1、第05讲二元一次方程（组）及其解法（核心考点讲与练）一二元一次方程的定义（1）二元一次方程的定义含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程（2）二元一次方程需满足三个条件：首先是整式方程方程中共含有两个未知数所有未知项的次数都是一次不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程二二元一次方程的解（1）定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解（2）在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值，所以二元一次方程有无数解（3）在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给
2、出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值三解二元一次方程二元一次方程有无数解求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值四二元一次方程组的解（1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解（2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数五解二元一次方程组（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤
3、：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程解这个一元一次方程，求出x（或y）的值将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值把求得的x、y的值用“”联立起来，就是方程组的解（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程解这个一元一次方程，求得未知数的值将求出的未知数的
4、值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示一二元一次方程的定义（共2小题）1（上城区期末）下列各式是二元一次方程的是（）A2x2+y0BCxyD【分析】根据二元一次方程的定义，依次分析各个选项，选出是二元一次方程的选项即可【解答】解：A该方程是二元二次方程，不符合二元一次方程的定义，不是二元一次方程，即A选项不合题意；B是分式方程，不符合二元一次方程的定义，不是二元一次方程，即B选项不合题意；C不符合二元一次方程的定义，不是二元一次方程，即C选项不合题意；D符合二元一次方程的定义，是二元一次方程，即D选项符合题意故选：
5、D【点评】本题考查了二元一次方程的定义，解决本题的关键是注意二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程2（文山市期末）若3x2m3y2n15是二元一次方程，则m2，n1【分析】利用二元一次方程的定义判断即可【解答】解：3x2m3y2n15是二元一次方程，2m31，2n11，解得：m2，n1，故答案为：2；1【点评】此题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解本题的关键二二元一次方程的解（共6小题）3（嘉兴）已知二元一次方程x+3y14，请写出该方程的一组整数解（答案不唯一）【分析】把y看做已知数求出x，
6、确定出整数解即可【解答】解：x+3y14，x143y，当y1时，x11，则方程的一组整数解为故答案为：（答案不唯一）【点评】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值4（上虞区期末）二元一次方程2x+y7中，若x2，则y的值是（）A3B11C3D11【分析】根据方程的解的定义解决此题【解答】解：当x2时，22+y7y3故选：A【点评】本题主要考查方程的解的定义，熟练掌握方程的解的定义是解决本题的关键5（丽水月考）若是二元一次方程2x+y0的一个解（a0），则下列结论错误的是（）Aa，b异号B2C26a3b2D满足条件的数对（a，b）有无数对【分析】将代入二元一次方
7、程2x+y0，得到关于ab的关系式，然后对每个选项做出判断即可得出符合题意的选项【解答】解：将代入二元一次方程2x+y0得：2a+b0b2aa0，a，b异号A选项不符合题意；b2a，B选项符合题意；26a3b23（2a+b）202，C选项不符合题意；方程2a+b0有无数组解，满足条件的数对（a，b）有无数对D选项不符合题意错误的结论是：B故选：B【点评】本题主要考查了二元一次方程的解，求代数式的值，有理数的混合运算将方程的解代入原方程是解题的关键6（江北区期末）已知是方程3x+by8的解当a2时，请分别求出b和9a2+6ab+b2+1的值【分析】将a2代入方程即可求出b值，把代数式9a2+6a
