1、第 五 章 三 角 函 数 5.4.1正弦函数、余弦函数的图象将角的弧度视为自变量x，角的三角函数值为y，则函数y=sin x叫做正弦函数，函数y=cos x叫做余弦函数，二者的定义域均为R。正弦函数、余弦函数的定义单位圆上任意一点在圆周上旋转一周就回到原来的位置:xxxxcos)2cos(,sin)2sin(2,0,sinxxy自变量每增加(减少)2，正/余弦函数值将重复出现.2,0,cosxxy弧度角唯一确定正弦值1-1?3sin,3:准确地作点在直角坐标系中如何较思考3sin,3yOx67sin,67点探究1：y=sinx,x0,2的图象67sin,67探究1：y=sinx,x0,2的图
2、象作法:(1)12等分(圆周/x轴)；(2)平移；(3)描点；(4)连线五点法:正弦曲线 sin(x+k2)=sinx,kZ 图象左、右依次平移2个单位长度2,0,sinxxyRxxy,sin探究2：y=sinx,xR的图象探究3：y=cosx,xR的图象余弦函数的图象 正弦函数的图象 正弦曲线 余弦曲线 Rxxxy,2sincos2左移Rxxy,sinx6o-12345-2-3-41要点1：五点作图正/余弦函数的图象1.正弦函数y=sinx,x0,22.余弦函数y=cosx,x0,21,231,2)1,0(1,)1,2(x6o-12345-2-3-41x6yo-12345-2-3-413.正
3、弦函数y=sin x,xR4.余弦函数y=cos x,xR要点2：图象的简单变换(1)y=1+sinx,x0,2(2)y=cosx,x0,2y=sinx,x-,y=2cosx,x-,(3)y=|sinx|,xR上下平移关于x轴翻折x轴下方的向上翻折上下平移x轴下方的向上翻折Key：抓住“五点”变换x6o-12345-2-3-41x6yo-12345-2-3-41要点3：活用图象解不等式._cossin,)2,0(.1的取值范围是成立的使内在xxx 454,cossin,2,0或时内在xxxyxxysinxycos._cossin上的解集是在变式Rxx)2,45()4,0(,24524|Zkkx
4、kx要点3：活用图象解不等式._1sin2.2的定义域是xy.21sin01sin2xx得由,26526|Zkkxkx._21cos2的解集是的不等式关于变式xx._21)32sin(1的解集是的不等式关于变式 xx265,2632kkxt,412|Zkkxkx21sin t,323|Zkkxkx23,2,cosxxy要点3：活用图象图象交点/方程的解._232,0,sin1.3个交点有与直线 yxxy2的解的个数在方程2,023sin1x的解的个数在方程2,021sinx._sinlg1个的解的个数为方程变式xx 3,2,2,sin2sin)(2xxxxf已知变式0sin,sin0sin,s
5、in3)(xxxxxf.,4)(kxfky求个不同的交点的图象有与若直线 第 五 章 三 角 函 数 5.4.2正弦函数、余弦函数的性质x6yo-12345-2-3-41y=cos x,xRx6yo-12345-2-3-41y=sin x,xR正弦曲线余弦曲线正/余弦函数值具有“周而复始”的变化规律；.,2:图象重复出现每隔图象.sin)2sin(:xkx公式.,2函数值相等的整数倍增减 x周期性1.周期性(1)周期函数：设函数f(x)的定义域为D，若存在一个非零常数T，使得对每个xD时都有x+TD，且f(x+T)=f(x)，则函数f(x)叫周期函数；非零常数T叫做这个函数的周期.思考1：根据
6、上述定义，说说正弦函数f(x)=sinx的周期是什么?,6,4,2,6,4,2sin)(及的周期可为xxf)0(2sin)(kZkkxxf且的周期是.2,最小正周期是的一个周期吗？是则思考Rxxy,sin32,6sin)326sin(:2.sin)32sin(,.不恒成立不是xxRx1.周期性(1)周期函数：设函数f(x)的定义域为D，若存在一个非零常数T，使得对每个xD时都有x+TD，且f(x+T)=f(x)，则函数f(x)叫周期函数；非零常数T叫做这个函数的周期.2),0(2,cossin最小正周期是且周期是是周期函数和kZkkxyxy周期函数的周期不唯一.若f(x)的所有周期中存在一个最
