1、第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分一、选择题（题型注释）1既是偶函数又在区间上单调递减的函数是（ ）A B C D 【答案】D.【解析】试题分析：根据函数和都是奇函数，故排除A，C；由于函数是偶函数，周期为，在上是减函数，在上是增函数，故不满足题意条件，即B不正确；由于函数是偶函数，周期为，且在上是减函数，故满足题意，故选D.考点：余弦函数的奇偶性；余弦函数的单调性.2设，那么（ ）A B C D【答案】B.【解析】试题分析：观察题意所给的递推式特征可知：，所以，故选B.考点：数列的递推公式.3如图所示，为了测量某湖泊两侧间的距离，李宁同学首先选定了与不共线的一点，然后给出了
2、三种测量方案：（的角所对的边分别记为）： 测量 测量 测量 则一定能确定间距离的所有方案的个数为（ ）A3 B2 C1 D0【答案】A.【解析】试题分析：根据图形可知，可以测得，角也可以测得，利用测量的数据，求解两点间的距离唯一即可.对于可以利用正弦定理确定唯一的两点间的距离；对于直接利用余弦定理即可确定两点间的距离，故选A.考点：解三角形的实际应用.4无穷等差数列的各项均为整数，首项为、公差为，是其前项和，3、21、15是其中的三项，给出下列命题：对任意满足条件的，存在，使得99一定是数列中的一项；对任意满足条件的，存在，使得30一定是数列中的一项；存在满足条件的数列，使得对任意的，成立。其
3、中正确命题的序号为（ ）A B C D【答案】C.【解析】试题分析：根据条件等差数列的其中三项为：3、15、21，可得：；99-21=78能被6整除，且，假设15和21之间有项，那么99和21之间有项，所以99一定是数列中的一项，故正确；30-21=9不能被6整除，如果，那么30一定不是数列中的一项，故不正确；如果有，那么由等差数列求和公式有：，化简得到，所以只要满足条件的数列，就能使得对任意的，成立.考点：等差数列的通项公式；等差数列的前项和.第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分二、填空题（题型注释）5计算 .【答案】2.【解析】试题分析：直接运用极限的定义计算即可得到
4、，即为所求.考点：极限的运算.6在等差数列中，若，则前项的和 .【答案】90.【解析】试题分析：首先由等差数列的求和公式可得：，然后由等差数列的性质知，将其代入求和公式中即可得到：.考点：等差数列的前项和.7已知，是第三象限角，则 .【答案】.【解析】试题分析：根据同角三角函数的基本关系知，化简整理得，又因为，联立方程即可解得：，又因为是第三象限角，所以，故.考点：同角三角函数的基本关系.8在等比数列中，则 【答案】512.【解析】试题分析：设等比数列的公比为，则由题意可得方程组，解之得：，.将其代入所求式子中可得：.考点：等比数列.9已知，则 【答案】.【解析】试题分析：观察发现，已知的角与
5、所求角满足以下关系：，所以.考点：两角和与差的正切公式；角的拆分.10函数定义域为 .【答案】.【解析】试题分析：首先由对数函数的定义知，其定义域应满足条件：，即；然后根据三角函数的图像及周期性可知，即所求函数的定义域为.考点：对数函数的定义域；三角不等式的解法.11设为等差数列的前项和，若，公差，则 【答案】8.【解析】试题分析：根据等差数列的前项和公式知， ，由得，解之得.考点：等差数列的前项和公式.12等差数列的前项和为30，前项和为100，则它的前项和为 【答案】210.【解析】试题分析：直接由等差数列的前项和性质：也成等差数列，即成等差数列，所以，解之得.即为所求.考点：等差数列的前
6、项和性质.13在数列中，已知，记为数列的前项和，则 【答案】1008.【解析】试题分析：由知，即；，即；，即，即，即，由此可知，其周期为4，且前4项分别为1，1，0,0.所以.考点：数列的前项和；累加法.14若等比数列的前项和为，公比为，则 【答案】.【解析】试题分析：由等比数列的前项和公式知，所以，当时，；当时，；当时，；故，即为所求.考点：等比数列的前项和.15有以下四个命题： 在中，“”是“”的充要条件； “”是“成等比数列”的必要非充分条件； 在无限增大的变化过程中，如果无穷数列中的项越来越接近于某个常数，那么称是数列的极限；函数的反函数叫做反余弦函数，记作。其中正确命题的序号为 【答