8、b+b2+1变形为（3a+b）2+1，然后计算【解答】解：把xa，y1代入方程3x+by8，得3a+b8，a2，b2；3a+b8，9a2+6ab+b2+1（3a+b）2+182+165【点评】本题主要考查公式法分解因式，把（3a+b）作为一个整体是解题的关键，而9a2+6ab+b2+1也需要运用公式变形以便计算7（长兴县月考）已知二元一次方程3x+2y19（1）用关于x的代数式表示y；（2）写出此方程的正整数解【分析】（1）先将含x的项移到等式右边，再两边都除以2即可得；（2）取x1，3，5分别得到y的值即可【解答】解：（1）3x+2y19，2y193x，y，（2）当x1时，y8；当x3时，y
9、5；当x5时，y2正整数解为，【点评】此题考查的是二元一次方程的解，能够让一个未知数表示另一个未知数是解决此题关键8（南浔区期末）定义一种新的运算：ab2ab，例如：3（1）23（1）7若ab0，且关于x，y的二元一次方程（a+1）xbya+30，当a，b取不同值时，方程都有一个公共解，那么这个公共解为【分析】根据“ab2ab，ab0”得到b2a，代入方程（a+1）xbya+30得到（x2y1）a3x，根据“当a，b取不同值时，方程都有一个公共解”，得到关于x、y的方程组，解之即可【解答】解：ab2ab，ab0，2ab0，即b2a，则方程（a+1）xbya+30可转化为（a+1）x2aya+3
10、0，则（x2y1）a3x，当a，b取不同值时，方程都有一个公共解，解得，故答案为：【点评】本题考查了新定义和二元一次方程的解，解题的关键是得到关于x、y的方程组三解二元一次方程（共3小题）9（路北区期末）已知二元一次方程4x+5y5，用含x的代数式表示y，则可表示为（）Ayx+1Byx1Cyx+1Dyx1【分析】根据等式的性质，等式两边减去4x，得5y54x等式两边同时除以5，得y1，即y，故选A【解答】解：4x+5y5，5y54xyy1即y故选：A【点评】本题主要考查利用等式的性质对等式进行变形，熟练掌握等式的性质是解题的关键10（白银期末）已知2x3y1，用含x的代数式表示y，则yx【分析
11、】首先移项、然后系数化1，继而可求得答案【解答】解：2x3y1，3y2x1，解得：yx故答案为：x【点评】此题考查了二元一次方程的知识此题比较简单，注意掌握解方程的步骤11（宁波期末）已知等式：；2x5yx；3x5y0；，其中可以通过适当变形得到3x5y的等式是（填序号）【分析】对每一个等式进行变形可得：方程两边同时乘15，得5x3y；移项、合并同类项得，3x5y；移项，得3x5y；先去分母，再移项、合并同类项得，3x5y【解答】解：，方程两边同时乘15，得5x3y，不符合题意；2x5yx，移项、合并同类项得，3x5y，符合题意；3x5y0，移项，得3x5y，符合题意；，方程两边同时乘以3y，
12、得3x3y2y，移项、合并同类项得，3x5y，符合题意；故答案为：【点评】本题考查二元一次方程的解，熟练掌握等式的基本性质，灵活对等式进行变形是解题的关键四二元一次方程组的解（共8小题）12（长兴县月考）若是下列某二元一次方程组的解，则这个方程组为（）ABCD【分析】运用代入排除法进行选择或分别解每一个方程组求解【解答】解：A、x2，y1不是方程x+3y5的解，故该选项不合题意；B、x2，y1不是方程组中每一个方程的解，故该选项不合题意C、x2，y1不是方程组中每一个方程的解，故该选项不合题意；D、x2，y1适合方程组中的每一个方程，故本选项符合题意；故选：D【点评】此题考查了方程组的解的定义
13、，即适合方程组的每一个方程的解是方程组的解13（南浔区期末）已知是二元一次方程组的解，则a3b的值为（）A2B2C4D4【分析】把代入方程组得到关于a、b的方程组，再将两个方程相减即可得到a3b的值【解答】解：把代入方程组可得：，得a3b2故选：A【点评】本题考查二元一次方程组的解，能得出关于a、b的方程组是解题的关键14（上城区期末）已知方程组，下列说法正确的有（）个a2+b212；（ab）28；A1B2C3D4【分析】根据完全平方公式进行变形，利用整体代入思想即可进行计算【解答】解：因为方程组，a2+b2（a+b）22ab42412，故正确；（ab）2（a+b）24ab4288，故正确；+
14、2，故正确；+6，故正确故选：D【点评】本题考查了二元一次方程组的解，解决本题的关键是利用完全平方公式进行变形15（嵊州市期末）关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x+y16的解，则k的值为1【分析】将方程组中两个方程相加得，2x14k，相减得2y4k，再由2x+y16，即可求k【解答】解：，+得，2x14k，得，2y4k，y2k，2x+y16，16k16，k1，故答案为1【点评】本题考查二元一次方程组的解，通过观察方程之间的关系，灵活处理方程组是解题的关键16（萧山区期末）若是方程组的解，则a与c的关系是9a4c23【分析】将x、y的值代入方程组得到，然后计算32即可得出答案【解
