1、专题6 导数的简单应用 第二部分 专题6 导数的简单应用 高考能力解读 高考能力突破 高考能力训练 高考能力解读-2-能力目标解读 热点考题诠释 本部分主要考查导数的概念、求导公式、导数的几何意义,及导数的简单应用,此部分知识在高考中,一般既有选择或填空题,也有解答题,在高考中占有重要位置.(1)导数的几何意义是高考中的一个热点,主要考查导数与切线斜率之间的关系,最常见的问题是求过曲线上某一点的切线的斜率或方程,以平行或垂直直线间的关系为载体求相关参数的取值或范围.第二部分 专题6 导数的简单应用 高考能力解读 高考能力突破 高考能力训练 高考能力解读-3-能力目标解读 热点考题诠释(2)对于
2、导数的简单应用,主要体现在利用导数工具研究函数的单调性、极值、最值等基本问题,此部分要注意求解步骤的规范性(最好列表格,并注意通过典型题目体会其中蕴含的转化与化归、分类讨论和数形结合等数学思想).(3)预测 2015 年的高考在导数方面还应体现应用知识的基础性,平时训练应掌握通性通法;在定积分方面也是注意一般性训练即可,不需研究过深.第二部分 专题6 导数的简单应用 高考能力解读 高考能力突破 高考能力训练 高考能力解读-4-能力目标解读 热点考题诠释 12 答案 解析 解析 关闭设点 P 的坐标是(x0,e-0),则由题意知,y|=0=-e-0=-2,得 x0=-ln 2,又e-0=eln
3、2=2,故点 P 的坐标是(-ln 2,2).答案 解析 关闭(-ln 2,2)1.(2014 江西高考,理 13)若曲线 y=e-x 上点 P 处的切线平行于直线2x+y+1=0,则点 P 的坐标是.命题定位:本题主要考查导数的几何意义,重点是应用导数求曲线某点处的切线,及求导公式.第二部分 专题6 导数的简单应用 高考能力解读 高考能力突破 高考能力训练 高考能力解读-5-能力目标解读 热点考题诠释 122.(2014 课标全国高考,理 21)设函数 f(x)=aexln x+e-1,曲线 y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为 y=e(x-1)+2.(1)求 a,b;(2)证明:f
4、(x)1.命题定位:本题主要考查直线方程、直线方程的斜率、对数、导数、方程、单调性及最值等,体现化归与转化的思想和分类讨论的思想方法.对于不等式的证明体现了构造函数,利用导数工具的能力.(1)解:函数 f(x)的定义域为(0,+),f(x)=aexln x+ex-2ex-1+ex-1.由题意可得 f(1)=2,f(1)=e.故 a=1,b=2.第二部分 专题6 导数的简单应用 高考能力解读 高考能力突破 高考能力训练 高考能力解读-6-能力目标解读 热点考题诠释 12(2)证明:由(1)知,f(x)=exln x+2ex-1,从而 f(x)1 等价于 xln xxe-x-2e.设函数 g(x)
5、=xln x,则 g(x)=1+ln x.所以当 x 0,1e 时,g(x)0.故 g(x)在 0,1e 单调递减,在 1e,+单调递增,从而 g(x)在(0,+)的最小值为 g 1e=-1e.设函数 h(x)=xe-x-2e,则 h(x)=e-x(1-x).所以当 x(0,1)时,h(x)0;当 x(1,+)时,h(x)0 时,g(x)h(x),即 f(x)1.第二部分 专题6 导数的简单应用 高考能力解读 高考能力突破 高考能力训练 高考能力突破-7-能力突破点一 能力突破点二 能力突破方略 能力突破模型 能力迁移训练 能力突破点三 能力突破点一 导数几何意义及其应用思考:如何求曲线 y=
6、f(x)在点 P(x0,y0)处的切线方程及过点 P(x0,y0)的切线方程?提示:(1)求曲线在点 P(x0,y0)处的切线方程的步骤:求出函数 y=f(x)在 x=x0处的导数 f(x0);根据直线的点斜式方程,得切线方程为 y-f(x0)=f(x0)(x-x0).(2)若求过点 P(x0,y0)的切线方程,可设切点为(x1,y1),由 1=f(1),0-1=f(1)(0-1)解出 x1,进而确定过点 P 的切线方程为 y-y0=f(x1)(x-x0),再化为一般式即可.第二部分 专题6 导数的简单应用 高考能力解读 高考能力突破 高考能力训练 高考能力突破-8-能力突破点一 能力突破点二
