1、广东省13大市2013届高三上期末考数学理试题分类汇编 立体几何一、填空、选择题1、（潮州市2013届高三上学期期末）对于平面和共面的两直线、，下列命题中是真命题的为A若，则 B若，则C若，则D若，则 答案：C2、（东莞市2013届高三上学期期末）设m、n是两条不同的直线，,是两个不同的平面，则的个充分条件是Am/n,/, B,/,/m Cm/n，, / D,答案：B3、（佛山市2013届高三上学期期末）一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A9 B10C11 D答案：C4、（广州市2013届高三上学期期末）已知四棱锥的三视图如图1所示，则四棱锥的四个侧
2、面中面积最大的是A B C D答案：C分析：三棱锥如图所示， ， ，5、（江门市2013届高三上学期期末）已知一个几何体的三视图及其大小如图1，这个几何体的体积A B C D答案：B6、（茂名市2013届高三上学期期末）若某一几何体的正视图与侧视图均为边长是1的正方 形，且其体积为，则该几何体的俯视图可以是( )答案：C7、（汕头市2013届高三上学期期末）如图正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面的射影是底面的中心）P-ABCD的底面边长为6cm，侧棱长为5cm，则它的侧视图的周长等于( )A.17cm B. C.16cm D.14cm答案：D8、（增城市2013届高三上学期期末）给出三个命题：
3、（1）若两直线和第三条直线所成的角相等，则这两直线互相平行（2）若两直线和第三条直线垂直，则这两直线互相平行（3）若两直线和第三条直线平行，则这两直线互相平行其中正确命题的个数是A0 B 1 C 2 D 3答案：B9、（湛江市2013届高三上学期期末）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积为3，则正视图中的x答案：310、（肇庆市2013届高三上学期期末）已知某个几何体的三视图如图2所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm），则这个几何体的体积是( ). A. B. C. D. 答案：B解析：三视图的直观图是有一个侧面垂直于底面三棱锥，底面是底边长为6高为4的等腰三角形，三棱锥的高为3，所以，
4、这个几何体的体积11、（中山市2013届高三上学期期末）如图，在透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，将容器底面一边固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：水的部分始终呈棱柱状；水面四边形的面积不改变；棱始终与水面平行；当时，是定值.其中所有正确的命题的序号是（ ） A B C D答案：D12、（珠海市2013届高三上学期期末）已知直线l，m和平面， 则下列命题正确的是 A若lm，m，则l B若l，m，则lm C若lm，l，则m D若l，m，则lm 答案：D13、（潮州市2013届高三上学期期末）若一个正三棱柱的三视图如下图所示，则这个正三棱柱的体积为_答案：由左视图知正
5、三棱柱的高，设正三棱柱的底面边长，则，故，底面积，故二、解答题1、（潮州市2013届高三上学期期末）已知梯形中，、分别是、上的点，沿将梯形翻折，使平面平面(如图)是的中点，以、为顶点的三棱锥的体积记为（1）当时，求证： ；（2）求的最大值；（3）当取得最大值时，求异面直线与所成的角的余弦值（法一）（1）证明：作，垂足，连结，平面平面，交线，平面，平面，又平面，故，四边形为正方形，故又、平面，且，故平面又平面，故 （2）解：，平面平面，交线，平面面又由（1）平面，故，四边形是矩形，故以、为顶点的三棱锥 的高，又三棱锥的体积 当时，有最大值为 （3）解：由（2）知当取得最大值时，故，由（2）知，故
