1、章末综合测评(二)概率(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.下列说法不正确的是()A.某辆汽车一年中发生事故的次数是一个离散型随机变量B.正态分布随机变量等于一个特定实数的概率为0C.公式E(X)np可以用来计算离散型随机变量的均值D.从一副扑克牌中随机抽取5张，其中梅花的张数服从超几何分布【解析】公式E(X)np并不适用于所有的离散型随机变量的均值的计算，适用于二项分布的均值的计算.故选C.【答案】C2.(2016吉安高二检测)若在甲袋内装有8个白球、4个红球，在乙袋内装有6个白球、5个红球
2、，现从两袋内各任意取出1个球，设取出的白球个数为X，则下列概率中等于的是()A.P(X0)B.P(X2)C.P(X1)D.P(X2)【解析】由已知易知P(X1).【答案】C3.(2016长沙高二检测)若X的分布列为X01Pa则E(X)()A.B.C.D.【解析】由a1，得a，所以E(X)01.【答案】A4.甲、乙、丙三人参加某项测试，他们能达到标准的概率分别是0.8,0.6,0.5，则三人中至少有一人达标的概率是()A.0.16B.0.24C.0.96D.0.04【解析】三人都不达标的概率是(10.8)(10.6)(10.5)0.04，故三人中至少有一人达标的概率为10.040.96.【答案】
3、C5.如果随机变量XN(4,1)，则P(X2)等于()(注：P(2X2)0.954 4)A.0.210B.0.022 8C.0.045 6D.0.021 5【解析】P(X2)(1P(2X6)1P(42110)P(50)，即分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同，故C正确，故选B.【答案】B10.设随机变量等可能地取1,2,3,4，10，又设随机变量21，则P(6)()A.0.3B.0.5C.0.1D.0.2【解析】因为P(k)，k1,2，10，又由216，得，即1,2,3，所以P(E(X乙)，乙的产品质量比甲的产品质量好一些.【答案】B12.(2016深圳高二检测)某计算机程序每
4、运行一次都随机出现一个五位的二进制数Aa1a2a3a4a5，其中A的各位数中a11，ak(k2,3,4,5)出现0的概率为，出现1的概率为，记a1a2a3a4a5，当程序运行一次时，的数学期望为()A.B.C.D.【解析】记a2，a3，a4，a5位上出现1的次数为随机变量，则B，E()4.因为1，E()1E().故选B.【答案】B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上)13.袋中有4只红球，3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量X，则P(X6)_.【解析】P(X6)P(X4)P(X6).【答案】14.一只蚂蚁位于数
5、轴x0处，这只蚂蚁每隔一秒钟向左或向右移动一个单位，设它向右移动的概率为，向左移动的概率为，则3秒后，这只蚂蚁在x1处的概率为_. 【导学号：62980063】【解析】由题意知，3秒内蚂蚁向左移动一个单位，向右移动两个单位，所以蚂蚁在x1处的概率为C21.【答案】15.(2016福州检测)一个正方形被平均分成9个小正方形，向大正方形区域随机地投掷一个点(每次都能投中).设投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B，则P(A|B)_.【解析】如图，n()9，n(A)3，n(B)4，所以n(AB)1，P(A|B).【答案】16.一袋中有大小
6、相同的4个红球和2个白球，给出下列结论：从中任取3球，恰有一个白球的概率是；从中有放回的取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为；现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为；从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为.其中所有正确结论的序号是_.【解析】恰有一个白球的概率P，故正确；每次任取一球，取到红球次数XB，其方差为6，故正确；设A第一次取到红球，B第二次取到红球.则P(A)，P(AB)，P(B|A)，故错；每次取到红球的概率P，所以至少有一次取到红球的概率为13，故正确.【答案】三、解答题(本大题共6小题，共70分
7、.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问：(1)从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是多少？(2)从2号箱取出红球的概率是多少？【解】记事件A：最后从2号箱中取出的是红球；事件B：从1号箱中取出的是红球.P(B).P()1P(B).(1)P(A|B).(2)P(A|)，P(A)P(AB)P(A)P(A|B)P(B)P(A|)P().18.(本小题满分12分)在某次数学考试中，考生的成绩服从一个正态分布，即N(90,100).
8、(1)试求考试成绩位于区间(70,110)上的概率是多少？(2)若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩在(80,100)的考生大约有多少人？【解】因为N(90,100)，所以90，10.(1)由于正态变量在区间(2，2)内取值的概率是0.954 4，而该正态分布中，29021070，290210110，于是考试成绩位于区间(70,110)内的概率就是0.954 4.(2)由90，10，得80，100.由于正态变量在区间(，)内取值的概率是0.682 6，所以考试成绩位于区间(80,100)内的概率是0.682 6.一共有2 000名学生，所以考试成绩在(80,100)的考生大约有2 0
9、000.682 61 365(人).19.(本小题满分12分)甲，乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相同，所得次品数分别为X，Y，X和Y的分布列如下表.试对这两名工人的技术水平进行比较.X012PY012P【解】工人甲生产出次品数X的数学期望和方差分别为E(X)0120.7，D(X)(00.7)2(10.7)2(20.7)20.81.工人乙生产出次品数Y的数学期望和方差分别为E(Y)0120.7，D(Y)(00.7)2(10.7)2(20.7)20.61.由E(X)E(Y)知，两人生产出次品的平均数相同，技术水平相当，但D(X)D(Y)，可见乙的技术比较稳定.20.(本小题满分12
10、分)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片.(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；(2)X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与数学期望.(注：若三个数a，b，c满足abc，则称b为这三个数的中位数)【解】(1)由古典概型的概率计算公式知所求概率为p.(2)X的所有可能值为1,2,3，且P(X1)，P(X2)，P(X3).故X的分布列为X123P从而E(X)123.21.(本小题满分12分)某公司有10万元资金用于投资，如果投资甲项目，根据市场分析知道一年后可能获利10%，可能损失10%，可能
11、不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为，；如果投资乙项目，一年后可能获利20%，也可能损失20%，这两种情况发生的概率分别为和(1).(1)如果把10万元投资甲项目，用表示投资收益(收益回收资金投资资金)，求的分布列及E()；(2)要使10万元资金投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，求的取值范围.【解】(1)依题意，可能的取值为1,0，1.的分布列为101PE().(2)设表示10万元投资乙项目的收益，则的分布列为22PE()2242.依题意得42，故1.22.(本小题满分12分)一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三
12、次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得200分).设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立.(1)设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？(3)玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比.分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.【解】(1)X可能的取值为10,20,100，200.根据题意，有P(X10)C12，P(X20)C21，P(X100)C30，P(X200)C03.所以X的分布列为X1020100200P(2)设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件Ai(i1,2,3)，则P(A1)P(A2)P(A3)P(X200).所以“三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为1P(A1A2A3)131.因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是.(3)X的数学期望为EX1020100200.这表明，获得的分数X的均值为负，因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大.