7、 能力突破方略 能力突破模型 能力迁移训练 能力突破点三 特别地,如果曲线 y=f(x)在点(x0,y0)处的切线垂直于 x 轴,则此时导数f(x0)不存在,由切线定义可知,切线方程为 x=x0.注意:若曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0)处的导数 f(x0)不存在,就是切线与 y轴平行或是 y 轴;若 f(x0)0,则切线与 x 轴正方向夹角是锐角;若 f(x0)3 时,求得两根为 x=-2-33,即 f(x)在-,-2-33 上递增,在-2-33,-+2-33 上递减,在-+2-33,+上递增.第二部分 专题6 导数的简单应用 高考能力解读 高考能力突破 高考能力训练 高考能力突破
8、-16-能力突破点一 能力突破点二 能力突破点三 能力突破方略 能力突破模型 能力迁移训练(2)由题知,-2-33-23,-+2-33-13,2 3,解得 a2.点评:讨论函数的单调性其实就是讨论不等式的解集的情况.大多数情况下,这类问题可以归结为一个含有参数的一元二次不等式的解集的讨论,在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时依据根的大小进行分类讨论,在不能通过因式分解求出根的情况时,根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论.讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的,千万不要忽视了定义域的限制.第二部分 专题6 导数的简单应用 高考能力解读 高考能力突破 高考能力训练 高考能力突破-17-能
9、力突破点一 能力突破点二 能力突破点三 能力突破方略 能力突破模型 能力迁移训练 3.已知函数 f(x)=3ax-2x2+ln x,a 为常数.(1)当 a=1 时,求 f(x)的单调区间;(2)若函数 f(x)在区间1,2上为单调函数,求 a 的取值范围.解:(1)当 a=1 时,f(x)=3x-2x2+ln x,函数 f(x)的定义域是(0,+),f(x)=3-4x+1=-42+3x+1=-(4+1)(-1).由 f(x)0,得 0 x1;由 f(x)1.故函数 f(x)的单调增区间是(0,1),单调减区间是(1,+).第二部分 专题6 导数的简单应用 高考能力解读 高考能力突破 高考能力
10、训练 高考能力突破-18-能力突破点一 能力突破点二 能力突破点三 能力突破方略 能力突破模型 能力迁移训练(2)f(x)=3a-4x+1.若函数 f(x)在区间1,2上为单调函数,则 f(x)0,或f(x)0 在区间1,2上恒成立.于是 3a-4x+10,或 3a-4x+10 在区间1,2上恒成立,即 3a4x-1,或3a4x-1在区间1,2上恒成立.令 h(x)=4x-1,则 h(x)在区间1,2上是增函数.因此 h(x)max=h(2)=152,h(x)min=h(1)=3.即 3a152 或 3a3,故 a52或 a1.第二部分 专题6 导数的简单应用 高考能力解读 高考能力突破 高考
11、能力训练 高考能力突破-19-能力突破点一 能力突破点二 能力突破点三 能力突破方略 能力突破模型 能力迁移训练 能力突破点三 利用导数研究函数的极值或最值思考:如何求函数 f(x)在区间a,b上的最值?提示:(1)若函数在区间a,b上单调递增或递减,f(a)与 f(b)一个为最大值,一个为最小值.(2)若函数在区间a,b内有极值,要先求出a,b上的极值,与 f(a),f(b)比较,从而得出最大值和最小值.(3)函数 f(x)在区间(a,b)上有唯一一个极值点,则这个极值点就是最大(或小)值点,此结论在导数的实际应用中经常使用.第二部分 专题6 导数的简单应用 高考能力解读 高考能力突破 高考
12、能力训练 高考能力突破-20-能力突破点一 能力突破点二 能力突破点三 能力突破方略 能力突破模型 能力迁移训练【例 3】设函数 f(x)=13x3+1-2 x2-ax-a(a0).(1)若函数 f(x)在区间(-2,0)内恰有两个零点,求 a 的取值范围;(2)当 a=1 时,求函数 f(x)在区间t,t+3上的最大值.分析推理根据题意对函数 f(x)求导,获得导函数 f(x)=0 的根,确定函数 f(x)在区间(-2,0)上的单调性,结合图形确定零点.第二问注意与第一问联系,要得到函数 f(x)在含参数的区间t,t+3上的最大值,需讨论 t 的大小.第二部分 专题6 导数的简单应用 高考能
13、力解读 高考能力突破 高考能力训练 高考能力突破-21-能力突破点一 能力突破点二 能力突破点三 能力突破方略 能力突破模型 能力迁移训练 解:(1)f(x)=13x3+1-2 x2-ax-a(a0),f(x)=x2+(1-a)x-a=(x+1)(x-a).令 f(x)=0,解得 x1=-1,x2=a0.当 x 变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x(-,-1)-1(-1,a)a(a,+)f(x)+0-0+f(x)极大值极小值故函数 f(x)的单调递增区间为(-,-1),(a,+);单调递减区间为(-1,a).因此 f(x)在区间(-2,-1)内单调递增,在区间(-1,0)内单调递减,