6、是异面直线与所成的角在中，由平面，平面，故在中，异面直线与所成的角的余弦值为法二：（1）证明：平面平面，交线，平面，故平面，又、平面，又，取、分别为轴、轴、轴，建立空间坐标系，如图所示当时，又，即； （2）解：同法一； （3）解：异面直线与所成的角等于或其补角又， 故，故异面直线与所成的角的余弦值为2、（东莞市2013届高三上学期期末）如图,几何体SABC的底面是由以AC为直径的半圆O与ABC组成的平面图形，平面ABC,SA =SB=SC=A C=4,BC=2. (l)求直线SB与平面SAC所威角的正弦值； (2)求几何体SABC的正视图中的面积； (3)试探究在圆弧AC上是否存在一点P，使得
7、，若存在，说明点P的位置并 证明；若不存在，说明理由ABCOSH解：（1）过点作于点，连接. 1分 因为， 所以. 2分 又因为， 所以， 即就是直线与平面所成角. 3分 在中，因为， 所以，. 4分 在中，因为， 所以， 即直线与平面所成角的正弦值为. 5分（2）由（1）知，几何体的正视图中，的边，而，所以. 6分又的边上的高等于几何体中的长，而，所以， 7分 所以. 8分ABCOSMP（3）存在. 9分证明如下： 如图，连接并延长交弧于点， 在底面内，过点作交弧于点. 10分 所以. 而，所以. 11分 又因为， 所以，从而. 12分 又因为，所以有，所以 ， 13分即点位于弧的三等分的位
8、置，且. 14分3、（佛山市2013届高三上学期期末）如图所示，已知为圆的直径，点为线段上一点，且，点为圆上一点，且PABDCO第18题图点在圆所在平面上的正投影为点，（1）求证：；（2）求二面角的余弦值PABDCO解析：（）法1：连接，由知，点为的中点，又为圆的直径，由知，为等边三角形，从而-3分点在圆所在平面上的正投影为点，平面，又平面，-5分由得，平面，又平面， -6分（注：证明平面时，也可以由平面平面得到，酌情给分）法2：为圆的直径，在中设，由，得，则，即 -3分点在圆所在平面上的正投影为点，平面，又平面， -5分由得，平面，又平面， -6分法3：为圆的直径，在中由得，设，由得，由余弦
9、定理得，即 -3分点在圆所在平面上的正投影为点，平面，又平面， -5分由得，平面，又平面， -6分PABDCOE（）法1：（综合法）过点作，垂足为，连接 -7分由（1）知平面，又平面，又，平面，又平面，-9分为二面角的平面角 -10分由（）可知，（注：在第（）问中使用方法1时，此处需要设出线段的长度，酌情给分），则，在中，即二面角的余弦值为 -14分法2：（坐标法）以为原点，、和的方向分别为轴、轴和轴的正向，建立如图所示的空间直角坐标系 -8分（注：如果第（）问就使用“坐标法”时，建系之前先要证明，酌情给分）设，由，得，由平面，知平面的一个法向量为 -10分PABDCOyzx设平面的一个法向量
10、为，则，即，令，则，-12分设二面角的平面角的大小为，则，-13分二面角的余弦值为-14分 4、（广州市2013届高三上学期期末）如图4,已知四棱锥，底面是正方形，面，点是的中点，点是的中点,连接,.(1) 求证：面；（2）若,，求二面角的余弦值.（1）证法1：取的中点，连接， 点是的中点, . 1分 点是的中点，底面是正方形， . 2分 . 四边形是平行四边形. . 3分 平面，平面， 面. 4分证法2：连接并延长交的延长线于点，连接， 点是的中点， , 1分 点是的中点. 2分点是的中点, . 3分 面，平面， 面. 4分证法3：取的中点，连接， 点是的中点，点是的中点, ，. 面，平面，
11、 面. 1分 面，平面， 面. 2分 ，平面，平面， 平面面. 3分 平面， 面. 4分（2）解法1：，面， 面. 5分 面， . 6分 过作，垂足为，连接， ，面，面， 面. 7分 面， . 8分 是二面角的平面角. 9分 在Rt中，,，得， 10分 在Rt中，得， . 11分 在Rt中， 12分 . 13分 二面角的余弦值为. 14分解法2：，面， 面.在Rt中，,，得， 5分以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 6分则.，. 8分设平面的法向量为，由，得令，得，.是平面的一个法向量. 11分又是平面的一个法向量， 12分. 13分二面角的余弦值为.