15、答】解：根据题意知，32，得：9a4c23，故答案为：9a4c23【点评】本题主要考查二元一次方程组的解，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数17（饶平县校级期末）已知的解是，求的解为【分析】把x3，y4代入第一个方程组，可得关于a1，b1方程组，两方程同时乘5可得出，再结合第二个方程组即可得出结论【解答】解：把代入方程组得：，方程同时5，得：，方程组的解为故答案为：【点评】本题考查了二元一次方程组的解，发现两方程组之间互相联系是解题的关键18（下城区期中）已知关于x，y的方程组，则下列结论中正确的是当a1
16、时，方程组的解是；当x，y的值互为相反数时，a20；若z（x20）y，则z存在最小值为25；若22a3y27，则a2；不存在一个实数a使得xy【分析】先解方程组，用含a的代数式分别表示x，y，再根据条件分别代入求解【解答】解：，3得：y15a，把代入得：x25aa1时，x24，不符合题意x，y的值互为相反数时15a+25a0，解得a20，符合题意z（x20）y（25a20）（15a）a220a+75（a10）225，当a10时z有最小值25，符合题意若22a3y27，则2a3y7，即2a3（15a）7，解得a，不符题意解方程15a25a，无解，符合题意故答案为：【点评】本题考查二元一次方程组的
17、解，解题关键是熟练掌握二元一次方程组的计算方法19（萧山区校级期中）已知关于x，y的方程组与有相同的解，求（a+b）2020的值【分析】把只含x，y的两个方程联立，求出x，y的值，代入其余的两个方程，得到关于a，b的方程组，解方程组求得a，b的值，代入代数式求值即可【解答】解：联立，解得：，把x，y的值代入其余的两个方程得：，解得：，则原式（12）2020（1）20201【点评】本题考查了二元一次方程组的解，把只含x，y的两个方程联立，求出x，y的值是解题的关键五解二元一次方程组（共12小题）20（嘉兴期末）用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中能消元的是（）A2+B2C3+D（3）【分析
18、】根据2+得出5x4y23，即可判断A；根据2得出x5，即可判断B；根据3+得出6x5y30，即可判断C；根据（3）得出6xy3，即可判断D【解答】解：A，2+，得5x4y23，不能消元，故本选项不符合题意；B，2，得x5，能消元，故本选项符合题意；C，3+，得6x5y30，不能消元，故本选项不符合题意；D，（3），得6xy30，不能消元，故本选项不符合题意；故选：B【点评】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键21（奉化区校级期末）已知关于x、y的方程组的解是，则关于x、y的方程组的解是（）ABCD【分析】仿照已知方程组的解，确定出所求方程组的解即可【
19、解答】解：关于x、y的方程组的解是，关于x、y的方程组，即的解为，即，故选：B【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法22（柯城区校级模拟）若a+2b5，3a+4b13，则a+b的值为4【分析】先得出方程组，2得出a3，求出a，再把a3代入求出b即可【解答】解：根据题意得：，2，得a3，解得：a3，把a3代入，得3+2b5，解得：b1，所以a+b3+14，故答案为：4【点评】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键23（拱墅区校级期中）在关于x、y的方程组中，未知数满足x、y0，那么m的取值范围是m【分析】
20、把m看作已知数表示出方程组的解，根据x与y大于0，求出m的范围即可【解答】解：，2得：3x9m+6，解得：x3m+2，把x3m+2代入得：3m+2+2y8m，解得：y32m，x0，y0，解得：m故答案为：m【点评】此题考查了解二元一次方程组，以及解一元一次不等式组，熟练掌握各自的解法是解本题的关键24（2021海曙区模拟）已知方程组，则y的值为1【分析】应用加减消元法，求出y的值是多少即可【解答】解：，可得2y2，解得y1故答案为：1【点评】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，要熟练掌握，注意代入消元法和加减消元法的应用25（萧山区模拟）设M2x3y，N3x2y，Pxy若M5，N0，则P6【
