数又 f(x)为奇函数，由 f(mx2)f(x)0 知，f(mx
6、2)f(x)mx2x，即 mxx20，令 g(m)mxx2，由 m2,2知 g(m)0 恒成立，即g2x20g23x20，2xx11 时，f(x2)f(x1)(x2x1)abBcbaCacbDbac思维启迪(1)可以利用函数的性质或特殊点，利用排除法确定图象(2)考虑函数 f(x)的单调性答案(1)C(2)D解析(1)函数的定义域为x|x1，其图象可由 y10ln|x|x的图象沿 x 轴向左平移 1 个单位而得到，y10ln|x|x为奇函数，图象关于原点对称，所以，y10ln|x1|x1的图象关于点(1,0)成中心对称可排除 A，D.又 x0 时，y10ln|x1|x10，所以，B 不正确，选
7、 C.(2)由于函数 f(x)的图象向左平移 1 个单位后得到的图象关于 y 轴对称，故函数 yf(x)的图象本身关于直线 x1 对称，所以 af(12)f(52)，当 x2x11 时，f(x2)f(x1)(x2x1)ac.选 D.思维升华(1)作图：常用描点法和图象变换法图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换尤其注意 yf(x)与 yf(x)、yf(x)、yf(x)、yf(|x|)、y|f(x)|及 yaf(x)b 的相互关系(2)识图：从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系(3)用图：图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确
8、定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究(1)函数 f(x)1log2x 与 g(x)21x 在同一直角坐标系中的图象大致是()(2)(2013课标全国)已知函数 f(x)x22x，x0，lnx1，x0.若|f(x)|ax，则 a 的取值范围是()A(，0 B(，1 C2,1D2,0答案(1)C(2)D解析(1)f(x)1log2x 的图象过定点(1,1)，g(x)21x 的图象过定点(0,2)f(x)1log2x 的图象由 ylog2x 的图象向上平移一个单位而得到，且 f(x)1log2x 为单调增函数，g(x)21x2(12)x 的图象由 y(12)x 的图象伸缩变换得到，且
9、 g(x)21x 为单调减函数A中，f(x)的图象单调递增，但过点(1,0)，不满足；B 中，g(x)的图象单调递减，但过点(0,1)，不满足；D 中，两个函数都是单调增函数，也不满足选 C.(2)函数 y|f(x)|的图象如图当 a0 时，|f(x)|ax 显然成立当 a0 时，只需在 x0 时，ln(x1)ax 成立比较对数函数与一次函数 yax 的增长速度显然不存在 a0 使 ln(x1)ax 在 x0 上恒成立当 a0 时，只需在 xf(a)，则实数 a 的取值范围是()A(1,0)(0,1)B(，1)(1，)C(1,0)(1，)D(，1)(0,1)(2)(2014南阳市高三模拟)已知
10、，2，2且 sin sin 0，则下面结论正确的是()AB0C2思维启迪(1)可利用函数图象或分类讨论确定 a 的范围；(2)构造函数 f(x)xsin x，利用 f(x)的单调性答案(1)C(2)D解析(1)方法一 由题意作出 yf(x)的图象如图显然当 a1 或1af(a)故选 C.方法二 对 a 分类讨论：当 a0 时，log2a12log a，即 log2a0，a1.当 alog2(a)，即 log2(a)0，1a0，故选 C.(2)设 f(x)xsin x，x2，2，yxcos xsin xcos x(xtan x)，当 x2，0时，y0，f(x)为增函数，且函数 f(x)为偶函数，
11、又 sin sin 0，sin sin，|，22.思维升华(1)指数函数、对数函数、幂函数和三角函数是中学阶段所学的基本初等函数，是高考的必考内容之一，重点考查图象、性质及其应用，同时考查分类讨论、等价转化等数学思想方法及其运算能力(2)比较数式大小问题，往往利用函数图象或者函数的单调性(1)设15(15)b(15)a1，那么()AaaabbaBabaabaCaabaabDabbaaa(2)已知函数 f(x)2x12x，函数 g(x)fx，x0，fx，x0，则函数 g(x)的最小值是_答案(1)B(2)0解析(1)因为指数函数 y(15)x 在(，)上是递减函数，所以由15(15)b(15)a