12、14分5、（惠州市2013届高三上学期期末）如图，在长方体中，点在棱上移动 （1）证明：；（2）当点为的中点时，求点到平面的距离；EDCABA1B1C1D1（3）等于何值时，二面角的大小为？（1）证明：如图，连接，依题意有：在长方形中，EDCABA1B1C1D1F 4分（2）解：， 6分，设点到平面的距离为，点到平面的距离为 8分（3）解：过作交于，连接由三垂线定理可知，为二面角的平面角， 10分， 12分，故时，二面角的平面角为 14分6、（江门市2013届高三上学期期末）图6图4如图4，四棱锥中，底面，是直角梯形，为的中点，求证：平面；求与平面所成角的正弦值证明与求解：因为，所以1分，取的
13、中点，连接，则是梯形的中位线，所以且3分，在和中，所以5分，所以6分，因为，所以平面7分（方法一）由知平面平面8分，设，连接，在中作，垂足为，则平面10分，所以是与平面所成的角11分，由知，在中，所以12分，因为，所以13分，即为与平面所成角的正弦值14分（方法二）依题意，以为原点，、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系8分，则直线的方向向量为9分， 依题意，、10分，从而，11分，设平面的一个法向量为，则12分，所以，可选取平面的一个法向量为13分，所以与平面所成角的正弦值为14分7、（茂名市2013届高三上学期期末）如图，为矩形，为梯形，平面平面， ，.（1）若为中点，求证：平面；（
14、2）求平面与所成锐二面角的大小（1）证明：连结,交与,连结，中，分别为两腰的中点 2分 因为面,又面，所以平面 4分（2）解法一：设平面与所成锐二面角的大小为，以为空间坐标系的原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则 6分 设平面的单位法向量为，则可设 7分设面的法向量，应有 即：解得：，所以 12分 13分 所以平面与所成锐二面角为6014分解法二：延长CB、DA相交于G，连接PG，过点D作DHPG ，垂足为H，连结HC 6分矩形PDCE中PDDC，而ADDC，PDAD=DCD平面PAD CDPG，又CDDH=DPG平面CDH，从而PGHC 8分DHC为平面PAD与平面PBC所成的锐二
15、面角的平面角 10分在中， 可以计算 12分在中， 13分所以平面与所成锐二面角为6014分8、（汕头市2013届高三上学期期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，AB丄平面PAD,PD=AD, E为PB的中点，向量，点H在AD上，且(I)：EF/平面PAD.(II)若PH，AD=2, AB=2, CD=2AB,(1)求直线AF与平面PAB所成角的正弦值. （2）求平面PAD与平面PBC所成二面角的平面角的余弦值.（） 取PA的中点Q，连结EQ、DQ， 则E是PB的中点，,四边形EQDF为平行四边形， ，(3分)（）解法一：证明: , PHAD, 又 AB平面PAD，平面PAD,ABPH,又 PH
16、AD=H, PH平面ABCD; -(4分)连结AE 又且 (5分)由（）知 (7分) , 又 在 又 (9分)(2)延长DA，CB交于点M，连接PM，则PM为平面PAD与平面PBC所成二面角的交线。(10分)因为,所以点A,B分别为DM,CM的中点，所以DM=4，在中：， ,(11分)又因为，所以即为所求的二面角的平面角。(13分)所以在中：(14分)解法二：（向量法）（1）由（）可得 又在平面ABCD内过点,以H为原点，以正方向建立空间直角坐标系 设平面PAB的一个法向量为 ， 得y=0 令 得x=311分设直线AF与平面PAB所成的角为则 （9分 ）(2) 显然向量为平面PAD的一个法向量
