1、上海市进才中学2019-2020学年高二数学上学期10月月考试题（含解析）一.填空题1.已知，则的单位向量是_.【答案】【解析】【分析】写出的坐标，求出的模长，利用即可求出的单位向量.详解】即故答案为：【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，考查学生对模长和数量积的坐标表示，属于基础题.2.若向量、满足，且与夹角为，则在上的投影为_.【答案】【解析】【分析】利用即可求解.【详解】 即在上的投影为故答案为：【点睛】本题主要考查了向量的投影，属于基础题.3.若，则_【答案】【解析】【分析】利用结合题意即可求解.【详解】故答案为：【点睛】本题主要考查了向量的运算性质，属于基础题.4.已知中，则_.【答
2、案】【解析】【分析】利用，表示，结合三角形法则求出.【详解】， 故答案：【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理，属于基础题.5.已知G是的重心，若A、B、C的坐标分别为、，则点G的坐标为_.【答案】【解析】【分析】利用重心坐标公式即可求解.【详解】G是的重心 故答案为：【点睛】本题主要考查了重心坐标公式，属于基础题.6.已知，则向量、的夹角大小为_.【答案】【解析】分析】利用模长公式以及数量积公式对进行化简，即可求解.【详解】 设向量、的夹角为即 ，解得 故答案为：【点睛】本题主要考查了向量的模长以及数量积、向量的夹角的求法，属于基础题.7.向量，且、的夹角为锐角，则实数k的取值范围是_.【
3、答案】【解析】【分析】利用模长以及数量积公式求出，结合题意得到，化简即可求出实数k的取值范围.【详解】, 由于、的夹角为锐角则，解得：或 故答案为：【点睛】本题主要考查了向量的模长以及数量积、向量的夹角的求法，属于中等题.8.已知平面内三点A、B、C满足，则的值为_.【答案】【解析】分析】由勾股定理得到，从而得到，利用向量运算法则及向量的运算律求出值.【详解】 ,即所以故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量的数量积以及向量的运算法则，属于基础题.9.在边长为1的等边三角形ABC中,设=2=3,则=_.【答案】【解析】试题分析：因为，所以为的中点即，考点：向量线性运算与数量积的几何运算.10.如
4、图，O为直线外一点，若、中任意相邻两点的距离相等，设，用、表示_.【答案】【解析】【分析】设为线段的中点,利用平行四边形法则求出，即可求解.【详解】设为线段的中点，则也为线段，的中点由平行四边形法则可知 所以故答案为：【点睛】本题主要考查了向量的运算性质，利用平行四边形法则求解是解题的关键,属于中档题.11.已知点、，平面区域P是由所有满足的点M组成的区域，若区域P的面积为16，则m的值为_.【答案】【解析】【分析】利用数量积公式求出，根据题意画出符合条件的组成的区域是平行四边形，利用面积建立等量关系，化简即可求解.【详解】设，所以，令，以为邻边作平行四边形令，以为邻边作平行四边形因为，所以符
5、合条件的组成的区域是平行四边形，如图所示所以 ，解得：故答案为：【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理以及平行四边形法则，属于中等题.12.已知C为线段AB上一点，P为直线AB外一点，I为线段PC上一点，满足，且，则的值为_.【答案】【解析】【分析】由题设条件，得出点为三角形的内心，根据内心的性质结合数量积的公式求解即可.【详解】由题中已知条件可知，所以在、两个向量方向上的投影相等，所以在的角平分线上；又因为，所以，即在的角平分线上；又因为在上，所以为三角形内心，作各边的垂线，如下图所示：由内心的性质可知，设，因为，所以得到，解得，则故答案为：【点睛】本题考查向量在几何中的应用，本题解题的关
6、键是正确理解条件中所给的几个关系式，注意把条件转化成我们所熟悉的条件，本题是一个比较好的题目二.选择题13.下列命题中，正确的命题是（ ）A. 若，则或B. 的充要条件是C. 若，则D. 若，则、方向相反【答案】D【解析】【分析】由时，有可能，判断A选项；模长相等不一定向量相等，判断B选项；由时，满足，判断C选项，利用模长公式以及数量积公式求出，判断D选项.【详解】A项，当时，有可能，故A错误；B项，说明向量，的模长相等，向量，不一定相等，故B错误;C项，当时，满足，但是，不一定相等，故C错误；D项，则， ，即向量，的夹角为，故D正确.故选：D.【点睛】本题主要考查了平面向量的基本性质，属于基
