1、5.3 诱导公式第2课时 诱导公式五、六 复习导入 圆具有很好的对称性，从圆出发很多三角函数中的问题得以解决.利用圆的对称性，上一节课我们通过在单位圆内取点，并作出它关于原点、关于轴、轴的对称点的方式，再根据三角函数的定义，得到了三组诱导公式.(+)=，(+)=，(+)=.()=，()=，()=.()=，()=，()=.下面，我们在上节课的基础上，继续进行探究.=新知探索 活动1：作1关于直线=的对称点5，以5为终边的角与角有什么关系？角与角的三角函数值之间有什么关系？如图，以5为终边的角都是与角2 终边相同的角，即=2+(2 )().因此，只要探究角2 与的三角函数值之间的关系即可.新知探索
2、 设5(5,5)，1(1,1).由于5是点1关于直线=的对称点，可以证明5=1,5=1.(证明过程)如图，过1、5分别作垂线1、51.因为1 51，所以=51，1=1.因此1=5，1=5.根据三角函数的定义，得：(2 )=5,(2 )=5.=新知探索 =由前面的分析知：(2 )=5,(2 )=5.=1,=1.5=1,5=1.从而得：公式五 (2 )=，(2 )=.新知探索 如图，以6为终边的角都是与角2+终边相同的角，即=2+(2+)().因此，只要探究角2+与的三角函数值之间的关系即可.=+活动2：作5关于轴的对称点6，又能得到什么结论呢？设6(6,6)，5(5,5)，1(1,1).由于6是
3、点5关于轴的对称点，可以证明6=1,6=1.(证明过程)如图，过1、6分别作垂线1、61.因为1 61，所以=61，1=1.因此1=6，1=|6|=6.61=2 .新知探索 =根据三角函数的定义，得：(2 )=6,(2 )=1.由公式四、五可得：()=()=，()=()=.新知探索 =由公式四、五可得：()=()=，()=()=.从而得：公式六 (2+)=，(2+)=.新知探索 (2+)=，(2+)=.(2 )=，(2 )=.利用公式五或公式六，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化.公式一公式六都叫做诱导公式.新知探索 辨析1.判断正误：(1)诱导公式五、六中的角只能是锐角.()(2)(90+
4、)=.()(3)(270+30)=30.()答案：，.辨析2.(多选)下列与的值相等的是().A.(+)B.(2 )C.(2 )D.(32+)答案：CD.例析 例3.证明：(1)(32 )=；(2)(32+)=.证明：(1)()=+()=()=.(2)(+)=+(+)=(+)=.例析 例4.化简()(+)(+)()()()()(+).解：原式=()()()5+(2)()()(+)4+(2+)=2 (2)()()(2+)=.例析 例5.已知(53 )=15，且270 90，求(37+)的值.解：因为(53 )+(37+)=90，所以由诱导公式五，得：(37+)=90 (53 )=(53 )因为2
5、70 90，所以143 53 0，得：143 53 180.所以(53 )=1 2(53 )=1 (15)2=2 65.所以(37+)=2 65.练习 题型一：利用诱导公式化简求值 例1.若(+)=13，那么(32 )的值为（）.A.B.-C.D.解：(+)=13，(32 )=13.故选A.练习 变1.已知=2，则(+)()()(+)等于（）.A.2 B.-2 C.0 D.23 解：(+)()()(+)=+=.故选B.练习 1.求值问题中角的转化方法：任意负角的三角函数 任意正角的三角函数 02的角的三角函数 锐角的三角函数 公式 一或三 公式 一 公式二或 五或六 2.用诱导公式进行化简的要
6、求：三角函数的化简是表达式经过某种变形使结果尽可能的简单：(1)化简后项数尽可能的少.(2)函数的种类尽可能的少.(3)分母不含三角函数的符号.(4)能求值的一定要求值.(5)含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等.练习 题型二：利用诱导公式证明恒等式 例2.已知(3+)=2，求证：()+()+()(+)()+(+)=2.证明：由(3+)=2，得 =2，则原式左边=()+=+=右边.所以原等式成立.变2.求证：()()+()(+)(+)(+)=.练习 证明：左边=()+=+=+(+)()=右边.所以原等式成立.练习 证明等式的常见方法：利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，
7、其证明的常用方法有：(1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简.(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子.(3)针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消失差异.练习 题型三：诱导公式的综合应用 例3.在平面直角坐标系中，角，(0 2 )的顶点与坐标原点重合，始边为轴的非负半轴，终边分别与单位圆交于A，B两点，A，B两点的纵坐标分别为45，513.(1)求 的值；解：(1)的终边与单位圆交于点B，B点的纵坐标为513，=513.2 ，=1213.=512.练习 例3.在平面直角坐标系中，角，(0 2 )的顶点与坐标原点重合，始边为轴的非负半轴，终边分别与单位圆交于A，B两点
8、，A，B两点的纵坐标分别为45，513.(2)求(+)+()()+(+)的值.解：(2)的终边与单位圆交于点A，A点的纵坐标为45，=45.0 2.=35,故(+)+()()+(+)=+=.练习 变3.已知 是方程52 7 6=0的根，是第三象限角，求(32)(32)(2)(2+)2()的值.解：方程52 7 6=0的两根为1=35，2=2，1 1，=35.又是第三象限角，=45，=34，(32)(32)(2)(2+)2()=(2)(2+)2=()2=2=916.练习 诱导公式综合应用要“三看”一看角：化大为小；看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系.二看函数名称：一般是弦切互化.三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子、分母同乘一个式子变形.课堂小结&作业 课堂小结：(1)回顾诱导公式二四；(2)诱导公式五、六及其推导.作业：(1)整理本节课的题型；(2)课本P194的练习23题