7、小正数，则该最小正数叫f(x)的最小正周期.)()(,)(ZnnTxfTxf的周期可为则的最小正周期为若)()(xfnTxf)()(xfTxf.4)621sin(2 的周期为xy求三角函数的周期定义法.2sin3,sin3)2sin(3,)1(:的周期为解xyxxRx),()(,2cos)()2(xfTxfTxxf则的周期为设,2cos)(2cosxTx即,2cos)22cos(xTx即.,22TT.2cos的周期为xy),()(,)621sin(2)()3(xgTxgTxxg则的周期为设),621sin(26)(21sin2xTx即.4,221TT三角函数的周期公式法.4)621sin(2
8、的周期为xy.2sin3的周期为xy.2cos的周期为xy:)cos()sin(的周期或wxAywxAy)sin()sin()(sin,)()(wxAwTwxATxwAxfTxf得由,2wT.2wT.2cossinwTwxAywxAy的最小正周期为或求三角函数的周期公式法、图象法.2cossinwTwxAywxAy的最小正周期为或._,56cos)(1wwxxf则的最小正周期为函数练习Tw210._,5)0(6cos)(wwwxxf则的最小正周期为._sin2的周期为练习xy 10._sinln3的解的个数是方程练习xx4图象法._2cos的周期为xy 2利用函数周期求值,2)(数为最小正周期
9、的周期函上以是设函数例Rxf._)2021(_,)27(_,)3(,)1()(,2,02fffxxfx则时且.41)21()27(,0)3()1(fff结合图象知法),()2()2(xfxf法.0)11()1()21()3(2fff.41)123()23()223()27(2fff),()2(),()2(xfnxfxfxf.0)11()1()101021()2021(2 fffKey：利用周期定义将数化到已知区间抽象函数的周期)()(TxfTxf.)()()(TxfxfTxf的周期为)()2(,:xfTxfxTx得替换用析)()()()2(,:xfxfTxfTxfxTx得替换用析.2)(Txf
10、的周期为)()(xfTxf.2)(Txf的周期为)(1)(xfTxf.2)(Txf的周期为)()(11)(1)2(,:xfxfTxfTxfxTx得替换用析抽象函数的周期._)2017(,2)1(),2()()4(,)(1fffxfxfRxRxf则若都有对任意上的奇函数是练习0)2(f)()(xfxf奇函数)2()2()2(2fffx令0)2()2(ff)()4(xfxf4周期为2)1()1()50541()2021(ffff2)()4(xfnxf抽象函数的周期._)2022()3()2()1(;1|1|)(,2,0),()4()(2ffffxxfxxfxfxfR则时当满足上的奇函数练习1)1(
11、)41()3(fff0)2(1)1(ff0)2()42()4(fff)2022()2021()4()3()2()1(505ffffff)2()1(0505ff10和为2.奇偶性为偶函数Rxxy,cos图象关于原点对称轴对称图象关于y)(sin)sin()(xfxxxf)(cos)cos()(xfxxxf为奇函数Rxxy,sin奇函数偶函数奇函数)(cossin)cos()sin()(xfxxxxxf奇函数)232cos()5(xy1)2sin()6(xy.,2sin为奇函数化简得xy.,1cos为偶函数化简得xy.cos;sin为偶函数为奇函数wxywxy3.单调性x223223O232253
12、1125y:23,2sin上的单调性在一个周期xy23,2;2,2减区间为增区间为 Zkkk,22,22:增区间Zkkk,223,22:减区间:sin上的单调性在Rxy x2223O232253112523yZkkk,2,2:增区间Zkkk,2,2:减区间:cos上的单调性在Rxy 3.单调性相同其单调性与时xyAxAysin,)0(sin相反其单调性与时xyAxAysin,)0(sin3.单调性y=Asin(wx+)或y=Acos(wx+)._)62sin(的单调递增区间为xy.62sin:复合而成和原函数由析xttyu 复合函数的单调性：若原函数y=fg(x)由内层函数t=g(x)和外层函
13、数y=f(t)复合而成.则原函数的单调性满足“同增异减”原则.内外层在I上单调性同，则原函数在I上增；内外层在I上单调性不同，则原函数在I上减.外或内外内外或内外内.log2332复合而成和由tyxxtu 复合函数的单调性：“同增异减”原则|1|2:xy如.2|1|复合而成和由tyxt原外内时,)1,(x原外内时,),1(x)23(log:23xxy如原外内时,)1,(x原外内时,),2(x复合而成和由tyxxt32log233.单调性y=Asin(wx+)或y=Acos(wx+)tyxtsin:62:外内)sin(的增区间求求原函数的增区间ty Zkkxk,226222令Zkkxk,63解得
