1、江苏省前黄高级中学2021届高三第二学期4月月考数学2021年4月一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、已知集合，集合，则中的元素个数为 （ ）A4 B3 C2 D12、已知i是虚数单位，复数，则（ ）A. 25B. 5C. D. 3、2020年4月30日，我国的5G信号首次覆盖了海拔超过8000米的珠穆朗玛峰顶和北坡登山路线。为了保证中国登山队测量珠峰高程的顺利直播，现从甲、乙、丙、丁这4名技术人员中随机安排3人分别去往北坡登山路线中标记I、II、III的3个崎岖路段进行信号检测，若甲没有安排去往标记为I的崎岖路段，则不同的安
2、排方法共有 （ ）A.12种 B. 18种 C.24种 D.6种4、已知等差数列的第5项是展开式中的常数项，则（ ）A.20 B.-20 C.40 D.-405、若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则双曲线的离心率是（ ）A. 2或B.C. D. 6、学生的语文、数学成绩均被评为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有（ ）A2人 B3人 C4人 D5人7、在中，点满足，则的长
3、为（ ）ABCD68、已知定义在上的函数是奇函数，当时，则不等式的解集为（ ）A B C D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9、设，则下列不等式中，成立的是（ ）ABC D10、下列说法正确的是（ ）A.对具有线性相关关系的变量，有一组观测数据其线性回归方程是，且，则实数的值为；B.某人在10次射击中，击中目标的次数为，则当时概率最大；C.已知样本数据的方差是4，则数据的标准差是4；D.已知随机变量，若,则 .11、已知椭圆上有一点分别为其左右焦点，的面积为,则下列说法正确的是（ ）A
4、若，则； B若，则满足题意的点有4个；C若是钝角三角形，则; D椭圆的内接矩形的周长的最小值为1212、在南方不少地区，经常看到人们头戴一种用木片、竹篾或苇蒿等材料制作的斗笠，用来遮阳或避雨，随着旅游和文化交流活动的开展，斗笠也逐渐成为一种时尚旅游产品，有一种外形为圆锥形的斗笠，称为“灯罩斗笠”，根据人的体型、高矮等制作成大小不一的型号供人选择使用，不同型号的斗笠大小经常用帽坡长(母线长)和帽底宽(底面圆直径长)两个指标进行衡量.现有一个“灯罩斗笠”，帽坡长20厘米，帽底宽20厘米，关于此斗笠，下面说法正确的是（ ）A.斗笠轴截面(过顶点和底面中心的截面图形)的顶角为120；B.过斗笠顶点和斗
5、笠侧面上任意两母线的截面三角形的最大面积为100平方厘米；C.若此斗笠顶点和底面圆上所有点都在同一个球上，则该球的表面积为1600平方厘米；D.此斗笠放在平面上，可以盖住的球(保持斗笠不变形)的最大半径为20-30厘米.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、若，则_.14、已知，直线：，：，且，则的最小值为_15、已知xR，符号表示不超过x的最大整数，若函数有且仅有4个零点，则实数a的取值范围是_ 16、Euler公式：（为自然对数的底数，虚数单位）被评为最完美的公式.根据此公式，可得到 ； . 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、
6、已知函数.（1）求函数的最小正周期；（2）将函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移（）个单位长度后得到函数的图像，且函数的最大值为2（）求函数的解析式；（）求证：存在无穷多个互不相同的正整数，使得18、数列的前项和为，已知，（，2，3，）（1）证明：数列是等比数列；（2）求数列的前项和19、如图，是半圆的直径，是半圆上除，外的一个动点，垂直于半圆所在的平面，.（1）证明：平面平面；（2）当点为半圆的中点时，求二面角的余弦值.20、为落实中央“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”的指示精神，小明和小亮两名同学每天利用课余时间进行羽毛球比赛。规定每一局比赛中获胜方记2分，失败方记0分，
7、没有平局，谁先获得10分就获胜，比赛结束。假设每局比赛小明获胜的概率都是。(1)求比赛结束时恰好打了7局的概率；(2)若现在是小明以6：2的比分领先，记X表示结束比赛还需打的局数，求X的分布列及期望。21、 已知抛物线与圆有四个交点分别记为，（1）当时，求实数的取值范围；（2）当时，求四边形面积的最大值，并求出取最大值时实数的值22、已知函数.（1）当时，求的最小值；（2）若对任意恒有不等式成立.证明：.江苏省前黄高级中学2021届高三第二学期4月月考数学2021年4月一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、已知集合，集合，则中的
8、元素个数为 （B ）A4 B3 C2 D12、已知i是虚数单位，复数，则（ D ）A. 25B. 5C. D. 3、2020年4月30日，我国的5G信号首次覆盖了海拔超过8000米的珠穆朗玛峰顶和北坡登山路线。为了保证中国登山队测量珠峰高程的顺利直播，现从甲、乙、丙、丁这4名技术人员中随机安排3人分别去往北坡登山路线中标记I、II、III的3个崎岖路段进行信号检测，若甲没有安排去往标记为I的崎岖路段，则不同的安排方法共有 （ B ）A.12种 B. 18种 C.24种 D.6种4、已知等差数列的第5项是展开式中的常数项，则（ D ）A.20 B.-20 C.40 D.-405、若双曲线的一条渐
9、近线被圆所截得的弦长为，则双曲线的离心率是（ D ）A. 2或B.C. D. 6、学生的语文、数学成绩均被评为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有（ B）A2人 B3人 C4人 D5人7、在中，点满足，则的长为（ A ）ABCD68、已知定义在上的函数是奇函数，当时，则不等式的解集为（ D ）A B C D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有