21、分析】根据题意得到关于x、y的方程组，利用加减消元法求得方程组的解，即可求得P的值，【解答】解：由题意得，+得5x5y5，即xy1，2得y3，解得y3，把y3代入得，x2，Pxy2（3）6，故答案为6【点评】本题考查了解一元二次方程组，解方程组的方法有加减消元法和代入消元法26（上虞区期末）解二元一次方程组时，为快速求出未知数y的值，宜采用加减法消元【分析】要求出y的值，观察得两方程中x系数相等，故相减即可求出【解答】解：解二元一次方程组时，为快速求出未知数y的值，宜采用加减法消元故答案为：加减【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法27（浦江
22、县期末）解方程组：（1）；（2）【分析】（1）应用代入消元法，求出方程组的解是多少即可（2）应用加减消元法，求出方程组的解是多少即可【解答】解：（1），由，可得：x0.6y，代入，可得：0.6yy4，解得y10，把y10代入，解得x6，原方程组的解是（2），7，可得19m19，解得m1，把m1代入，解得n1，原方程组的解是【点评】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用28（永嘉县校级期末）解下列方程组：（1）；（2）【分析】（1）把代入，用代入消元法解即可；（2）先将原方程组化简，再用加减消元法解即可【解答】解：（1），把代入得：3x8（3x）9，x3，把x3代
23、入得：y0，原方程组的解为；（2）原方程组化简为，得：2x4，x2，把x2代入得：y，原方程组的解为【点评】本题考查了解二元一次方程组，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元一次方程组转化为一元一次方程是解题的关键29（嘉兴二模）解方程组：小海同学的解题过程如下：判断小海同学的解题过程是否正确，若不正确，请指出错误的步骤序号，并给出正确的解题过程【分析】第（1）步，移项没有变号，第（2）步没有用乘法分配律，去括号也错误了，第（3）步移项没有变号，写出正确的解答过程即可【解答】解：错误的是（1），（2），（3），正确的解答过程：由得：y5x把代入得：3x10+2x6，解得：，把代入得：，此方程
24、组的解为【点评】本题考查了二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元方程转化为一元方程是解题的关键30（太康县期末）解下列方程（组）：（1）4；（2）【分析】（1）方程整理后，去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解；（2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可【解答】解：（1）方程整理得：5x+52x+24，移项合并得：3x3，解得：x1；（2）方程组整理得：，把代入得：7y+3y4，解得：y1，把y1代入得：x7，则方程组的解为【点评】此题考查了解二元一次方程组，以及解一元一次方程，熟练掌握各自的解法是解本题的关键31（奉化区校级期末）已知关于x，y的二元一
25、次方程组（a为实数）（1）若方程组的解始终满足ya+1，求a的值；（2）已知方程组的解也是方程bx+3y1（b为实数，b0且b6）的解探究实数a，b满足的关系式；若a，b都是整数，求b的最大值和最小值【分析】（1）方程组消去x表示出y，代入y2a1中计算即可求出a的值；（2）表示出方程组的解，代入bx+3y1中计算即可求出a与b的关系式；由a与b的关系式表示出b，根据a，b为整数确定出b的最大值与最小值即可【解答】解：（1），得：3y6a3，即y2a1，把y2a1代入ya+1中得：2a1a+1，解得：a2；（2）把y2a1代入方程组第一个方程得：xa+2，方程组的解为，代入bx+3y1得：ab
26、+2b+6a31，即ab+6a+2b4；由ab+6a+2b4，得到b6，a，b都是整数，a+21，2，4，8，16，当a+21，即a1时，b取得最大值10；当a+21，即a3时，b取得最小值22【点评】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键题组A 基础过关练一选择题（共8小题）1（萧山区校级期中）下列四组数值是二元一次方程2xy6的解的是（）ABCD【分析】把各项中x与y的值代入方程检验即可【解答】解：A把代入方程2xy6得：左边242，右边6，左边右边，不是方程的解，不符合题意；B把代入方程2xy6得：左边826，右边6，左边右边，是方程的解，符合题意；C把代入方程2xy
27、6得：左边440，右边6，左边右边，不是方程的解，不符合题意；D把代入方程2xy6得：左边431，右边6，左边右边，不是方程的解，不符合题意；故选：B【点评】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值2（来凤县期末）已知关于x，y的方程组和的解相同，则（a+b）2021的值为（）A0B1C1D2021【分析】联立不含a与b的方程组成方程组，求出方程组的解得到x与y的值，进而求出a与b的值，即可求出所求【解答】解：联立得：，5+3得：29x58，解得：x2，把x2代入得：y1，代入得：，解得：，则原式（2+2）20210故选：A【点评】此题考查了二元一次方程组的解，