14、Zkkkxy,6,3)62sin(的单调递增区间为Zkkkt,22,22令:解.)62sin(1的单调递增区间求例xy:原3.单调性y=Asin(wx+)或y=Acos(wx+)tyxtsin:62:外内Zkkxk,226222令Zkkxk,63解得Zkkkxy,6,3)62sin(的单调递增区间为Zkkkt,22,22令:解.)62sin(1的单调递增区间求例xy:原“同增异减”.)23sin(1的单调递增区间求变式xy3.单调性y=Asin(wx+)或y=Acos(wx+)._)23sin(1的单调递增区间为变式xy.,2232322Zkkxk令Zkkxk,12127解得Zkkk,12,1
15、27:解._)3cos(2的单调递增区间为变式xy)3cos(xyZkkk,23,234tyxtsin:32:外内Zkkkt,223,22令:原是由y=cosx左移/33.单调性y=Asin(wx+)或y=Acos(wx+).,2232122:Zkkxk令解.,43,435Zkkkx解得;2,23,35,1xk得令.3,352,2),321sin(的增区间为xxy:原外内cos求完整增区间I赋k,求I与-2,2的交集3.单调性y=Asin(wx+)或y=Acos(wx+).,2422:Zkkxk令解.,83,8Zkkkx解得83,0,083,8,0 xk得令.,8783,0,0),42cos(
16、3和的减区间为xxycos:原外内,87,0811,87,1xk得令求完整减区间I赋k,求I与0,的交集3.单调性比较大小,0,2sin)1(:上递增在析xy).10sin()18sin(,101853cos523cos)523cos()2(4cos417cos)417cos(,5340,0cos上递减在xy)523cos()417cos(,53cos4cos即用诱导公式把角化正&化小，化到同一单调区间内 3.单调性y=Asin(wx+)或y=Acos(wx+).)62sin(log321的单调递增区间求变式xy:)62sin(:log:21原内外xtty0)62sin(xt.,26222Zk
17、kxk令62sinxuut4.最值.1,1,sin的值域为Rxxy1,1,cos的值域为Rxxy._时取最大值x._时取最小值x)(22Zkk)(22Zkk._时取最大值x._时取最小值x)(2ZkkZkk,12Zkkx,2对称轴为Zkk),0,(对称中心为Zkkx,对称轴为Zkk),0,2(对称中心为三角函数在对称轴取得最大或最小值4.最值求R上的值域._2sin3.1的值域为函数xy3,3._)62cos(3的值域为函数变式xy3,3.)(,)32cos(23)(.2的集合取得最大值时并求出的值域求xxfxxf.5,1)(,1,1)32cos(,:的值域为解xfxRx,232,5)(,1)
18、32cos(maxkxxfx此时时当.,3|Zkkxx的集合为取得最大值时解得xxf)(._2,1,3)0(sinBARBxBAy则最小值为上的最大值为在变式1,1cost1,1sint4.最值求指定区间上的值域(整体法).4,4,32sin21的取值的最值及对应的求变式xxxy,6,6532,4,4:xx解;21)1(21)2sin(21,12,232minyxx时即当.4121216sin21,4,632maxyxx时即当的值域求4,0,32sin2.3xxy,65,332,4,0:xx解,1,21)32sin(x.2,1值域为y=sint的图象,结合正弦曲线知4.最值求指定区间上的值域(
19、换元法).1cos4cos2)(.42上的值域在求函数Rxxxf的值域则原函数的值域等价于则令解1,1,142)(,1,1,cos:2ttttgtxt,112)(2 ttg1,1t.7)1()(,1)1()(maxmingtggtg.7,1)(的值域为xf.)2,2(,cossin)(2的值域求函数变式xxxxf).2,2(,1coscos)(2xxxxf的值域1,0(,1)(2ttttg换元习题课求三角函数的对称轴或对称中心基础知识：y=sinx的对称轴为对称中心为Zkkx,2Zkk),0,(Zkkx,Zkk),0,2(y=cosx的对称轴为对称中心为y=tanx的对称中心为Zkk),0,2