7、案】.【解析】试题分析：对于，因为在中，若，则由大角对大边知，应用正弦定理知，；反过来，若，则应用正弦定理知，由大角对大边知，故正确；对于，若成等比数列，则，不能推出，所以“”不是“成等比数列”的必要条件；反过来，若，则，但不能推出成等比数列，因为可能为0，故不正确；对于，由极限的定义知，在无限增大的变化过程中，如果无穷数列 中的项无限趋近于某个常数，那么称是数列的极限，并不是“越来越接近”，故不正确；对于，由反函数的定义知，其定义域实质上就是原函数的值域，即，故正确.考点：正弦定理；等比数列；极限的定义；反函数的概念.16定义运算:，对于函数和，函数在闭区间上的最大值称为与在闭区间上的“绝对
8、差”，记为，则= 【答案】.【解析】试题分析：记，于是构造函数，则当时，；当或时，所以.即为所求.考点：函数的最值及其几何意义.评卷人得分三、解答题（题型注释）17已知三个数成等比数列，它们的积为，且是与的等差中项，求这三个数【答案】或.【解析】试题分析：首先分别根据三个数成等比数列、它们的积为和是与的等差中项可得三个等式：、；然后联立方程组即可解得答案.试题解析：因为，所以或.考点：等比数列；等差中项.18已知某区的绿化覆盖率的统计数据如下表所示：年份第1年年底第2年年底第3年年底第4年年底绿化覆盖率（单位：）如果以后的几年继续依此速度发展绿化，那么到第几年年底该区的绿化覆盖率可超过？【答案
9、】到第10年年底该区的绿化覆盖率可以超过【解析】试题分析：由题意知，绿化覆盖组成以22.2%为首项，1.6%为公差的等差数列，求出通项公式，再列出不等式即可得到结论.试题解析：设第1年年底，第2年年底，的绿化覆盖率（单位：）分别为，则。经计算，可知，。所以按此速度发展绿化，可推得。所以数列的通项公式为，由题意，得不等式，解得。所以，到第10年年底该区的绿化覆盖率可以超过考点：等差数列的通项公式.19已知函数.（1）求的最小正周期和单调递增区间；（2）如果的三边满足，且边所对的角为，试求的范围及此时函数的值域【答案】（1）和单调递增区间为；（2），的值域为.【解析】试题分析：（1）利用向量的数量
10、积公式及辅助角公式，化简函数，即可求得函数的单调递增区间；（2）通过，利用余弦定理求出的范围，然后求出的范围，进而可求出三角函数的值域.试题解析：（1）所以.令，得，所以单调递增区间为；（2）由已知得，所以，故的值域为.考点：平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的单调性.20已知数列满足：，令，为数列的前项和。（1）求和；（2）对任意的正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围【答案】（1），；（2）【解析】试题分析：（1）首先根据题意的递推公式可得，当时，即；然后验证当时，是否满足上述通项公式；再代入求得，数列的通项公式，运用裂项求和即可求得的表达式；（2）将不等式恒成立问题
11、转化为，根据数列的单调性求得的最小值，进而求出的取值范围.试题解析：（1）当时，；当时，则，即，综上，；，则（2）由得， 所以，因为是单调递增数列，所以当时取得最小值为，因此考点：数列的概念；数列的前项和；数列的单调性.21已知函数的周期为,且 ,将函数图像上的所有点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变）,再将所得图像向右平移个单位长度后得到函数的图像.（1）求函数与的解析式；（2）是否存在,使得按照某种顺序成等差数列？若存在,请求出的值，若不存在,说明理由；（3）求实数与正整数,使得在内恰有2013个零点【答案】（1）；（2）假设存在，当时，又，则，所以，即，化简得或与矛盾，所以不存在,使得按
12、照某种顺序成等差数列；（3），.【解析】试题分析：（1）依题意可求得和，利用三角函数的图像变换可求得；（2）依题意，当时，和，问题转化为方程在内是否有解，通过求解该方程即可判断是否有解即可；（3）将“函数有零点的问题”转化为“方程有实数根”的问题，可分种情况进行讨论：当时，由题意知其不成立；当时，先令将其换元为，然后根据函数的图像及其性质判断在内有解所满足的条件，最后由零点的个数，判断出正整数的取值即可.试题解析：（1）由函数的周期为可得，又由，得，所以；将函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（保持纵坐标不变）后可得的图像，再将的图象向右平移个单位长度后得到函数.（2）假设存在，当时，又，则，所以，即，化简得或与矛盾，所以不存在,使得按照某种顺序成等差数列.（3）令，即，当时，显然不成立；当时，令，则当时，.由函数及，的图像可知，当时，在内有3个解.再由可知，综上所述，.考点：函数的图象变换，函数与方程.