1、圆锥曲线中的定点、定值问题1(2021蚌埠高三二模)设A，B为抛物线y24x上两点，且线段AB的中点在直线y2上(1)求直线AB的斜率；(2)设直线y2与抛物线交于点M，记直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，当直线AB经过抛物线的焦点F时，求k1k2的值解(1)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若x1x2，则ABx轴，此时，线段AB的中点在x轴上，所以，x1x2因为线段AB的中点在直线y2上，所以，2，可得y1y24由已知条件可得两式作差可得4(x1x2)yy(y1y2)(y1y2)4(y1y2)，因此，直线AB的斜率为kAB1(2)联立 ，解得 ，即点M(1,2)，因为直线AB经过抛
2、物线y24x的焦点F(1,0)，可设直线AB的方程为xmy1，联立 ，消去x可得y24my40，所以，y1y24k1，同理可得k2，所以，k1k242已知抛物线C1：x22py(p0)和圆C2：(x1)2y22，倾斜角为45的直线l1过C1的焦点，且l1与圆C2相切(1)求p的值；(2)动点M在C1的准线上，动点A在C1上(不与坐标原点O重合)，若C1在A点处的切线l2交y轴于点B，设，证明点N在定直线上，并求该定直线的方程解(1)由题意得，直线l1的斜率k1tan 451，抛物线C1的焦点为，则直线l1的方程为yx因为l1与C2相切，所以圆心C2(1,0)到直线l1：yx的距离d，解得p6(
3、2)法一：依题意设M(m，3)，由(1)知抛物线C1的方程为x212y，即y，求导得y设A(x1，y1)(x10)，则以A为切点的切线l2的斜率k2，所以切线l2的方程为yx1(xx1)y1令x0，则yxy112y1y1y1，即点B的坐标为(0，y1)则(x1m，y13)，(m，y13)，所以(x12m,6)，连接ON，OM(图略)，则(x1m,3)设点N的坐标为(x，y)，则y3，所以点N在定直线y3上法二：设M(m，3)，由(1)知抛物线C1的方程为x212y设直线l2的斜率为k2，A(x10)，则以A为切点的切线l2的方程为yk2(xx1)x联立得消去y并整理得x212k2x12k2x1
4、x0由(12k2)24(12k2x1x)0，求得k2所以切线l2的方程为yx1(xx1)x令x0，得点B的坐标为，则，所以(x12m,6)，连接ON，OM(图略)，则(x1m,3)设点N的坐标为(x，y)，则y3，所以点N在定直线y3上3(2020全国卷)已知A，B分别为椭圆E：y21(a1)的左、右顶点，G为E的上顶点，8P为直线x6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D(1)求E的方程；(2)证明：直线CD过定点解(1)由题设得A(a,0)，B(a,0)，G(0,1)则(a,1)，(a，1)由8得a218，即a3所以E的方程为y21(2)证明：设C(x1，y1)，D(x2，y2)，P(6，t)若t0，设直线CD的方程为xmyn，由题意可知3n3由于直线PA的方程为y(x3)，所以y1(x13)直线PB的方程为y(x3)，所以y2(x23)可得3y1(x23)y2(x13)由于y1，故y，可得27y1y2(x13)(x23)，即(27m2)y1y2m(n3)(y1y2)(n3)20将xmyn代入y21得(m29)y22mnyn290所以y1y2，y1y2代入式得(27m2)(n29)2m(n3)mn(n3)2(m29)0解得n3(舍去)或n故直线CD的方程为xmy，即直线CD过定点若t0，则直线CD的方程为y0，过点综上，直线CD过定点