28、以及解二元一次方程组，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值3（镇海区期中）|x+2y3|+|xy+3|0，则xy的值是（）A1B1CD2【分析】根据绝对值的非负性得出方程组，求出方程组的解，再求出答案即可【解答】解：|x+2y3|+|xy+3|0x+2y30且xy+30，即，得3y6，解得：y2，把y2代入，得x23，解得：x1，xy（1）21，故选：B【点评】本题考查了绝对值的非负性和解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键4（黄石期末）二元一次方程组的解为（）ABCD【分析】方程组利用加减消元法求出解即可【解答】解：方程组整理得：，+得：3x9，解
29、得：x3，把x3代入得：y2，则方程组的解为故选：A【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法5（潢川县期末）由方程组可得x与y的关系式是（）A3x7+3mB5x2y10C3x+6y2D3x6y2【分析】方程组消去m即可得到x与y的关系式【解答】解：，2得：3x6y2，故选：D【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法6（奉化区校级期末）用加减法解方程组时，方程+得（）A2y2B3x6Cx2y2Dx+y6【分析】方程组两方程相加消去y得到结果，即可作出判断【解答】解：用加减法解方程组时，方程+得：3
30、x6故选：B【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法7（西湖区校级三模）解方程组加减消元法消元后，正确的方程为（）A6xy4B3y2C3y2Dy2【分析】方程组中两方程相减即可得到结果【解答】解：，得：3y2故选：B【点评】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键8（西湖区校级期末）若是的解，则有（）A4b9a7B9a+4b+70C3a+2b1D4b9a+70【分析】先把解代入方程组，再消去字母c即得结论【解答】解：把方程的解代入方程组，得，3+2，得9a4b79a+4b+70故选：B【点评】本题考查了解二元一次方程组，理解方
31、程组的解是解决本题的关键二填空题（共6小题）9（鹿城区校级期中）已知y2x6，用含x的代数式表示y，则y2x+6【分析】把x看做已知数求出y即可【解答】解：方程y2x6，解得：y2x+6故答案为：2x+6【点评】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看做已知数求出y10（丽水月考）若（m2）x2y|m1|3是关于x，y的二元一次方程，则m0【分析】直接根据二元一次方程的定义解答即可【解答】解：根据题意，得m20，|m1|1，解得：m0故答案为：0【点评】此题考查的是二元一次方程的定义，掌握其定义是解决此题关键11（奉化区校级期末）已知关于x，y的方程组的解互为相反数，则常数a的值为15【分
32、析】求出2x+2ya15，根据已知得出a150，求出即可【解答】解：得：2x+2ya15，关于x，y的方程组的解互为相反数，x+y0，即2x+2y0，a150，a15，故答案为15【点评】本题考查了二元一次方程组的解，关键是能得出关于a的方程12（奉化区校级期末）已知（m为常数），则xy【分析】把两个式子的左右两边分别相加，求出xy的值是多少即可【解答】解：+，可得2x2y1，xy故答案为：【点评】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，要熟练掌握，注意代入消元法和加减消元法的应用13（涟水县期末）已知二元一次方程组，则2a+4b6【分析】将两方程相减即可得【解答】解：，得：2a+4b6，故答案
33、为：6【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法14（乐清市期末）已知方程组的解是方程x2y5的一个解，则a的值为3【分析】根据“方程组的解是方程x2y5的一个解”可得，求出x，y的值，再代入3x+ay3中，即可求出a的值【解答】解：由题可知：，解得，把代入3x+ay3得：312a3，解得a3故答案为：3【点评】本题考查二元一次方程组的解，能求出x、y的值是解题的关键三解答题（共7小题）15（下城区期末）关于x，y的二元一次方程ax+byc（a，b，c是常数），ba+1，cb+1（1）当时，求c的值（2）当a时，求满足|x|5，|y|5的方程的整