12、1 得 0ab1，所以 0ab1.所以 yax，ybx，y(ab)x 在(，)上都是递减函数，从而 abaa，(ab)aaa，故 abaaba，答案选 B.(2)当 x0 时，g(x)f(x)2x12x为单调增函数，所以 g(x)g(0)0；当 xg(0)0，所以函数 g(x)的最小值是 0.1判断函数单调性的常用方法(1)能画出图象的一般用数形结合法去观察(2)由基本初等函数通过加、减运算或复合而成的函数，常转化为基本初等函数单调性的判断问题(3)对于解析式较复杂的一般用导数法(4)对于抽象函数一般用定义法2函数奇偶性的应用函数的奇偶性反映了函数图象的对称性，是函数的整体特性利用函数的奇偶性
13、可以把研究整个函数具有的性质问题转化到只研究部分(一半)区间上，是简化问题的一种途径尤其注意偶函数 f(x)的性质：f(|x|)f(x)3函数图象的对称性(1)若函数 yf(x)满足 f(ax)f(ax)，即 f(x)f(2ax)，则 f(x)的图象关于直线 xa 对称提醒：函数 yf(ax)与 yf(ax)的图象对称轴为 x0，并非直线 xa.(2)若 f(x)满足 f(ax)f(bx)，则函数 f(x)的图象关于直线 xab2 对称(3)若函数 yf(x)满足 f(x)2bf(2ax)，则该函数图象关于点(a，b)成中心对称4二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，要深刻理
14、解它们之间的相互关系，能用函数与方程、分类讨论、数形结合思想来研究与“三个二次”有关的问题，高考对“三个二次”知识的考查往往渗透在其他知识之中，并且大都出现在解答题中5指数函数、对数函数的图象和性质受底数 a 的影响，解决与指、对数函数特别是与单调性有关的问题时，首先要看底数 a 的范围比较两个对数的大小或解对数不等式或解对数方程时，一般是构造同底的对数函数，若底数不同，可运用换底公式化为同底的对数，三数比较大小时，注意与 0 比较或与 1 比较6解决与本讲有关的问题应注意函数与方程、数形结合、分类讨论、化归与转化等思想的运用.真题感悟1(2014 安徽)若函数 f(x)(xR)是周期为 4
15、的奇函数，且在0,2上的解析式为 f(x)x1x，0 x1，sin x，1x2，则 f294 f416 _.答案 516解析 f(x)是以 4 为周期的奇函数，f294 f834 f34，f416 f876 f76.当 0 x1 时，f(x)x(1x)，f 34 34134 316.当 10，且 a1)的图象如图所示，则所给函数图象正确的是()答案 B解析 由题意得 ylogax(a0，且 a1)的图象过(3,1)点，可解得 a3.选项 A 中，y3x(13)x，显然图象错误；选项 B 中，yx3，由幂函数图象可知正确；选项 C 中，y(x)3x3，显然与所画图象不符；选项 D 中，ylog3
16、(x)的图象与 ylog3x 的图象关于 y 轴对称，显然不符，故选 B.押题精练1已知函数 f(x)e|ln x|x1x，则函数 yf(x1)的大致图象为()答案 A解析 据已知关系式可得f(x)eln xx1x x01，作出其图象然后将其向左平移 1 个单位即得函数 yf(x1)的图象2已知函数 f(x)|12log x|，若 mn，有 f(m)f(n)，则 m3n 的取值范围是()A2 3，)B(2 3，)C4，)D(4，)答案 D解析 f(x)|12log x|，若 mn，有 f(m)f(n)，12log m 12log n，mn1，0m1，m3nm3m在 m(0,1)上单调递减，当
17、m1 时，m3n4，m3n4.3已知 f(x)2x1，g(x)1x2，规定：当|f(x)|g(x)时，h(x)|f(x)|；当|f(x)|g(x)时，h(x)g(x)，则 h(x)()A有最小值1，最大值 1B有最大值 1，无最小值C有最小值1，无最大值D有最大值1，无最小值答案 C解析 由题意得，利用平移变化的知识画出函数|f(x)|，g(x)的图象如图，而 h(x)|fx|，|fx|gxgx，|fx|0”的是()Af(x)12Bf(x)x24x4Cf(x)2xDf(x)12log x答案 C解析 函数 f(x)满足“对任意的 x1，x2(0，)时，均有(x1x2)f(x1)f(x2)0”等
18、价于x1x2 与 f(x1)f(x2)的值的符号相同，即可化为fx1fx2x1x20，表示函数 f(x)在(0，)上单调递增，由此可得只有函数 f(x)2x 符合故选 C.2(2014浙江)在同一直角坐标系中，函数 f(x)xa(x0)，g(x)logax 的图象可能是()答案 D解析 方法一 分 a1,0a1 时，yxa 与 ylogax 均为增函数，但 yxa 递增较快，排除 C；当 0a1 时，yxa 为增函数，ylogax 为减函数，排除 A.由于 yxa 递增较慢，所以选 D.方法二 幂函数 f(x)xa 的图象不过(0,1)点，排除 A；B 项中由对数函数 f(x)logax 的图