17、，且设平面PBC的一个法向量为，,， 由得到由得到，令，则所以， 所以平面PAD与平面PBC所成二面角的平面角的余弦值为（14分 ）9、（增城市2013届高三上学期期末）如图，在三棱锥中，平面, VABC ,且（1）求证：平面平面;（2）求二面角的平面角的余弦值（1）平面 1分 2分 平面 4分 平面平面 5分三、 过点作于，过点作于，过点作交于，则/ 7分 8分 平面 9分 10分 11分 12分 在中， 13分 在中，所以所求二面角的平面角的余弦值是 14分或解：过点作平面，建立直角坐标系如图 6分则 7分 8分设 9分则 10分同理设 11分则 12分设与的夹角为，则 13分所以所求二面
18、角的平面角的余弦值是 14分 10、（湛江市2013届高三上学期期末）如图，矩形ABCD中，AB2BC4，E为边AB的中点，将ADE沿直线DE翻折成A1DE。（1）当平面A1DE平面BCD时，求直线CD与平面CEA1所成角的正弦值；（2）设M为线段A1C的中点，求证：在ADE翻转过程中，BM的长度为定值。解：（1）过A1作A1FDE，由已知可得A1F平面BCD，且F为DE中点，以D为原点，DC、DA所在直线为y，x轴建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），C（0，4，0），E（2，2，0），A1（1，1，）求得平面CEA1的一个法向量为m（1，1，）（0，4，0），mmcos，得cos所以，直
19、线CD与平面CEA1所成角的正弦值为。（2）取A1D中点G，连结MG，EG，由MGEB，且MGEB，可得BMGE为平行四边形，所以，BMEG，而三角形ADE中，EG的长度为定值，所以，BM的长度为定值。11、（肇庆市2013届高三上学期期末）如图5，在四棱锥中，底面为直角梯形，垂直于底面，分别为的中点。 (1)求证：；（2）求平面与平面所成的二面角的余弦值；（3）求点到平面的距离. 解：（1）证明：因为是的中点， 所以 (1分) 由底面，得， (2分)又，即，又在平面内， (3分) 平面，所以 ， (4分)又在平面内， 平面， 。 (5分)（2）方法一： 由（1）知，平面，所以 ， 由已知可知
20、， 所以是平面与平面所成的二面角的平面角 (6分)在直角三角形中， (7分)因为直角三角形斜边的中点，所以 (8分)在直角三角形中， (9分)即平面与平面所成的二面角的余弦值为. (10分)方法二：如图建立空间直角坐标系，则， (6分)设平面的法向量为，则即，令，则，所以平面的一个法向量为 显然是平面的一个法向量 (7分)设平面与平面所成的二面角的平面角为，则 (9分)即平面与平面所成的二面角的余弦值为. (10分)(3)由已知得， (11分) (12分)设点到平面的距离为，则 (13分)由，即，得 即点到平面的距离. (14分) 12、（中山市2013届高三上学期期末） 如图，三棱柱中，平面
21、,、分别为、的中点，点在棱上，且.（）求证：平面;（）在棱上是否存在一个点，使得平面将三棱柱分割成的两部分体积之比为115，若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由.（I）证明：取的中点M，为的中点，又为的中点， 在三棱柱中，分别为的中点，,为平行四边形， 平面，平面 平面 .7分（II）设上存在一点,使得平面EFG将三棱柱分割成两部分的体积之比为115，则 ， ， 所以符合要求的点不存在.14分13、（珠海市2013届高三上学期期末）已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形 （1）求证：； （2）求证：； （3）设为中点，在边上找一点，使平面,并求的值.884主视图侧视图俯视图448解：（1）证明：该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，两两互相垂直。以分别为轴建立空间直角坐标系，则， ， 2分 ， ， 4分（2），CBAC1B1NMP，又 8分（3） 设为上一点，为的中点，设平面的一个法向量为，则有，则有，得，10分/平面，于是解得： 12分平面，/平面，此时， 14分 高考资源网%