34、数解（3）若a是正整数，求证：仅当a1时，该方程有正整数解【分析】（1）由题意，得3a+a+1a+2，解得a，即可求得c；（2）当a时，方程为+y，即x+3y5，根据方程即可求得；（3）由题意，得a（x+y1）2y，x、y均为正整数，则x+y1是正整数，a是正整数，则2y是正整数，从而求得y1，把y1代入得，ax1，即可求得a1，此时方程的正整数解是【解答】解：（1）ba+1，cb+1ca+2，由题意，得3a+a+1a+2，解得a，ca+2；（2）当a时，+y，化简得，x+3y5，符合题意的整数解是：，；（3）由题意，得ax+（a+1）ya+2，整理得，a（x+y1）2y，x、y均为正整数，x
35、+y1是正整数，a是正整数，2y是正整数，y1，把y1代入得，ax1，a1，此时，a1，b2，c3，方程的正整数解是【点评】本题考查了二元一次方程的解，绝对值的性质，熟知一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解是解答此题的关键16（兰州期末）若关于x，y的二元一次方程组与方程组有相同的解（1）求这个相同的解；（2）求mn的值【分析】（1）根据题意列不含m、n的方程组求解即可；（2）将（1）求得的方程组的解代入原方程组中含m、n的方程中求得m、n的值即可【解答】解：（1）关于x，y的二元一次方程组与方程组有相同的解，解得这个相同的解为（2）关于x，y的二元一次方程
36、组与方程组有相同的解，解得mn321答：mn的值为1【点评】本题考查了二元一次方程组的解，解决本题的关键是根据题意重新联立方程组17（德清县校级模拟）解方程组：【分析】方程组利用加减消元法求出解即可【解答】解：，+得：6x12，解得：x2，把x2代入得：2y1，解得：y1，则方程组的解为【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法18（镇海区期中）解下列方程组：（1）；（2）【分析】（1）把代入得出5x+2x311，求出x，把x2代入求出y即可；（2）+得出3x7，求出x，把x代入求出y即可【解答】解：（1），把代入，得5x+2x311，解得：x2
37、，把x2代入，得y431，所以方程组的解是：；（2）整理得：，+，得3x7，解得：x，把x代入，得+5y0，解得：y，所以方程组的解是：【点评】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键19（西湖区期末）已知是方程3x+by的解（1）当a2时，求b的值（2）求9a2+6ab+b2+1的值【分析】（1）根据方程解的定义，把和a2代入方程3x+by，即可得出b的值；（2）把3a+b作为整体，代入9a2+6ab+b2+1（3a+b）2+1，求值即可【解答】解：（1）是方程3x+by的解，3a+b，a2，b5；（2）3a+b，9a2+6ab+b2+1（3a+b）2+
38、15+16【点评】本题考查了二元一次方程的解，把3a+b作为整体，是数学中常用的整体思想20（拱墅区校级期中）已知关于x，y的方程组，以下结论：k0时，方程组的解也是方程x2y4的解；论k取什么实数，x+3y的值始终不变；若zxy，则z的最小值为；请判断以上结论是否正确，并说明理由【分析】利用消元法解二元一次方程组，然后把x、y的值代入方程x2y4即可求解；利用消元法解二元一次方程组，将用含k的式子表示出的方程组的解代入x+3y，即可得结论；把zxy配方成2（k）2即可得结论【解答】解：结论正确，理由如下：当k0时，方程组为，解这个方程组，得，把x2，y1代入x2y4中，使方程左右两边相等，所
39、以当k0时，方程组的解也是方程x2y4的解；解方程组得，x+3y3k2+3（k+1）3k23k+31，所以不论k取什么实数，x+3y的值始终不变zxy（3k2）（k+1）2k2k+2（k）2，当k时，z有最小值为【点评】本题考查了二元一次方程的解、二元一次方程组的解，解题关键是用字母正确表示方程组的解题组B 能力提升练一选择题（共2小题）1（诸暨市月考）若关于x，y的二元一次方程组的解满足xy2，则m的值为（）A3B2C3D0【分析】先求出只含x，y的方程组的解，再将解代入3x+my6求解【解答】解：联立方程，+得2x6，解得x3，将x3代入得3y2，解得y1，方程组的解为，将代入3x+my6
40、得9+m6，解得m3，故选：C【点评】本题考查二元一次方程组的计算，解题关键是根据题意联立只含x，y的方程求解2（绍兴期中）若方程组的解x与y的和为2，则m的值为（）A2B2C1D1【分析】利用加减消元法解方程组，可得用含m的式子表示的x和y，再根据x+y2，即可求出m的值【解答】解：解方程组，得，因为x+y2，所以m+1+2，解得m1则m的值为1故选：D【点评】本题考查了二元一次方程组的解，解决本题的关键是掌握二元一次方程组的解法二填空题（共7小题）3（奉化区校级期末）已知二元一次方程若用含x的代数式表示y，可得y2；方程的正整数解是【分析】先将含x的项移到等式右边，再两边都乘以2即可得，【
