1、第2课时正弦定理与余弦定理的综合应用课时过关能力提升1.设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b+c=2a,3sin A=5sin B,则C等于()A.3 B.23 C.34 D.56解析:由正弦定理将3sin A=5sin B,化为3a=5b,a=53b,代入b+c=2a,得c=73b.由余弦定理,得cos C=a2+b2-c22ab=-12.C(0,),C=23.故选B.答案:B2.已知锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,23cos2A+cos 2A=0,a=7,c=6,则b等于()A.10B.9C.8D.5解析:由23cos2A+cos 2A=0,得25c
2、os2A-1=0,cos2A=125.ABC为锐角三角形,cos A=15.由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A,即49=b2+36-2615b,b2-125b-13=0,解得b=-135(舍去)或b=5.故选D.答案:D3.在非等边三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,a为最大边.若sin2(B+C)sin2B+sin2C,则A的取值范围为()A.0,2 B.4,2C.6,3 D.3,2解析:B+C=-A,sin2(B+C)=sin2Asin2B+sin2C.由正弦定理得a20.又0A,0A3.3A0,所以新三角形中最大边所对的角是锐角,所以新三角形是锐角三角形.答
3、案:A6.在ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,如果2b=a+c,B=30,ABC的面积为32,那么b等于()A.1+32 B.1+3C.2+32 D.2+3解析:2b=a+c,a2+c2=4b2-2ac.SABC=32,B=30,12acsin B=32,即14ac=32.ac=6,a2+c2=4b2-12.cos B=a2+c2-b22ac=4b2-12-b226=32.b2=4+23,b=1+3.答案:B7.在ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c.若c2=(a-b)2+6,C=3,则ABC的面积是()A.3 B.932 C.332 D.33解析:由题意得,c2=a2+
4、b2-2ab+6.由余弦定理可得,c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2-ab,-2ab+6=-ab,即ab=6.SABC=12absin C=332.答案:C8.在ABC中,BC=3,AB=2,且sinCsinB=25(6+1),则A=_.解析:在ABC中,设角A,B,C所对的边分别为a,b,c.由题意,得a=3,c=2,且sinCsinB=25(6+1)=cb,b=225(6+1)=6-1,cos A=b2+c2-a22bc=-12,A=120.答案:1209.在ABC中,a=4,b=5,c=6,则sin2AsinC=_.解析:a=4,b=5,c=6,cos C=16+25-362
5、45=18,cos A=25+36-16256=34,sin C=378,sin A=74.sin 2A=2sin Acos A=378.故sin2AsinC=1. 答案:110.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且SABC=a2+b2-c24,则C=_.解析:由余弦定理,可知cos C=a2+b2-c22ab,a2+b2-c24=12abcos C.SABC=12absin C=12abcos C,sin C=cos C,C=4.答案:411.在ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,且2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C.(1)求A的大小;(2
6、)若sin B+sin C=1,试判断ABC的形状.解(1)2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C,由正弦定理可得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,即a2=b2+c2+bc.cos A=b2+c2-a22bc=-bc2bc=-12,且0A,A=23.(2)由(1)得,sin2A=sin2B+sin2C+sin Bsin C.sin B+sin C=1,322=sin2B+sin C(sin C+sin B)=sin2B+1-sin B,sin2B-sin B+14=sinB-122=0,sin B=12,sin C=12.0B2,0C2,B=C.故ABC为等腰钝角三角形.12.如图,在ABC中,ABC=90,AB=3,BC=1,P为ABC内一点,BPC=90.(1)若PB=12,求PA;(2)若APB=150,求tanPBA.解(1)由已知得,PBC=60,PBA=30.在PBA中,由余弦定理,得PA2=3+14-2312cos 30=74,故PA=72.(2)设PBA=,则PCB=,PB=BCsinPCB=sin .在PBA中,由正弦定理,得ABsinAPB=PBsinPAB, 即3sin150=sinsin(30-), 3cos =4sin ,tan =34,即tanPBA=34.5
