1、3.2利用导数研究函数的单调性第三章2023高 中 总 复 习 优 化 设 计GAO ZHONG ZONG FU XI YOU HUA SHE JI课标要求1.结合实例,借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性.3.对于多项式函数,能求不超过三次的多项式函数的单调区间.备考指导利用导数研究函数的单调性是导数最重要的应用,后面涉及的最值、极值等,都需要考虑函数的单调性,所以也是高考必考知识.应用时,要注意函数的定义域优先,准确求导变形,转化为导函数在某区间上的符号问题.常用到分类讨论和数形结合的思想,对数学运算核心素养有一定的要求.内容索引010203第一环节 必
2、备知识落实第二环节 关键能力形成第三环节 学科素养提升第一环节 必备知识落实【知识筛查】函数的单调性与导数的关系一般地,设函数y=f(x)在某个区间(a,b)内有导数,函数f(x)的单调性与其导函数f(x)的正负之间具有如下的关系:在某个区间(a,b)上,如果f(x)0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增,区间(a,b)为函数y=f(x)的单调递增区间;在某个区间(a,b)上,如果f(x)0(f(x)0(f(x)0在区间(a,b)内恒成立”,这种说法是否正确?不正确.可导函数f(x)在区间(a,b)内单调递增(减)的充要条件是对x(a,b),都有f(x)0(f(x)0),且f(x)
3、在区间(a,b)内的任何子区间内都不恒为零.若所求函数的单调区间不止一个,则这些区间之间不能用并集“”及“或”连接,只能用“,”或“和”隔开.【知识巩固】1.若函数y=f(x)的导函数y=f(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是()D设导函数y=f(x)的三个零点分别为x1,x2,x3,且x10 x2x3.则在区间(-,x1)和(x2,x3)内,f(x)0,f(x)单调递增,故函数y=f(x)的图象可能为D.2.函数f(x)=x2-2ln x的单调递减区间是()A.(0,1)B.(1,+)C.(-,1)D.(-1,1)A当x(0,1)时,f(x)0,f(x)单调递增.3.(202
4、1东北师大附中高三月考)若函数y=cos x+ax在区间上单调递增,则实数a的取值范围是()A.(-,-1B.(-,1C.-1,-)D.1,+)D第二环节 关键能力形成能力形成点1求函数的单调区间例1(1)若幂函数f(x)=x的图象过点,则函数g(x)=exf(x)的单调递减区间为.(-2,0)所以f(x)=x2,故g(x)=exx2,则g(x)=exx2+2exx=ex(x2+2x).令g(x)0,得-2x0或f(x)0,解得xe-1,故函数f(x)的单调递增区间是(e-1,+).能力形成点2判断含参函数的单调性解题心得对于含参数的函数的单调性的讨论,常见的分类讨论有以下三个:(1)求导后,
5、考虑f(x)=0是否有实数根,从而引起分类讨论;(2)求导后,f(x)=0有实数根,但不清楚f(x)=0的实数根是否落在定义域内,从而引起分类讨论;(3)求导后,f(x)=0有实数根,f(x)=0的实数根也落在定义域内,但不清楚这些实数根的大小关系,从而引起分类讨论.对点训练2(2021山东历城二中月考)已知函数f(x)=ln x+ax2-(a+2)x+2(a为常数).(1)若f(x)的图象在点(1,f(1)处的切线与直线x+3y=0垂直,求a的值;(2)若a0,讨论函数f(x)的单调性.能力形成点3根据函数的单调性求参数的取值范围例3若函数在区间1,4上单调递减,则a的取值范围为_.拓展延伸
6、1将例3条件变为“函数h(x)在区间1,4上单调递增”,则a的取值范围为.(-,-1 拓展延伸2将例3条件变为“函数h(x)在区间1,4上存在单调递减区间”,则a的取值范围为.(-1,0)(0,+)拓展延伸3若例3条件变为“函数h(x)在区间1,4上不单调”,则a的取值范围为.解题心得由函数的单调性求参数的取值范围的解题方法(1)可导函数f(x)在区间D上单调递增(减)求参数范围问题,可转化为f(x)0(f(x)0)对xD恒成立问题,再参变分离,转化为求最值问题,要注意“=”是否取到.(2)可导函数在某一区间上存在单调区间,实际上就是f(x)0(f(x)0,即函数f(x)=3x-2x2+ln
7、x单调递增;当x(1,+)时,f(x)g(x0)成立,即f(x)-g(x)0在区间1,e上有解.故(x)在区间1,e上单调递增,即(x)min=(1)=0,因此a0即可.故选D.典例3设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a1,若存在唯一的整数x0使得f(x0)0,则a的取值范围是()答案:D 解析:设g(x)=ex(2x-1),h(x)=a(x-1),则不等式f(x)0,即为g(x)h(x).因为g(x)=ex(2x-1)+2ex=ex(2x+1),而函数h(x)=a(x-1)表示经过点P(1,0),斜率为a的直线.如图,分别作出函数g(x)=ex(2x-1)与h(x)=a(x-1)的大致图象.显然,当a0时,满足不等式g(x)h(x)的整数解有无数多个.而函数g(x)=ex(2x-1)的图象与y轴的交点为A(0,-1),反思提升解题的关键在于寻找能满足限制条件的含参数不等式,寻找的方法就是等价转换.若限制条件为函数有唯一的正(负)零点,或存在唯一的x0使得f(x0)0,可根据函数的单调性,利用函数极值的正负满足限制条件,得到关于参数的不等式求解;若限制条件为存在一个x满足等式或不等式,解题思路往往是首先分离参数或含参数的表达式,得到一个等式或不等式,然后通过求最值把限制条件进一步转换成以参数为变量的不等式,解出参数的范围.