19、象知0a1，而此时幂函数 f(x)xa 的图象应是增长越来越快的变化趋势，故 C 错3(2014绵阳模拟)已知函数 yf(x)是奇函数，当 x0 时，f(x)lg x，则 ff1100的值等于()A.1lg 2B 1lg 2Clg 2Dlg 2答案 D解析 当 x0，则 f(x)lg(x)又函数 f(x)为奇函数，f(x)f(x)，所以当 xb，则下列不等式成立的是()Aln aln bB0.3a0.3bC1122abD.3 a3 b答案 D解析 因为 ab，而对数的真数为正数，所以 ln aln b 不一定成立；因为 y0.3x 是减函数，又 ab，则 0.3ab，则1122ab不一定成立，
20、故 C 错；y13x 在(，)是增函数，又 ab，则1133ab，即3 a3 b成立，选 D.5(2014西安五校联考)设偶函数 f(x)满足 f(x)2x4(x0)，则x|f(x2)0等于()Ax|x4Bx|x4Cx|x6Dx|x2答案 B解析 由于函数 f(x)是偶函数，因此有 f(|x|)f(x)，不等式 f(x2)0，即 f(|x2|)0，f(|x2|)2|x2|40，|x2|2，即 x22，由此解得 x4.于是有x|f(x2)0 x|x4，故选 B.6使 log2(x)0，又12log a log2a1log2a.f(x)是 R 上的偶函数，f(log2a)f(log2a)f(12l
21、og a)f(log2a)f(12log a)2f(1)，2f(log2a)2f(1)，即 f(log2a)f(1)又f(x)在0，)上递增|log2a|1，1log2a1，a12，2，选 C.二、填空题9(2014嘉兴市高三测试)已知函数 f(x)13exx2fx1x0 恒成立，则实数 a 的取值范围为_答案 a|a2解析 f(x)xxa，xaxxa，x0 知，函数 yf(x)在2，)单调递增，当 a0 时，满足题意，当 a0 时，只需 a2，即 0a2，综上所述，实数 a 的取值范围为 a2.11设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数，在区间1,1上，f(x)ax1，1x0，bx
22、2x1，0 x1，其中 a，bR.若 f 12 f 32，则 a3b 的值为_答案 10解析 因为 f(x)的周期为 2，所以 f 32 f322 f12，即 f 12 f12.又因为 f12 12a1，f 12 b22121b43，所以12a1b43.整理，得 a23(b1)又因为 f(1)f(1)，所以a1b22，即 b2a.将代入，得 a2，b4.所以 a3b23(4)10.12已知定义在 R 上的函数 yf(x)满足以下三个条件：对于任意的 xR，都有 f(x4)f(x)；对于任意的 x1，x2R，且 0 x1x22，都有 f(x1)f(x2)；函数 yf(x2)的图象关于 y 轴对称
23、则判断 f(4.5)，f(6.5)，f(7)的大小关系为_答案 f(4.5)f(7)f(6.5)解析 由已知得 f(x)是以 4 为周期且关于直线 x2 对称的函数所以 f(4.5)f(412)f(12)，f(7)f(43)f(3)，f(6.5)f(452)f(52)又 f(x)在0,2上为增函数所以作出其在0,4上的图象知f(4.5)f(7)f(6.5)13设函数 f(x)11x2(xZ)，给出以下三个结论：f(x)为偶函数；f(x)为周期函数；f(x1)f(x)1，其中正确结论的序号是_答案 解析 对于 xZ，f(x)的图象为离散的点，关于 y 轴对称，正确；f(x)为周期函数，T2，正确
24、；f(x1)f(x)11x1211x211x11x21，正确14(2014新余市期末检测)能够把圆 O：x2y216 的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆 O 的“和谐函数”，下列函数是圆 O 的“和谐函数”的是_f(x)exex f(x)ln5x5xf(x)tanx2 f(x)4x3x答案 解析 由“和谐函数”的定义知，若函数为“和谐函数”，则该函数为过原点的奇函数，中，f(0)e0e02，所以 f(x)exex 的图象不过原点，故 f(x)exex 不是“和谐函数”；中 f(0)ln5050ln 10，且 f(x)ln5x5xln5x5xf(x)，所以 f(x)为奇函数，所以 f(x)ln5x5x为“和谐函数”；中，f(0)tan 00，且 f(x)tanx2 tanx2f(x)，f(x)为奇函数，故 f(x)tanx2为“和谐函数”；中，f(0)0，且 f(x)为奇函数，故 f(x)4x3x 为“和谐函数”，所以，中的函数都是“和谐函数”