20、(._43cos的对称轴为例xy._32sin的对称中心为变xy正余弦函数在对称轴处取得最值,43kx则.,312Zkkx解得,1)43cos(x令,32kx则,0)32sin(x令Zkkx,312Zkkx,26解得Zkk),0,26(求三角函数的对称轴或对称中心基础知识：y=sinx的对称轴为对称中心为Zkkx,2Zkk),0,(Zkkx,Zkk),0,2(y=cosx的对称轴为对称中心为y=tanx的对称中心为Zkk),0,2(:)cos()sin(.1对称中心的对称轴或求orwxAywxAy正余弦函数在对称轴处取得最值Zkkwx,2令Zkkwx,令Zkkwx,令Zkkwx,2令求x得对称
21、轴求x得对称中心:)tan(.2的对称中心求wxAyZkkwx,2令求x得对称中心注对称轴应写为“x=,kZ”，对称中心应写为“(,0),kZ”求三角函数的对称轴或对称中心)(,42sin)(.5225下列正确的是已知函数xxfP对称的图象关于直线8)(.xxfB10)44sin()8(f,242kx令Zkkx,283解得对称的图象关于点)0,85()(.xfC0sin)445sin()85(f上单调递增在83,8)(.xfD83,8,42:xxt内2,2,sin:tty外:原上单调递增在改83,8)(xf85,8,42:xxt内,0,sin:tty外:原三角函数的对称性与奇偶性._,)0)(
22、3sin(1的最小值为则对称关于直线若曲线例wxwwxykwx23:析wkwx 6对称轴为kkw6166161min w)0,(wZk._,)0)(2sin(则上的偶函数是若函数变式Rxy._,)0)(2sin2则上的奇函数是若函数例Rxy02sin)0(:f析k 22 k22 1sin)0(:f析三角函数的单调性.,2)4,3)0(sin2.11-225的最小值求上的最小值为在函数wwwxyP23,3)0(sin2上的最小值为在wwxy3334:T临界342:wT放缩周期.23w得)3(取得最小值刚好在三角函数的单调性.,3,0)0(cos2)(.12-225的范围求上单调在函数wwwxxf
23、P3332:T临界322:wT放缩周期.30 w得)3,0)(的减区间刚好为xf第 五 章 三 角 函 数 5.4.3正切函数的性质与图象)(2Zkkxx正切函数y=tanx的性质1.定义域:3.周期性:xxtan)tan(T)(ZkkT xkxtan)tan(xxtan)tan(2.奇偶性:奇函数4.图象:00tanxyx 正切函数y=tanx的图象BBxyx tan,根据定义OMBMOAATATxATxtan,)2,0时当正切函数y=tanx的性质220 xy1-12323)(2,tanZkkxxyZkkk),2,2(单调递增区间为4.图象:5.单调性:无最值 正切函数y=tanx的性质Z
24、kkk),2,2(单调递增区间为4.图象:5.单调性:6.对称中心：Zkk),0,2(无最值 运用：解不等式Zkkk),2(3tan)3(xZkkk,2,3142tan)4(x,),4,2(42Zkkkx.),2,283(Zkkkx运用：正切函数的性质),(232:Zkkx令解),(312Zkkx解得.,312|Zkkxx函数的定义域为).()(,)32tan()(xfTxfTxxf则的周期为设3)(2tan)32tan(Txx即)232tan(Tx,2 T.2Ttan)tan(|)tan(wTwxAy的周期为运用：正切函数的性质得由解)(242:Zkkx,312|Zkkxx定义域为.22 T
25、最小正周期为得由kxk2322kxk231235Zkkk),231,235(函数的单调增区间为运用：正切函数的性质.)321tan(的单调区间求变式xy321:xu内uytan:外:原.,23212:Zkkxk令解.,23235Zkkxk解得Zkkk),235,23(单调减区间为1.1.01.10.).(,)2,2(tan1wDwCwBwAwxy则内是减函数在若函数练习.1|,|时符合题意即则wwT.011|0www即由:tan:原外内uywxu22)0(tanwwxy.,2,2tanTwxy时的单调减区间恰为当B0w._,)4,6()0(tan2的最大值为则上单调递增在已知函数练习wwwxy.20,2|时符合题意即则wwT上单调递增在即)4,4(tanwxy244.2,4,4tanTwxy时的单调增区间恰为当FIGHTING
