1、数学 A（理）2.5 指数与指数函数第二章 函数概念与基本初等函数 基础知识自主学习 题型分类深度剖析 思想方法感悟提高 练 出 高 分 基础知识自主学习 知识梳理 1.分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是(a0，m，nN*，且n1)；正数的负分数指数幂的意义是(a0，m，nN*，且n1)；0的正分数指数幂等于；0的负分数指数幂.(2)有理数指数幂的运算性质：aras，(ar)s，(ab)r，其中a0，b0，r，sQ.mnan ammna1n am0没有意义arsarsarbr基础知识自主学习 知识梳理 2.指数函数的图象与性质 yax a1 0a0时，；当x0时，；当x10y10
2、y1增函数减函数基础知识自主学习 知识梳理 思考辨析 判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)()44.()(2)(1)(1).()(3)函数yax是R上的增函数.()4 424121基础知识自主学习 知识梳理(4)函数y(a1)的值域是(0，).()(5)函数y2x1是指数函数.()(6)函数y()1x的值域是(0，).()2 1xa14基础知识自主学习 考点自测 题号 答案 解析 1 2 3 4 DAD52令t2x，0 x2，1t4，又y22x132x5，y12t23t512(t3)212，1t4，t1 时，ymax52.题型分类深度剖析 思维点拨 解析 思维升华 题型一 指数
3、幂的运算 例1 化简：(1)(a0，b0)；3322111143342()a baba ba b题型分类深度剖析 可先将根式化成分数指数幂，再利用幂的运算性质进行计算.思维点拨 解析 思维升华 题型一 指数幂的运算 例1 化简：(1)(a0，b0)；3322111143342()a baba ba b题型分类深度剖析 解 原式 1213 1111323321122633311233()a b a babab a b ab1.思维点拨 解析 思维升华 题型一 指数幂的运算 例1 化简：(1)(a0，b0)；3322111143342()a baba ba b题型分类深度剖析(1)指数幂的运算首先
4、将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：必须同底数幂相乘，指数才能相加；运算的先后顺序.(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.思维点拨 解析 思维升华 题型一 指数幂的运算 例1 化简：(1)(a0，b0)；3322111143342()a baba ba b题型分类深度剖析 思维点拨 解析 思维升华(2)(278)23(0.002)12 10(52)1(2 3)0.题型分类深度剖析 可先将根式化成分数指数幂，再利用幂的运算性质进行计算.思维点拨 解析 思维升华(2)(278)23(0.
5、002)12 10(52)1(2 3)0.题型分类深度剖析 解 原式2132271()()85001052121328()5002710(52)14910 510 52011679.思维点拨 解析 思维升华(2)(278)23(0.002)12 10(52)1(2 3)0.题型分类深度剖析(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：必须同底数幂相乘，指数才能相加；运算的先后顺序.(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.思维点拨 解析 思维升华(2)(278)23(0.00
