1、第5章三角函数5.4函数y=Asin(x+)的图象与性质第2课时函数y=Asin(x+)的性质及其应用课后篇巩固提升必备知识基础练1.下列各点中,可以作为函数f(x)=2cosx+1图象的对称中心的是()A.,1B.,1C.,0D.,0答案B解析x=时,f(x)=2cos+1=1,故B符合题意.2.函数y=sinx+的图象沿x轴向左平移个单位长度后得到函数y=g(x),则函数y=g(x)的对称轴可以是()A.x=-B.x=C.x=D.x=-答案A解析函数y=sinx+=cos x图象沿x轴向左平移个单位长度后得到g(x)=cosx+,结合选项可知选A.3.将函数y=sin2x+的图象向右平移个
2、单位长度,则平移后的图象对称中心为()A.,0(kZ)B.,0(kZ)C.,0(kZ)D.,0(kZ)答案C解析将函数y=sin2x+的图象向右平移个单位长度,得y=sin2x-+=sin2x-=sin2x-,由2x-=k,得x=,即对称中心为,0,kZ.故选C.4.将函数f(x)=cos(2x+)的图象向右平移个单位长度可得函数g(x)的图象,若函数g(x)的图象关于原点对称,则|的最小值为()A.B.C.D.答案A解析平移后解析式为g(x)=cos2x-+=cos2x-+,其图象关于原点对称,则-=k+,kZ,=k+,kZ,易知|最小值为.故选A.5.将函数y=sin 2x的图象上各点的横
3、坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到函数y=f(x)的图象,则()A.y=f(x)的图象关于直线x=对称B.f(x)的最小正周期为C.y=f(x)的图象关于点,0对称D.f(x)在-上单调递增答案D解析函数y=sin 2x的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,可得y=sin x,即f(x)=sin x.根据正弦函数的图象及性质可知,对称轴x=+k,kZ,所以A错误;最小正周期T=2,所以B错误;对称中心坐标为(k,0),kZ,所以C错误.单调递增区间为2k-+2k,kZ,所以f(x)在-上单调递增.故选D.6.将函数f(x)=sin x图象上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变),再向右平
4、移个单位长度,得到函数g(x)的图象,则函数g(x)的解析式为,函数g(x)的对称轴方程为.答案g(x)=sin2x-x=(kZ)解析将函数f(x)=sin x图象上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)得到f(x)=sin 2x,再向右平移个单位长度,得到函数g(x)=sin2x-,由2x-=k+(kZ),解得x=(kZ).7.已知函数f(x)=sin(2x+)0,函数y=fx-为奇函数.(1)求函数f(x)的对称中心坐标;(2)将函数y=f(x)的图象向右平移个单位长度,然后将所得的图象上各点的横坐标缩小到原来的(纵坐标不变),得到函数y=g(x)的图象,求x0,时,函数g(x)的值域.
5、解(1)由题意知,y=fx-=sin2x+-为奇函数,所以-=k(kZ),=k+(kZ).因为0,所以k=0,=.所以f(x)=sin2x+.由2x+=k可知x=,kZ.即函数f(x)的对称中心坐标为,0(kZ).(2)将y=f(x)的图象向右平移个单位长度得y=sin2x-+,即y=sin2x-,再将图象上各点的横坐标缩小到原来的,得g(x)=sin4x-,因为x0,所以4x-.因此g(x)=sin4x-,1,因此函数g(x)的值域为-,1.关键能力提升练8.若函数y=cos(x+)关于点(x0,0)对称,那么对函数f(x)=sin(x+),则有f(x0)=()A.1B.-1C.1D.0答案
6、C解析由函数y=cos(x+)关于点(x0,0)对称可知x0+=k+(kZ),因此f(x0)=sin(x0+)=sink+=1.9.将偶函数f(x)=sin(3x+)(0)的图象向右平移个单位长度后,得到的曲线的对称中心为()A.,0(kZ)B.,0(kZ)C.,0(kZ)D.,0(kZ)答案D解析f(x)=sin(3x+)(00,|的最小正周期是,若其图象向右平移个单位长度后得到的函数为奇函数,则函数f(x)的图象()A.关于点,0对称B.关于直线x=对称C.关于点,0对称D.关于直线x=对称答案D解析由题意,因为最小正周期为,所以=2,则平移后的图象的解析式为y=sin2x-+=sin2x
7、-+,此时函数是奇函数,所以-+=k(kZ),则=+k(kZ),因为|0,函数y=sinx+2的图象向右平移个单位长度后与原图象重合,则的最小值是()A.B.C.D.3答案C解析函数y=sinx+2的图象向右平移个单位长度后得y=sinx-+2=sinx+2,所以有=2k,=.0,k1,=,故选C.12.(2020甘肃兰州一中高一期末)若函数f(x)=sin 2x的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象,若函数g(x)在区间0,a上单调递增,则a的最大值为()A.B.C.D.答案A解析函数f(x)向右平移个单位长度得g(x)=fx-=sin2x-,当x0,a时,2x-,2a-,g(x)在
8、0,a上单调递增,-2a-,解得0a,a的最大值为.故选A.13.(多选题)将函数f(x)=cos2x-的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象,则g(x)()A.为偶函数,在0,上单调递减B.为偶函数,在-上单调递增C.周期为,图象关于点,0对称D.最大值为1,图象关于直线x=对称答案AD解析g(x)=cos2x+-=cos 2x,值域为-1,1,最大值为1,为偶函数,周期T=,令2k-2x2k,kZ,得k-xk,kZ,故函数的单调递增区间为k-,k(kZ),令2k2x2k+,kZ,kx0)图象的两条相邻的对称轴之间的距离为,且该函数的图象关于点(x0,0)成中心对称,x00,则x0
9、=.答案解析由f(x)=sinx+(0)图象的两条相邻的对称轴之间的距离为,知T=,=2,又图象关于点(x0,0)成中心对称,得2x0+=k(kZ),而x00,则x0=.15.(2021江苏南通高一期末)已知函数f(x)=cos(2x+)|,从、这三个条件中选择一个作为已知条件.,0为f(x)的图象的一个对称中心;当x=时,f(x)取得最大值;f=-.(1)求f(x)的解析式;(2)将y=f(x)的图象上的各点的横坐标变为原来的(纵坐标不变),再将得到的图象向右平移个单位长度,得到y=g(x)的图象,求函数y=g(x)在(0,)上的单调递减区间.解(1)若选,0为f(x)=cos(2x+)|的
10、对称中心,则2+=+k,kZ,解得=+k,kZ,又|,所以=,所以f(x)=cos2x+.若选,f=cos2+=,所以2+=2+2k,kZ,解得=+2k,kZ,又|,所以=,所以f(x)=cos2x+.若选,f=cos2+=-,所以cos+=-,所以+=+2k,kZ或+=-+2k,kZ,解得=+2k,kZ或=-+2k,kZ,又|0,0)在x=处取得最小值,则()A.fx+一定是奇函数B.fx+一定是偶函数C.fx-一定是奇函数D.fx-一定是偶函数答案B解析函数f(x)=Asin(x+)(A0,0)在x=处取得最小值,即函数f(x)关于直线x=对称,将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后其图象关于直线x=0(即y轴)对称,即将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后其图象对应的函数fx+为偶函数,故选项B正确,故选B.8