41、解答】解：，正整数解为故答案为：2，【点评】本题主要考查解二元一次方程组，解题的关键是掌握代入消元法解二元一次方程组的步骤4（奉化区校级期末）已知方程3xy5，用含x的代数式表示y，则y3x5【分析】把x看做已知数求出y即可【解答】解：方程3xy5，解得：y3x5，故答案为：y3x5【点评】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看做已知数求出y5（奉化区校级期末）若方程组的解是，则方程组的解为【分析】把x+2018与y2019看做一个整体，根据已知方程组的解确定出所求即可【解答】解：方程组的解是，方程组的解为，即，故答案为：【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两
42、方程都成立的未知数的值6（奉化区校级期末）若方程xy1的一个解与方程组的解相同，则k的值为4【分析】联立不含k的方程组成方程组，求出方程组的解得到x与y的值，即可确定出k的值【解答】解：联立得：，解得：，代入方程得：26k，解得：k4，故答案为：4【点评】此题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键7（长兴县月考）已知二元一次方程组，则8x+7y25【分析】方程组中两方程左右两边相加即可求出所求式子的值【解答】解：，+得：8x+7y25，故答案为：25【点评】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键8（奉化区校级期末）已知方程组和方程组有
43、相同的解，则m的值是5【分析】既然两方程组有相同的解，那么将有一组x、y值同时适合题中四个方程，把题中已知的两个方程组成一个方程组，解出x、y后，代入x+y+m0中直接求解即可【解答】解：解方程组，得，代入x+y+m0得，m5【点评】当给出的未知数较多时，应选择只含有2个相同未知数的2个方程组成方程组求解9（宁波期末）对x，y定义一种新运算F，规定：F（x，y）（mx+ny）（3xy）（其中m，n均为非零常数）例如：F（1，1）2m+2n，F（1，0）3m当F（1，1）8，F（1，2）13，则F（x，y）9x2+12xy5y2；当x2y2时，F（x，y）F（y，x）对任意有理数x，y都成立，则
44、m，n满足的关系式是3m+n0【分析】（1）根据新运算F的定义，得mn2，m+2n13，故m3，n5那么，F（x，y）（mx+ny）（3xy）（3x+5y）（3xy）9x2+12xy5y2（2）由F（x，y）F（y，x），得3mx2+（3nm）xyny23my2+（3nm）xynx2，故（3m+n）x2（3m+n）y2由当x2y2时，F（x，y）F（y，x）对任意有理数x，y都成立，故当x2y2时，（3m+n）x2（3m+n）y2对任意有理数x，y都成立那么，3m+n0【解答】解：（1）F（1，1）8，F（1，2）13，（mn）3（1）8，（m+2n）（312）13mn2，m+2n13m3，n
45、5F（x，y）（mx+ny）（3xy）（3x+5y）（3xy）9x23xy+15xy5y29x2+12xy5y2（2）F（x，y）（mx+ny）（3xy），F（y，x）（my+nx）（3yx），F（x，y）3mx2mxy+3nxyny23mx2+（3nm）xyny2F（y，x）3my2mxy+3nxynx23my2+（3nm）xynx2若当x2y2时，F（x，y）F（y，x）对任意有理数x，y都成立，当x2y2时，3mx2+（3nm）xyny23my2+（3nm）xynx2对任意有理数x，y都成立当x2y2时，（3m+n）x2（3m+n）y2对任意有理数x，y都成立3m+n0故答案为：9x2+
46、12xy5y2，3m+n0【点评】本题主要考查整式的运算以及解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法以及整式的运算是解题的关键三解答题（共7小题）10已知方程xy7，用含x的代数式表示y【分析】将x看做已知数，求出y即可【解答】解：方程xy7，去分母得：5x3y105，解得：y【点评】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看做已知数，y看做未知数11已知关于x，y的二元一次方程（a3）x+（2a5）y+6a0，当a每取一个值时就有一个方程，这些方程有一个公共解（1）求出这个公共解；（2）请说明，无论a取何值，这个公共解都是二元一次方程（a3）x+（2a5）y+6a0的解【分析】（1）
47、先把原方程去括号整理得出（x+2y1）a3x5y+60，再由题意得出，解方程即可；（2）按照（1）的思路去做即可【解答】解：（1）原方程去括号整理得：（x+2y1）a3x5y+60，由题意得：，解得；（2）把（a3）x+（2a5）y+6a0化为下面的形式：（x+2y1）a3x5y+60，解得（3分）无论a取何值，这个公共解都是二元一次方程（a3）x+（2a5）y+6a0的解（2分）【点评】本题考查了二元一次方程的解，难度适中，是个不错的题目12（舟山）用消元法解方程组时，两位同学的解法如下：解法一：由，得3x3解法二：由，得3x+（x3y）2，把代入，得3x+52（1）反思：上述两个解题过程中