6、2)12 10(52)1(2 3)0.题型分类深度剖析 跟踪训练 1(1)化简4 16x8y4(x0，y1，b1，b0 C.0a0 D.0a1，b0 解析 答案 思维升华 题型二 指数函数的图象和性质 题型分类深度剖析 由f(x)axb的图象可以观察出函数f(x)axb在定义域上单调递减，所以0a1.函数f(x)axb的图象是在f(x)ax的基础上向左平移得到的，所以b1，b1，b0 C.0a0 D.0a1，b0 题型二 指数函数的图象和性质 题型分类深度剖析 由f(x)axb的图象可以观察出函数f(x)axb在定义域上单调递减，所以0a1.函数f(x)axb的图象是在f(x)ax的基础上向左
7、平移得到的，所以b1，b1，b0 C.0a0 D.0a1，b1，b1，b0 C.0a0 D.0a1，b0且a1)的定义域和值域都是0,2，则实数a_.解析 当a1时，x0,2，y0，a21，a212，即 a 3.当0a1时，x0,2，ya21,0，此时定义域与值域不一致，无解.综上，a 3.3题型分类深度剖析 例3(1)k为何值时，方程|3x1|k无解？有一解？有两解？题型三 指数函数的应用 解析 思维升华 题型分类深度剖析 解 函数y|3x1|的图象是由函数y3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示.例3(1)k为何值时，方程|3x1|
8、k无解？有一解？有两解？题型三 指数函数的应用 解析 思维升华 题型分类深度剖析 当k0时，直线yk与函数y|3x1|的图象无交点，即方程无解；当k0或k1时，直线yk与函数y|3x1|的图象有唯一的交点，所以方程有一解；例3(1)k为何值时，方程|3x1|k无解？有一解？有两解？题型三 指数函数的应用 解析 思维升华 题型分类深度剖析 当0k1时，直线yk与函数y|3x1|的图象有两个不同的交点，所以方程有两解.例3(1)k为何值时，方程|3x1|k无解？有一解？有两解？题型三 指数函数的应用 解析 思维升华 题型分类深度剖析 对指数函数的图象进行变换是利用图象的前提，方程f(x)g(x)解
9、的个数即为函数yf(x)和yg(x)图象交点的个数；解决有关复合函数问题的关键是通过换元得到两个新的函数，搞清复合函数的结构.例3(1)k为何值时，方程|3x1|k无解？有一解？有两解？题型三 指数函数的应用 解析 思维升华 题型分类深度剖析 解析 思维升华 例3(2)已知定义在R上的函数f(x)2x.若f(x)，求x的值；若 2tf(2t)mf(t)0 对 于t1,2恒成立，求实数m的取值范围.12|x|32题型分类深度剖析 解 当x0，2x2，即x1.当 t1,2时，2t22t 122t m2t12t 0，即m(22t1)(24t1)，22t10，m(22t1)，例3(2)已知定义在R上的
10、函数f(x)2x.若f(x)，求x的值；若 2tf(2t)mf(t)0 对 于t1,2恒成立，求实数m的取值范围.12|x|32解析 思维升华 题型分类深度剖析 t1,2，(22t1)17，5，故m的取值范围是5，).例3(2)已知定义在R上的函数f(x)2x.若f(x)，求x的值；若 2tf(2t)mf(t)0 对 于t1,2恒成立，求实数m的取值范围.12|x|32解析 思维升华 题型分类深度剖析 对指数函数的图象进行变换是利用图象的前提，方程f(x)g(x)解的个数即为函数yf(x)和yg(x)图象交点的个数；解决有关复合函数问题的关键是通过换元得到两个新的函数，搞清复合函数的结构.例3
11、(2)已知定义在R上的函数f(x)2x.若f(x)，求x的值；若 2tf(2t)mf(t)0 对 于t1,2恒成立，求实数m的取值范围.12|x|32解析 思维升华 题型分类深度剖析 跟踪训练3(1)如果函数ya2x2ax1(a0，a1)在区间1,1上的最大值是14，则a的值为()A.13B.1C.3 D.13或 3解析 令axt，则ya2x2ax1t22t1(t1)22.当 a1 时，因为 x1,1，所以 t1a，a，又函数 y(t1)22 在1a，a 上单调递增，题型分类深度剖析 所以ymax(a1)2214，解得a3(负值舍去).当 0a0且a1)有两个不等实根，则a的取值范围是()A.
