1、第2课时异面直线所成的角课时过关能力提升1.已知点P,Q,R,S分别是正方体的四条棱的中点,则直线PQ与RS是异面直线的图形是()解析:选项A,B中PQRS,选项D中PQ与RS相交.答案:C2.如图所示,三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1AB,AA1AC.若AB=AC=AA1=1,BC=2,则异面直线A1C与B1C1所成的角为()A.30B.45C.60D.90解析:根据题意,得BCB1C1,故异面直线A1C与B1C1所成的角即BC与A1C所成的角.连接A1B(图略),在A1BC中,BC=A1C=A1B=2,故A1CB=60,即异面直线A1C与B1C1所成的角为60.答案:C3.若空间中四条
2、两两不同的直线l1,l2,l3,l4满足l1l2,l2l3,l3l4,则下列结论一定正确的是()A.l1l4B.l1l4C.l1与l4既不垂直也不平行D.l1与l4的位置关系不确定解析:因为l2l3,所以l1l3,l3l4.实质上就是l1与l4同垂直于一条直线,所以l1l4,l1l4,l1与l4既不垂直也不平行都有可能成立,故l1与l4的位置关系不确定.答案:D4.如图所示,在某个正方体的表面展开图中,l1,l2是两条面对角线,则在正方体中,l1与l2()A.互相平行B.异面且互相垂直C.异面且夹角为60D.相交且夹角为60解析:将表面展开图还原成正方体如图所示,则B,C两点重合.故l1与l2
3、相交,连接AD,ABD为正三角形,所以l1与l2的夹角为60.答案:D5.如图所示的是所有棱长都相等的正三棱锥的平面展开图(D,E分别为PB,PA的中点),则在该正三棱锥中,下列说法正确的是()A.直线DE与直线AF相交成60角B.直线DE与直线AC相交C.直线DE与直线AB异面D.直线AF与直线BC平行解析:将题中的平面展开图还原成正三棱锥,如图所示,点F与点P重合,易知在PDE中,PD=PE=DE,PDE是等边三角形,故PED=60,即直线DE与AF相交成60角.由图易知其余选项均错误.答案:A6.下列说法正确的是()A.空间中没有交点的两条直线是平行直线B.一条直线和两条平行直线中的一条
4、相交,则它和另一条也相交C.空间四条直线a,b,c,d,如果ab,cd,且ad,那么bcD.分别在两个平面内的直线是平行直线解析:A,B选项中,两直线可能异面,D选项中两直线可能相交,也可能异面.答案:C7.如图所示是一个正方体的表面展开图,如果将它还原为正方体,那么AB,CD,EF,GH这四条线段所在直线是异面直线的有对.解析:将图形还原成正方体,观察有AB与CD,AB与GH,EF与GH共3对异面直线.答案:38.如图所示,已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1A=AB,E,F分别是BD1和AD中点,则异面直线CD1,EF所成的角的大小为.答案:909.如图所示,在四棱锥C-ABED中
5、,底面ABED是梯形.若ABDE,DE=2AB,且F是CD的中点,P是CE的中点,则AF与BP的位置关系是.解析:连接PF,P,F分别是CE,CD的中点,PFED,且PF=12ED.又ABED,且DE=2AB,ABPF,且AB=PF,即四边形ABPF是平行四边形,BPAF.答案:平行10.如图所示,在三棱锥P-ABC中,D,E是PC上不重合的两点,F,H分别是PA,PB上的点,且与点P不重合.求证:EF和DH是异面直线.证明PAPC=P,PA,PC确定一个平面.EPC,FPA,E,F,EF.DPC,D,且DEF.又PB=P,HPB,且点H与点P不重合,H,DH=D,且DH与EF不相交,于是直线
6、EF和DH是异面直线.11.如图所示,在空间四边形ABCD中,两条对边AB=CD=3,E,F分别是另外两条对边AD,BC上的点,且AEED=BFFC=12,EF=5,求AB和CD所成的角的大小.解如图所示,过点E作EOAB,交BD于点O,连接OF,所以AEED=BOOD=12,所以BOOD=BFFC=12,所以OFCD.所以EOF或其补角是AB和CD所成的角.在EOF中,OE=23AB=2,OF=13CD=1,又EF=5,所以EF2=OE2+OF2,所以EOF=90.即异面直线AB和CD所成的角为90.12.在梯形ABCD中(如图所示),ABCD,E,F分别为BC和AD的中点,将平面CDFE沿EF翻折起来,使CD到CD的位置,G,H分别为AD和BC的中点,得到如图所示的立体图形.求证:四边形EFGH为平行四边形.图图证明在梯形ABCD中,ABCD,E,F分别为BC,AD的中点,EFAB,且EF=12(AB+CD).又CDEF,CDAB.G,H分别为AD,BC的中点,GHAB,且GH=12(AB+CD)=12(AB+CD).GHEF,且GH=EF.四边形EFGH为平行四边形.