14、要使函数f(x)在区间(-2,0)内恰有两个零点,则需(-2)0,(0)0,解得 0a13,a 的取值范围是 0,13.第二部分 专题6 导数的简单应用 高考能力解读 高考能力突破 高考能力训练 高考能力突破-22-能力突破点一 能力突破点二 能力突破点三 能力突破方略 能力突破模型 能力迁移训练(2)当 a=1 时,f(x)=13x3-x-1.由(1)可知,函数 f(x)的单调递增区间为(-,-1),(1,+);单调递减区间为(-1,1).f(x)极大值=f(-1)=-13.当 t+3-1,即 t2,即 t-1 时,由得 f(x)在区间(-,2上的最大值为 f(2)=f(-1)=-13.f(
15、x)在区间(1,+)上单调递增,f(t+3)f(2),故 f(x)在区间t,t+3上的最大值为f(x)max=f(t+3)=13t3+3t2+8t+5.综上所述,当 a=1 时,f(x)在区间t,t+3上的最大值f(x)max=13 3+32+8t+5,t -1,-13,-4 t -1.第二部分 专题6 导数的简单应用 高考能力解读 高考能力突破 高考能力训练 高考能力突破-24-能力突破点一 能力突破点二 能力突破点三 能力突破方略 能力突破模型 能力迁移训练 点评:(1)求函数的单调递增区间,转化为求不等式 f(x)0(不恒为 0)的解集即可,已知 f(x)在 M 上递增f(x)0 在 M
16、 上恒成立;(2)研究函数的单调性后可画出示意图.讨论区间与-2,0 的位置关系,画图截取观察即可.第二部分 专题6 导数的简单应用 高考能力解读 高考能力突破 高考能力训练 高考能力突破-25-能力突破点一 能力突破点二 能力突破点三 能力突破方略 能力突破模型 能力迁移训练 4.已知函数 f(x)=2+bx+ce(a0)的导函数 y=f(x)的两零点为-3 和 0.(1)求 f(x)的单调区间;(2)若 f(x)的极小值为-e3,求 f(x)在区间-5,+)上的最大值.解:(1)f(x)=(2+)e-(a2+bx+c)e(e)2=-2+(2a-b)x+b-ce.令 g(x)=-ax2+(2
17、a-b)x+b-c.ex0,y=f(x)的零点就是 g(x)=-ax2+(2a-b)x+b-c 的零点,且 f(x)与g(x)符号相同.又a0,当-3x0,即 f(x)0.当 x0 时,g(x)0,即 f(x)5=f(0).函数 f(x)在区间-5,+)上的最大值是 5e5.第二部分 专题6 导数的简单应用 高考能力解读 高考能力突破 高考能力训练 高考能力训练-27-123 答案 解析 解析 关闭f(x)=(m-2)x2+(m2-4)x+m 是偶函数,m2-4=0,m=2.函数 g(x)=-x3+2x2+mx+5 在(-,+)内单调递减,g(x)=-3x2+4x+m,g(x)0 恒成立.=1
18、6+12m0.m-43,m=-2.答案 解析 关闭B 1.已知函数 f(x)=(m-2)x2+(m2-4)x+m 是偶函数,函数 g(x)=-x3+2x2+mx+5 在(-,+)内单调递减,则实数 m=()A.2B.-2C.2D.0 第二部分 专题6 导数的简单应用 高考能力解读 高考能力突破 高考能力训练 高考能力训练 2.(2014 四川眉山二诊)函数 f(x)的导函数为 f(x),若对任意的 xR,都有f(x)+2f(x)0 成立,则()A.(2ln2)3(2ln3)2C.(2ln2)3=(2ln3)2D.无法比较-28-123 答案 解析 解析 关闭设 y=xf(ln x2),令 ln
19、 x2=t,则 x=e2,即 y=e2f(t).y=e2f(t)=(e2)f(t)+e2f(t)=e2f(t)2+e2f(t)=e2f(t)+2e2f(t)2,又f(x)+2f(x)0,e2f(x)+2e2f(x)0,即 y3f(ln32),即(2ln2)3(2ln3)2.答案 解析 关闭B 第二部分 专题6 导数的简单应用 高考能力解读 高考能力突破 高考能力训练 高考能力训练-29-123 答案 解析 解析 关闭曲线在(1,0)处的斜率为-1,过点(1,0),切线方程为 y=-x+1.答案 解析 关闭y=-x+1 3.(2014 四川凉山州三诊)曲线 y=ln(2-x)在点(1,0)处的切线方程是.