10、多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9、设，则下列不等式中，成立的是（ ABD ）ABC D10、下列说法正确的是（BC ）A.对具有线性相关关系的变量，有一组观测数据其线性回归方程是，且，则实数的值为；B.某人在10次射击中，击中目标的次数为，则当时概率最大；C.已知样本数据的方差是4，则数据的标准差是4；D.已知随机变量，若,则 .11、已知椭圆上有一点分别为其左右焦点，的面积为,则下列说法正确的是（ ABC ）A若，则； B若，则满足题意的点有4个；C若是钝角三角形，则; D椭圆的内接矩形的周长的最小值为1212、在南方不少地区，经常看到人们头戴一种用木
11、片、竹篾或苇蒿等材料制作的斗笠，用来遮阳或避雨，随着旅游和文化交流活动的开展，斗笠也逐渐成为一种时尚旅游产品，有一种外形为圆锥形的斗笠，称为“灯罩斗笠”，根据人的体型、高矮等制作成大小不一的型号供人选择使用，不同型号的斗笠大小经常用帽坡长(母线长)和帽底宽(底面圆直径长)两个指标进行衡量.现有一个“灯罩斗笠”，帽坡长20厘米，帽底宽20厘米，关于此斗笠，下面说法正确的是（ ACD ）A.斗笠轴截面(过顶点和底面中心的截面图形)的顶角为120；B.过斗笠顶点和斗笠侧面上任意两母线的截面三角形的最大面积为100平方厘米；C.若此斗笠顶点和底面圆上所有点都在同一个球上，则该球的表面积为1600平方厘
12、米；D.此斗笠放在平面上，可以盖住的球(保持斗笠不变形)的最大半径为20-30厘米.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、若，则_.14、已知，直线：，：，且，则的最小值为_.15、已知xR，符号表示不超过x的最大整数，若函数有且仅有4个零点，则实数a的取值范围是_ 16、Euler公式：（为自然对数的底数，虚数单位）被评为最完美的公式.根据此公式，可得到 ； . ； 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、已知函数.（1）求函数的最小正周期；（2）将函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移（）个单位长度后得到函数的图像，且函数的最大值
13、为2（）求函数的解析式；（）求证：存在无穷多个互不相同的正整数，使得解析 （1）因为.所以函数的最小正周期（2（i）将的图像向右平移个单位长度后得到的图像，再向下平移个单位长度后得到的图像又函数的最大值为2，所以，解得所以（ii）要证明存在无穷多个互不相同的正整数，使得，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数，使得，即由知，存在，使得由正弦函数的性质可知，当时，均有因为的周期为，所以当时，均有因为对任意的整数，所以对任意的正整数，都存在正整数，使得即存在无穷多个互不相同的正整数，使得18、数列的前项和为，已知，（，2，3，）（1）证明：数列是等比数列；（2）求数列的前项和解：（1）因为，即，又
14、因为，可得，所以，又，可得，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列（2）由（1）可得，所以，则，则，所以19、如图，是半圆的直径，是半圆上除，外的一个动点，垂直于半圆所在的平面，.（1）证明：平面平面；（2）当点为半圆的中点时，求二面角的余弦值.【解析】（1）证明：是圆的直径，平面，平面，又，平面，四边形是平行四边形，平面，又平面，平面平面.（2）当点为半圆的中点时，以为原点，以，为坐标轴建立空间坐标系如图所示：则，设平面的法向量为，平面的法向量为，则，即，令得，令得.二面角是钝二面角，二面角的余弦值为.20、为落实中央“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”的指示精神，小明和小亮两
15、名同学每天利用课余时间进行羽毛球比赛。规定每一局比赛中获胜方记2分，失败方记0分，没有平局，谁先获得10分就获胜，比赛结束。假设每局比赛小明获胜的概率都是。(1)求比赛结束时恰好打了7局的概率；(2)若现在是小明以6：2的比分领先，记X表示结束比赛还需打的局数，求X的分布列及期望。22、 已知抛物线与圆有四个交点分别记为，（1）当时，求实数的取值范围；（2）当时，求四边形面积的最大值，并求出取最大值时实数的值【解】（1）联立方程组，因为抛物线与圆有4个交点，整理得在有两个不同的解，可得，解得，（2）当时，抛物线的方程为因为圆与抛物线有四个交点，则方程组有四组解，即方程在上有两个不同的解，所以，
16、解得，由抛物线和圆的对称性可知，四边形是梯形，设四边形的面积为，则，因为，是方程的两个不同的解，则，则，设，则，则构造函数，则，时，时，则函数在上单调递增，在上单调递减因此当时，函数取得最大值，为，故时，取得最大值，为22、已知函数.（1）当时，求的最小值；（2）若对任意恒有不等式成立.证明：.【解析】（1）法一：的定义域为，由题意，令，得，令，所以在上为增函数，且，所以有唯一实根，即有唯一实根，设为，即，所以在上为减函数，在上为增函数，所以.法二：.设，则.记.故最小值即为最小值.，当时，单调递减，当时，单调递增，所以，所以的最小值为.（2）当时，单调递增，值域为，不适合题意，当时，由（1）可知，设，所以，当时，单调递增，当时，单调递减，所以，即.由已知，恒成立，所以，所以，所以.可知，因此只需证：，又因为，只需证，即，当时，结论成立，当时，设，当时，显然单调递增.，故单调递减，即.综上结论成立.
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