1、浦东新区2014学年第二学期高三教学质量检测数学试卷（理科）注意：1. 答卷前，考生务必在答题纸上指定位置将姓名、学校、考号填写清楚. 2. 本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟.一、填空题（本大题共有14题，满分56分）；考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1不等式的解为 . 2设是虚数单位，复数是实数，则实数 3 . 3已知一个关于的二元一次方程组的增广矩阵为，则 2 .4已知数列的前项和，则该数列的通项公式 .5已知展开式中二项式系数之和为1024，则含项的系数为 210 .6已知直线与圆相切，则该圆的半径大小为 1 .7在极
2、坐标系中，已知圆（）上的任意一点与点之间的最小距离为1，则 .8若对任意，不等式恒成立，则的取值范围是. 9已知球的表面积为64，用一个平面截球，使截面圆的半径为2，则截面与球心的距离是 . 10已知随机变量分别取1、2和3，其中概率与相等，且方差，则概率的值为 . 11若函数的零点为整数.则所有满足条件的值为或.12若正项数列是以为公比的等比数列，已知该数列的每一项的值都大于从开始的各项和，则公比的取值范围是 .13等比数列的首项，公比是关于的方程的实数解，若数列有且只有一个，则实数的取值集合为.14给定函数和，若存在实常数，使得函数和对其公共定义域上的任何实数分别满足和，则称直线为函数和的
3、“隔离直线”. 给出下列四组函数； ； ； ； 其中函数和存在“隔离直线”的序号是 .二、选择题（本大题共有4题，满分20分）； 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，考生应在答题纸相应位置上，选对得 5分，否则一律得零分.15已知都是实数,那么“”是“”的 （ A ） 充分不必要条件 必要不充分条件 充分必要条件 既不充分也不必要条件16平面上存在不同的三点到平面的距离相等且不为零，则平面与平面的位置关系为 （ D ） 平行 相交 平行或重合 平行或相交17若直线与圆没有公共点，设点的坐标，则过点的一条直线与椭圆的公共点的个数为 ( C ) 0 1 2 1或2P1P2P3P4Q
4、1Q2Q3Q418如图，若正方体的棱长为1， 设，（），对于下列命题： 当时，； 当时，有12种不同取值； 当时，有16种不同的取值； 的值仅为. 其中正确的命题是 （ C ） 三、解答题（本大题共有5题，满分74分）；解答下列各题必须在答题纸的相应位置上，写出必要的步骤19（本题共有2个小题，满分12分）；第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分. 已知函数为实数. （1）当时，判断函数在上的单调性，并加以证明； （2）根据实数的不同取值，讨论函数的最小值.解：（1）由条件：在上单调递增.2分任取且 4分， 结论成立 6分（2）当时，的最小值不存在； 7分当时，的最小值为0；9分当时，当且
5、仅当时，的最小值为；12分PABCD20（本题共有2个小题，满分14分）；共有2个小题，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分. 如图，在四棱锥中，底面正方形的边长为， 底面, 为的中点，与平面所成的角为 （1） 求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数表示）； （2）求点到平面的距离解：方法,（1）因为底面为边长为的正方形，底面, 则 平面，所以就是与平面所成的角2分在中，由，得，3分在中，分别取、的中点、，联结、，PABCDEMN则异面直线与所成角或补角4分在中，由余弦定理得，所以，6分即异面直线与所成角的大小为7分（2）设点到平面的距离为，因为，9分所以，得14分方法，（1） 如图
6、所示，建立空间直角坐标系，同方法，得，3分PABCDExyz则有关点的坐标分别为，5分所以，设为异面直线与所成角，则，所以， 即异面直线与所成角的大小为7分（2）因为，设，则由，11分可得，所以14分21（本题共有2个小题，满分14分）；第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分. 一颗人造地球卫星在地球表面上空1630千米处沿着圆形轨道匀速运行，每2小时绕地球旋转一周.将地球近似为一个球体，半径为6370千米，卫星轨道所在圆的圆心与地球球心重合.已知卫星于中午12点整通过卫星跟踪站点的正上空，12:03时卫星通过点.（卫星接收天线发出的无线电信号所需时间忽略不计）（1）求人造卫星在12:03
7、时与卫星跟踪站之间的距离（精确到1千米）； （2）求此时天线方向与水平线的夹角（精确到1分）. 解：（1）设人造卫星在12:03时位于点处，2分 在中，, （千米），5分 即在下午12:03时，人造卫星与卫星跟踪站相距约为1978千米.6分（2）设此时天线的瞄准方向与水平线的夹角为，则， ，9分 即，11分 即此时天线瞄准的方向与水平线的夹角约为.12分22（本题共有3个小题，满分16分）；第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分6分. 已知直线与圆锥曲线相交于两点，与轴、轴分别交于、两点，且满足、.（1）已知直线的方程为，抛物线的方程为，求的值；（2）已知直线：（），椭圆
8、：，求的取值范围；（3）已知双曲线：，试问是否为定点？若是，求出点坐标；若不是，说明理由.解：（1）将，代入，求得点，又因为，2分由 得到，同理由得，所以=.4分（2）联立方程组： 得，又点，由 得到，同理由 得到，=，即，6分, 8分因为，所以点在椭圆上位于第三象限的部分上运动，由分点的性质可知，所以.10分（3）假设在轴上存在定点，则直线的方程为，代入方程得到:, (1)而由、得到： (2) (3) 12分由（1）（2）（3）得到：，所以点，14分当直线与轴重合时，或者，都有也满足要求，所以在轴上存在定点.16分23（本题共有3个小题，满分18分）；第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分8分. 记无穷数列的前项的最大项为，第项之后的各项的最小项为，令 （1）若数列的通项公式为，写出，并求数列的通项公式； （2）若数列的通项公式为，判断是否等差数列，若是，求出公差；若不是，请说明理由；（3）若为公差大于零的等差数列，求证：是等差数列.解：（1）因为数列从第2项起单调递增，所以； 2分当时， 4分（2）数列的通项公式为，递减且.由定义知， 6分，数列递增，即8分 10分（3）先证数列递增，利用反证法证明如下：假设是中第一个使的项，12分与数列是公差大于0的等差数列矛盾.故数列递增.14分 已证数列递增，即，；，16分设若的公差为，则故是等差数列.18分