12、(0,1)(1，)B.(0,1)C.(1，)D.0，12解析 方程|ax1|2a(a0且a1)有两个实数根转化为函数y|ax1|与y2a有两个交点.题型分类深度剖析 当0a1时，如图(1)，则02a1，即0a1时，如图(2)，而y2a1不符合要求.综上，0a0，a1)在区间，0上有ymax3，ymin，试求a、b的值.22xxba3252题型分类深度剖析(1)误认为a1，只按一种情况求解，而忽略了0a0，a1)在区间，0上有ymax3，ymin，试求a、b的值.22xxba3252规 范 解 答 题型分类深度剖析 解 令tx22x(x1)21，易 错 分 析 温 馨 提 醒 易错警示系列4 忽
13、略对底数的讨论致误 典例：(12分)已知函数y(a，b是常数且a0，a1)在区间，0上有ymax3，ymin，试求a、b的值.22xxba3252x，0，t1,0.322分(1)若a1，函数f(x)at在1,0上为增函数，at1a，1，则 ba22xx b1a，b1，4分规 范 解 答 题型分类深度剖析 易 错 分 析 温 馨 提 醒 易错警示系列4 忽略对底数的讨论致误 典例：(12分)已知函数y(a，b是常数且a0，a1)在区间，0上有ymax3，ymin，试求a、b的值.22xxba3252依题意得b1a52，b13，解得a2，b2.6分(2)若0a0，a1)在区间，0上有ymax3，y
14、min，试求a、b的值.22xxba3252则bab1，b，22xx1a8分依题意得b1a3，b152，解得a23，b32.10分规 范 解 答 题型分类深度剖析 易 错 分 析 温 馨 提 醒 易错警示系列4 忽略对底数的讨论致误 典例：(12分)已知函数y(a，b是常数且a0，a1)在区间，0上有ymax3，ymin，试求a、b的值.22xxba3252综上，所求 a，b 的值为a2，b2或a23，b32.12分规 范 解 答 题型分类深度剖析 易 错 分 析 温 馨 提 醒 易错警示系列4 忽略对底数的讨论致误 典例：(12分)已知函数y(a，b是常数且a0，a1)在区间，0上有ymax
15、3，ymin，试求a、b的值.22xxba3252(1)指数函数的底数不确定时，单调性不明确，从而无法确定其最值，故应分a1和0a0，a1)的性质和a的取值有关，一定要分清a1与0a0且a1)的图象必经过点()A.(0,1)B.(1,1)C.(2,0)D.(2,2)23456789101解析 a01，f(2)2，故f(x)的图象必过点(2,2).D 练出高分 A组 专项基础训练 345678911022.已知a22.5，b2.50，c()2.5，则a，b，c的大小关系是()A.acbB.cab C.bacD.abc 12解析 a201，b1，cbc.D练出高分 A组 专项基础训练 3.若函数f
16、(x)a|2x4|(a0，a1)，满足f(1)，则f(x)的单调递减区间是()A.(，2B.2，)C.2，)D.(，2 2456789110319解析 由 f(1)19得 a219，a13(a13舍去)，即 f(x)(13)|2x4|.练出高分 A组 专项基础训练 由于y|2x4|在(，2上递减，在2，)上递增，所以f(x)在(，2上递增，在2，)上递减.故选B.答案 B24567891103练出高分 A组 专项基础训练 235678911044.已知函数 f(x)13ax10a，x7，ax7，x7是定义域上的递减函数，则实数 a 的取值范围是()A.(13，12)B.(13，611C.12，
17、23)D.(12，611练出高分 A组 专项基础训练 23567891104解析 由题意得13a0，0a1，13a710aa0，13a 611.答案 B练出高分 A组 专项基础训练 5.已知实数a，b满足等式2 015a2 016b，下列五个关系式：0ba；ab0；0ab；ba1，则有ab0；(2)若t1，则有ab0；(3)若0t1，则有ab0.故可能成立，而不可能成立.答案 B23467891105练出高分 A组 专项基础训练 6.若指数函数yax在1,1上的最大值与最小值的差是1，则底数a_.23457891106解析 若0a1，则aa11，即a2a10，解得 a1 52或 a1 52(舍