48、有无计算错误？若有误，请在错误处打“（2）请选择一种你喜欢的方法，完成解答【分析】（1）观察两个解题过程即可求解；（2）根据加减消元法解方程即可求解【解答】解：（1）解法一中的解题过程有错误，由，得3x3“”，应为由，得3x3；（2）由，得3x3，解得x1，把x1代入，得13y5，解得y2故原方程组的解是【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法13（长兴县月考）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：解：将方程变形：4x+10y+y5即2（2x+5y）+y5把方程代入得：23+y5，方程组的解为请你解决以下问题：（1
49、）模仿小军的“整体代换”法解方程组；（2）已知x，y满足方程组，求xy的值【分析】（1）由变形得：3（3x2y）+2y19，把代入得：15+2y19，即y2即可；（2）由变形化简得x2+4y218，整体代入即可【解答】解：（1）由变形得：3（3x2y）+2y19，把代入得：15+2y19，即y2，把y2代入得：x3，则方程组的解为；（2）由变形得：2（x2+4y2）+xy36，即：x2+4y218，由变形得：3（x2+4y2）2xy47，把代入得：3（18）2xy47，xy2【点评】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握整体代入是解本题的关键14（岳麓区校级月考）已知关于x，y的方程组（1）请写
50、出方程x+2y5的所有正整数解；（2）若方程组的解满足x+y0，求m的值；（3）m3时，方程x2y+mx+90总有一个公共解，你能求出这个方程的公共解吗？（4）如果方程组有整数解，求整数m的值【分析】（1）把y看做已知数表示出y，进而确定出方程的正整数解即可；（2）已知方程与方程组第一个方程联立求出x与y的值，进而求出m的值；（3）方程变形后，确定出公共解即可；（4）根据方程组有整数解，确定出整数m的值即可【解答】解：（1）方程x+2y5，解得：x2y+5，当y1时，x3；y2，x1；（2）联立得：，解得：，代入得：5105m+90，解得：m；（3）x2y+mx+90，即（1+m）x2y+90
51、总有一个解，方程的解与m无关，mx0，x2y+90，解得：x0，y，则方程的公共解为；（4），+得：（m+2）x4，解得：x，把x代入得：y，当m+22，1，2，1，4，4时，x为整数，此时m01，3，4，2，6，当m1时，y，不符合题意；当m3时，y，不符合题意；当m2时，y3，符合题意；当m6时，y2，符合题意，当m0时，y，不符合题意；当m4时，y，不符合题意，综上，整数m的值为6或2【点评】此题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，以及解二元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键15（邗江区期中）已知关于x，y的方程组（1）请直接写出方程x+2y60的所有正整数解；（2）若方程
52、组的解满足x+y0，求m的值；（3）无论实数m取何值，方程x2y+mx+50总有一个固定的解，请直接写出这个解？【分析】（1）将方程x+2y60化为y3二分之一x，再由x，y为正整数，即可得出结论；（2）将x+y0与x+2y60组成新的方程组解出x，y的值，代入第二个方程：x2y+mx+50中，可得m的值；（3）根据方程x2y+mx+50总有一个固定的解，m的值不影响，所以含m的项为0，可得这个解【解答】解：（1）x+2y60，y3x，又因为x，y为正整数，3x0，即：x只能取2或4；方程x+2y60的所有正整数解：，；（2）由题意得：，解得把代入x2y+mx+50，解得m；（3）方程x2y+mx+50总有一个固定的解，x0，把x0代入x2y+mx+50中得：y2.5，x0，y2.5【点评】此题考查了解二元一次方程的整数解和二元一次方程组的解，熟练掌握运算法则和求方程组的解是本题的关键16（2绍兴期末）已知方程组，甲正确地解得，而乙粗心地把c看错了，得，试求出a，b，c的值【分析】把，代入方程ax+by3即可得到一个关于a，b的方程组，即可求得a，b的值，把代入方程5xcy1即可求得c的值【解答】解：根据题意得：，解得：，把代入方程5xcy1，得到：103c1，解得：c3故a3，b1，c3【点评】本题考查了二元一次方程组的解，方程的解的定义，正确理解定义是解题的关键
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