7、础题.14.若，则三角形ABC必定是（ ）三角形A. 锐角B. 直角C. 钝角D. 等腰直角【答案】B【解析】【分析】由得到，即可求解.【详解】，即 所以三角形ABC必定是直角三角形故选：B【点睛】本题主要考查了平面向量的基本运算，属于基础题.15.已知非零在非零方向上的投影是，下列说法正确的是（ ）A. 在方向上的投影定是B. 在方向上的投影定是C. 在方向上的投影定是D. 在方向上的投影定是【答案】C【解析】【分析】利用数量积公式将非零在非零方向上的投影写为，再写出在方向上的投影，讨论的值，即可判断.【详解】因为非零在非零方向上的投影为所以在方向上的投影为当时，在方向上的投影为当时，在方向
8、上的投影为故选：C【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积公式以及投影的概念，属于基础题.16.设、是平面上给定的2019个不同点，则使成立的点M的个数为（ ）A. 0B. 1C. 5D. 无数个【答案】B【解析】【分析】将、表示为坐标，利用向量的坐标运算，即可求解.【详解】在平面坐标系内，是， ，。因为所以解得， 因为、给定，则固定，所以只有一个故选：B【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，关键是利用坐标来解决问题，属于基础题.三.解答题17.已知、都是单位向量，与满足，其中.(1)用k表示；(2)求的最小值，并求此时、的夹角的大小.【答案】(1)；(2)，【解析】【分析】(1)对两边平方，
9、化简即可求解;(2)利用基本不等式求出的最小值，再结合数量积公式求出此时、的夹角.【详解】(1) 即(2)由(1)可知 当且仅当时，取最小值此时、的夹角的余弦值为，所以的最小值为，此时、的夹角为.【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积公式以及夹角的求法，属于中档题.18.已知，且和的夹角为，设，.（1）求y的值；（2）若，求实数的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)利用数量积公式即可求解；(2)利用两向量垂直，数量积为0，列出方程，化简即可求解.【详解】(1), ,解得：(2) ，则即 ，解得：【点睛】本题主要考查了数量积公式以及坐标运算，属于中等题.19.设，. （1）若且，求x
10、、y的值；（2）若成立，是否存在唯一的x、y满足上述条件？若存在，写出x、y的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1），；（2）不存在，与k有关【解析】【分析】(1)当时，写出，结合，利用待定系数法即可求解；(2)将表示为坐标形式，建立方程组，得到，根据的取值，即可判断.【详解】(1)当时，因为，所以 则，解得：，(2)因为 所以则 ，得到当时，等式不成立所以因为，所以的值不唯一，即，的值不唯一即不存在唯一的x、y，使成立.【点睛】本题主要考查了向量坐标的运算，考查学生的计算能力以及分析和解决问题的能力，运算时，要细心，属于中档题.20.平面直角坐标系xOy内，点，动点和Q关于原点O对称，.
11、（1）以原点O和点A为顶点作等腰直角三角形ABO，使，求向量坐标；（2）若且P、M、A三点共线，求的最小值；（3）若，且，求直线AQ的解析式.【答案】（1）或；（2）；（3）【解析】【分析】(1)设出点B坐标，利用等腰直角三角形的两腰相等且两腰相互垂直，结合平面向量的坐标表示建立方程组求解即可;(2)根据与共线，利用坐标运算列出方程得到，利用模长公式表示，结合二次函数的性质即可求出最小值；(3)将，且，表示为坐标的形式，列出方程组，求出点Q的坐标，再求出对应的斜率，利用点斜式写出方程即可.【详解】（1）设，则， 由题意可得： 解得： 或 则向量坐标为或（2） ， 因为与共线，所以得： 当 时，
12、取最小值 （3）因为，所以设 ，则， ， 因为，且，所以， ， 解得 或即或当时，,所以直线AQ的方程为，即当时，,所以直线AQ的方程为，即综上所述，直线AQ的解析式为【点睛】本题主要考查了平面向量的坐标运算、向量垂直的坐标表示、直线的方程以及模长公式，题目较为综合，着重考查了学生的计算和求解能力，属于难题.21.已知平面内n个不同的单位向量、，且n边形为凸多边形. （1）当且时，求证：三角形是正三角形；（2）记，求的值.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】(1)将变形，然后两边平方化简得到，将表示为，求出，同理得出，即可判断三角形的形状；(2) 将化简为，结合、为单位向量，得到n边形内接于半径为的圆，当 时，为半径为1的圆的周长，求出半径为1的圆的周长即为的值.【详解】(1),得到同理可得：，则即三角形是正三角形(2) 由于、为单位向量，则n边形内接于半径为的圆表示n边形的周长当 时，为半径为1的圆的周长则【点睛】本题主要考查了平面向量的运算性质，模长公式以及平面向量的数量积公式，难度较大，综合性强，属于难题.