18、去).综上所述 a 512.512练出高分 A组 专项基础训练 7.已知正数a满足a22a30，函数f(x)ax，若实数m、n满足f(m)f(n)，则m、n的大小关系为_.23456891107解析 a22a30，a3或a1(舍).函数f(x)3x在R上递增，由f(m)f(n)，得mn.mn 练出高分 A组 专项基础训练 8.若函数f(x)axxa(a0，且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是_.23456791108解析 令axxa0即axxa，若0a1，yax与yxa的图象如图所示有两个公共点.(1，)练出高分 A组 专项基础训练 9.已知函数f(x)a2xb3x，其中常数a，b满足ab
19、0.(1)若ab0，判断函数f(x)的单调性；23456781109解 当a0，b0时，任意x1，x2R，x10a0b0，1233xx12(33)xxf(x1)f(x2)0，函数f(x)在R上是增函数.当a0，b0时，同理，函数f(x)在R上是减函数.练出高分 A组 专项基础训练(2)若abf(x)时x的取值范围.23456781109解 f(x1)f(x)a2x2b3x0，当 a0 时，32x a2b，则 xlog1.5 a2b；当 a0，b0 时，32x a2b，则 x0，a1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24).(1)试确定f(x)；23456789110解 f(x)bax的图象过
20、点A(1,6)，B(3,24)，ba6，ba324，得a24，又a0且a1，a2，b3，f(x)32x.练出高分 A组 专项基础训练 23456789110(2)若不等式(1a)x(1b)xm0 在 x(，1上恒成立，求实数 m 的取值范围.解 由(1)知(1a)x(1b)xm0 在(，1上恒成立可转化为m(12)x(13)x 在(，1上恒成立.练出高分 A组 专项基础训练 23456789110令 g(x)(12)x(13)x，则g(x)在(，1上单调递减，mg(x)ming(1)121356，故所求实数 m 的取值范围是(，56.练出高分 B组 专项能力提升 1213141511练出高分
21、B组 专项能力提升 11.设f(x)|3x1|，cbf(a)f(b)，则下列关系式中一定成立的是()A.3c3bB.3b3a C.3c3a2D.3c3a2 1213141511解析 画出函数f(x)的图象，易知c0.又f(c)f(a)，|3c1|3a1|，13c3a1，3c3a0，exx0，若 F(x)f(x)x，xR，则F(x)的值域为()练出高分 B组 专项能力提升 当x0时，F(x)exx，根据指数函数与一次函数的单调性，F(x)是增函数，F(x)F(0)1，所以F(x)的值域为(，12，).答案 C1213141511解析 当 x0 时，F(x)1xx2；练出高分 B组 专项能力提升
22、121314151113.函数 yexexexex的图象大致为()练出高分 B组 专项能力提升 1213141511解析 yexexexex12e2x1，当x0时，e2x10，且随着x的增大而增大，故 y12e2x11 随着 x 的增大而减小，即函数y在(0，)上恒大于1且单调递减.又函数y是奇函数，故只有A正确.答案 A练出高分 B组 专项能力提升 121314151114.关于 x 的方程32x23a5a 有负数根，则实数 a 的取值范围为_.解析 由题意，得 x0，所以 032x1，从而 023a5a 1，解得23a34.23，34练出高分 B组 专项能力提升 121314151115.
23、已知定义域为 R 的函数 f(x)2xb2x1a是奇函数.(1)求a，b的值；解 因为f(x)是奇函数，所以f(0)0，即1b2a 0，解得 b1，所以 f(x)2x12x1a.又由 f(1)f(1)知214a 1211a.解得 a2.练出高分 B组 专项能力提升(2)解关于t的不等式f(t22t)f(2t21)0.1213141511解 由(1)知 f(x)2x12x121212x1.由上式易知f(x)在(，)上为减函数(此外可用定义或导数法证明函数f(x)在R上是减函数).又因为f(x)是奇函数，所以不等式f(t22t)f(2t21)0等价于f(t22t)2t21，1213141511即3t22t10，解不等式可得t|t1或t.13谢谢观看 更多精彩内容请登录
